Descomposición en modo dinámico

Algoritmo de reducción de dimensionalidad

La descomposición en modos dinámicos ( DMD ) es un algoritmo de reducción de dimensionalidad desarrollado por Peter J. Schmid y Joern Sesterhenn en 2008. ^{[1] [2]} Dada una serie temporal de datos, DMD calcula un conjunto de modos, cada uno de los cuales está asociado con una frecuencia de oscilación fija y una tasa de decaimiento/crecimiento. Para los sistemas lineales en particular, estos modos y frecuencias son análogos a los modos normales del sistema, pero de manera más general, son aproximaciones de los modos y valores propios del operador de composición (también llamado operador Koopman). Debido a los comportamientos temporales intrínsecos asociados con cada modo, DMD difiere de los métodos de reducción de dimensionalidad como el análisis de componentes principales , que calcula modos ortogonales que carecen de comportamientos temporales predeterminados. Debido a que sus modos no son ortogonales, las representaciones basadas en DMD pueden ser menos parsimoniosas que las generadas por PCA. Sin embargo, también pueden ser más significativas físicamente porque cada modo está asociado con un comportamiento sinusoidal amortiguado (o impulsado) en el tiempo.

Descripción general

La descomposición en modo dinámico fue introducida por primera vez por Schmid como un procedimiento numérico para extraer características dinámicas de los datos de flujo. ^[3]

Los datos toman la forma de una secuencia de instantáneas.

${\displaystyle V_{1}^{N}=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{N}\},}$

donde es la instantánea -ésima del campo de flujo y es una matriz de datos cuyas columnas son las instantáneas individuales. Se supone que estas instantáneas están relacionadas a través de una asignación lineal que define un sistema dinámico lineal. ${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {R} ^{M}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{1}^{N}\in \mathbb {R} ^{M\times N}}$

${\displaystyle v_{i+1}=Av_{i},}$

que permanece aproximadamente igual durante el período de muestreo. Escrito en forma de matriz, esto implica que

${\displaystyle V_{2}^{N}=AV_{1}^{N-1}+re_{N-1}^{T},}$

donde es el vector de residuos que representa los comportamientos que no se pueden describir completamente mediante , , y . Independientemente del enfoque, la salida de DMD son los valores propios y los vectores propios de , que se denominan valores propios de DMD y modos de DMD respectivamente. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e_{N-1}=\{0,0,\ldots ,1\}\in \mathbb {R} ^{N-1}}$ ${\displaystyle V_{1}^{N-1}=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{N-1}\}}$ ${\displaystyle V_{2}^{N}=\{v_{2},v_{3},\dots ,v_{N}\}}$ ${\displaystyle A}$

Algoritmo

Existen dos métodos para obtener estos valores propios y modos. El primero es de tipo Arnoldi , que resulta útil para el análisis teórico debido a su conexión con los métodos de Krylov . El segundo es un enfoque basado en la descomposición en valores singulares (SVD) que es más robusto al ruido en los datos y a los errores numéricos.

El enfoque de Arnoldi

En aplicaciones de fluidos, se supone que el tamaño de una instantánea, , es mucho mayor que la cantidad de instantáneas , por lo que hay muchas opciones igualmente válidas de . El algoritmo DMD original elige de modo que cada una de las instantáneas en se pueda expresar como combinaciones lineales de las instantáneas en . Debido a que la mayoría de las instantáneas aparecen en ambos conjuntos de datos, esta representación está libre de errores para todas las instantáneas excepto , que se escribe como ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{2}^{N}}$ ${\displaystyle V_{1}^{N-1}}$ ${\displaystyle v_{N}}$

${\displaystyle v_{N}=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\dots +a_{N-1}v_{N-1}+r=V_{1}^{N-1}a+r,}$

donde es un conjunto de coeficientes que DMD debe identificar y es el residuo. En total, ${\displaystyle a={a_{1},a_{2},\dots ,a_{N-1}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle V_{2}^{N}=AV_{1}^{N-1}+re_{N-1}^{T}=V_{1}^{N-1}S+re_{N-1}^{T},}$

¿Dónde está la matriz compañera? ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&a_{1}\\1&0&\dots &0&a_{2}\\0&1&\dots &0&a_{3}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&a_{N-1}\end{pmatrix}}.}$

El vector se puede calcular resolviendo un problema de mínimos cuadrados, que minimiza el residuo total. En particular, si tomamos la descomposición QR de , entonces . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V_{1}^{N-1}=QR}$ ${\displaystyle a=R^{-1}Q^{T}v_{N}}$

En esta forma, DMD es un tipo de método de Arnoldi y, por lo tanto, los valores propios de son aproximaciones de los valores propios de . Además, si es un vector propio de , entonces es un vector propio aproximado de . La razón por la que se realiza una descomposición propia en en lugar de es porque es mucho más pequeño que , por lo que el costo computacional de DMD está determinado por la cantidad de instantáneas en lugar del tamaño de una instantánea. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V_{1}^{N-1}y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$

El enfoque basado en la SVD

En lugar de calcular la matriz compañera , el enfoque basado en SVD produce la matriz relacionada con mediante una transformación de similitud. Para ello, supongamos que tenemos la SVD de . Entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{1}^{N-1}=U\Sigma W^{T}}$

${\displaystyle V_{2}^{N}=AV_{1}^{N-1}+re_{N-1}^{T}=AU\Sigma W^{T}+re_{N-1}^{T}.}$

De manera equivalente a la suposición hecha por el enfoque basado en Arnoldi, elegimos de manera que las instantáneas en se puedan escribir como la superposición lineal de las columnas en , lo que es equivalente a requerir que se puedan escribir como la superposición de los modos POD . Con esta restricción, minimizar el residuo requiere que sea ortogonal a la base POD (es decir, ). Luego, multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por da como resultado , que se puede manipular para obtener ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{2}^{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{T}r=0}$ ${\displaystyle U^{T}}$ ${\displaystyle U^{T}V_{2}^{N}=U^{T}AU\Sigma W^{T}}$

${\displaystyle U^{T}AU=U^{T}V_{2}^{N}W\Sigma ^{-1}\equiv {\tilde {S}}.}$

Debido a que y están relacionados a través de la transformada de similitud, los valores propios de son los valores propios de , y si es un vector propio de , entonces es un vector propio de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}}$ ${\displaystyle Uy}$ ${\displaystyle A}$

En resumen, el enfoque basado en SVD es el siguiente:

1. Divida la serie temporal de datos en dos matrices y . ${\displaystyle V_{1}^{N}}$ ${\displaystyle V_{1}^{N-1}}$ ${\displaystyle V_{2}^{N}}$
2. Calcular la SVD de . ${\displaystyle V_{1}^{N-1}=U\Sigma W^{T}}$
3. Forme la matriz y calcule sus valores propios y vectores propios . ${\displaystyle {\tilde {S}}=U^{T}V_{2}^{N}W\Sigma ^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$
4. El -ésimo valor propio DMD es y el -ésimo modo DMD es . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Uy_{i}}$

La ventaja del enfoque basado en SVD sobre el enfoque tipo Arnoldi es que el ruido en los datos y los problemas de truncamiento numérico se pueden compensar truncando la SVD de . Como se señala en ^[3], calcular con precisión más que el primer par de modos y valores propios puede resultar difícil en conjuntos de datos experimentales sin este paso de truncamiento. ${\displaystyle V_{1}^{N-1}}$

Avances teóricos y algorítmicos

Desde su creación en 2010, se ha dedicado una cantidad considerable de trabajo a comprender y mejorar el DMD. Uno de los primeros análisis del DMD realizado por Rowley et al. ^[4] estableció la conexión entre el DMD y el operador Koopman, y ayudó a explicar el resultado del DMD cuando se aplica a sistemas no lineales. Desde entonces, se han desarrollado varias modificaciones que fortalecen aún más esta conexión o mejoran la solidez y la aplicabilidad del enfoque.

• DMD optimizado : DMD optimizado es una modificación del algoritmo DMD original diseñado para compensar dos limitaciones de ese enfoque: (i) la dificultad de la selección del modo DMD y (ii) la sensibilidad de DMD al ruido u otros errores en la última instantánea de la serie temporal. ^[5] DMD optimizado reformula el procedimiento DMD como un problema de optimización donde el operador lineal identificado tiene un rango fijo. Además, a diferencia de DMD que reproduce perfectamente todas las instantáneas excepto la última, DMD optimizado permite que los errores de reconstrucción se distribuyan en todo el conjunto de datos, lo que parece hacer que el enfoque sea más robusto en la práctica.
• Descomposición en modo óptimo : la descomposición en modo óptimo (OMD) reformula el procedimiento DMD como un problema de optimización y permite al usuario imponer directamente el rango del sistema identificado. ^[6] Siempre que este rango se elija correctamente, OMD puede producir modelos lineales con errores residuales más pequeños y valores propios más precisos en conjuntos de datos sintéticos y experimentales.
• DMD exacto : el algoritmo DMD exacto generaliza el algoritmo DMD original de dos maneras. Primero, en el algoritmo DMD original los datos deben ser una serie temporal de instantáneas, pero DMD exacto acepta un conjunto de datos de pares de instantáneas. ^[7] Las instantáneas en el par deben estar separadas por un fijo , pero no es necesario que se extraigan de una única serie temporal. En particular, DMD exacto puede permitir que los datos de múltiples experimentos se agreguen en un único conjunto de datos. En segundo lugar, el algoritmo DMD original preprocesa eficazmente los datos al proyectarlos sobre un conjunto de modos POD. El algoritmo DMD exacto elimina este paso de preprocesamiento y puede producir modos DMD que no se pueden escribir como la superposición de modos POD. ${\displaystyle \Delta t}$
• DMD promotor de escasez : DMD promotor de escasez es un procedimiento de posprocesamiento para la selección de modos DMD y valores propios. ^[8] DMD promotor de escasez utiliza una penalización para identificar un conjunto más pequeño de modos DMD importantes, y es un enfoque alternativo al problema de selección de modos DMD que se puede resolver de manera eficiente utilizando técnicas de optimización convexa . ${\displaystyle \ell _{1}}$
• DMD de resolución múltiple : DMD de resolución múltiple (mrDMD) es una combinación de las técnicas utilizadas en el análisis de resolución múltiple con DMD exacto diseñado para extraer de manera robusta los modos DMD y los valores propios de los conjuntos de datos que contienen múltiples escalas de tiempo. ^[9] El enfoque mrDMD se aplicó a los datos de temperatura superficial global e identifica un modo DMD que aparece durante los años de El Niño.
• DMD extendido : DMD extendido es una modificación de DMD exacto que fortalece la conexión entre DMD y el operador Koopman. ^[10] Como su nombre lo indica, DMD extendido es una extensión de DMD que utiliza un conjunto más rico de funciones observables para producir aproximaciones más precisas del operador Koopman. Este conjunto extendido podría elegirse a priori o aprenderse de los datos. ^{[11] [12]} También demostró que DMD y los métodos relacionados producen aproximaciones de las funciones propias de Koopman además de los valores propios y modos más comúnmente utilizados.
• DMD residual: el DMD residual proporciona un medio para controlar los errores de proyección de DMD y DMD extendido que surgen de aproximaciones de dimensión finita del operador Koopman. ^{[13] [14]} El método utiliza los mismos datos de instantánea pero introduce una matriz finita adicional que captura residuos de dimensión infinita exactamente en el gran límite de datos. Esto permite a los usuarios evitar la contaminación espectral (modos espurios), verificar las descomposiciones de modos Koopman y los diccionarios aprendidos, y calcular espectros continuos. Además, el método refuerza aún más el vínculo entre DMD y el operador Koopman al demostrar cómo se puede calcular el contenido espectral de este último con verificación y control de errores.
• DMD basado en la física: el DMD basado en la física forma un problema de Procrustes que restringe la familia de modelos admisibles a una variedad matricial que respeta la estructura física del sistema. ^[15] Esto permite incorporar estructuras físicas al DMD. Este enfoque es menos propenso al sobreajuste, requiere menos datos de entrenamiento y, a menudo, es menos costoso computacionalmente construirlo que los modelos DMD estándar.
• EDMD con preservación de la medida: el DMD extendido con preservación de la medida (mpEDMD) ofrece un método Galerkin cuya descomposición propia converge a las cantidades espectrales de los operadores de Koopman para sistemas dinámicos generales con preservación de la medida. ^[16] Este método emplea un problema de Procrustes ortogonal (esencialmente una descomposición polar) para DMD y DMD extendido. Más allá de la convergencia, mpEDMD mantiene las leyes de conservación física y exhibe una robustez mejorada al ruido, así como un comportamiento mejorado a largo plazo.
• DMD con control : la descomposición en modo dinámico con control (DMDc) ^[17] es una modificación del procedimiento DMD diseñado para datos obtenidos de sistemas de entrada y salida. Una característica única de DMDc es la capacidad de desambiguar los efectos de la actuación del sistema a partir de la dinámica de bucle abierto, lo que resulta útil cuando los datos se obtienen en presencia de actuación.
• DMD de mínimos cuadrados totales : DMD de mínimos cuadrados totales es una modificación reciente de DMD exacto destinada a abordar cuestiones de robustez al ruido de medición en los datos. En ^[18], los autores interpretan el DMD exacto como un problema de regresión que se resuelve utilizando mínimos cuadrados ordinarios (MCO), que supone que los regresores están libres de ruido. Esta suposición crea un sesgo en los valores propios de DMD cuando se aplica a conjuntos de datos experimentales donde todas las observaciones son ruidosas. DMD de mínimos cuadrados totales reemplaza el problema de MCO con un problema de mínimos cuadrados totales , que elimina este sesgo.
• Descomposición de distribución dinámica: DDD se centra en el problema directo en tiempo continuo, es decir, el operador de transferencia . Sin embargo, el método desarrollado también se puede utilizar para ajustar problemas DMD en tiempo continuo. ^[19]

Además de los algoritmos que se enumeran aquí, se han desarrollado técnicas similares específicas para cada aplicación. Por ejemplo, al igual que el DMD, el método de Prony representa una señal como la superposición de sinusoides amortiguados . En la ciencia del clima, el modelado inverso lineal también está fuertemente conectado con el DMD. ^[20] Para una lista más completa, consulte Tu et al. ^[7]

Ejemplos

Borde posterior de un perfil

Fig. 1 Vórtices del borde de salida (Entropía)

La estela de un obstáculo en el flujo puede desarrollar una calle de vórtices de Kármán . La Fig.1 muestra el desprendimiento de un vórtice detrás del borde posterior de un perfil. El análisis DMD se aplicó a 90 campos de entropía secuenciales (gif animado (1,9 MB)) y produjo un espectro de valores propios aproximado como se muestra a continuación. El análisis se aplicó a los resultados numéricos, sin hacer referencia a las ecuaciones que lo rigen. El perfil se ve en blanco. Los arcos blancos son los límites del procesador, ya que el cálculo se realizó en una computadora paralela utilizando diferentes bloques computacionales.

Fig.2 Espectro DMD

Aproximadamente un tercio del espectro estaba muy atenuado (grande, negativo ) y no se muestra. El modo de desprendimiento dominante se muestra en las siguientes imágenes. La imagen de la izquierda es la parte real, la imagen de la derecha, la parte imaginaria del vector propio. ${\displaystyle \lambda _{r}}$

Nuevamente, el vector propio de entropía se muestra en esta imagen. El contenido acústico del mismo modo se ve en la mitad inferior del siguiente gráfico. La mitad superior corresponde al modo de entropía como se muestra arriba.

Ejemplo sintético de un patrón de viaje

El análisis DMD supone un patrón de la forma donde es cualquiera de las variables independientes del problema, pero debe seleccionarse de antemano. Tomemos como ejemplo el patrón ${\displaystyle q(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )=e^{cx_{1}}{\hat {q}}(x_{2},x_{3},\ldots )}$ ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle q(x,y,t)=e^{-i\omega t}{\hat {q}}(x,t)e^{-(y/b)^{2}}\Re \left\{e^{i(kx-\omega t)}\right\}+{\text{random noise}}}$

Con el tiempo como factor exponencial preseleccionado.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo con , y . La imagen de la izquierda muestra el patrón sin ruido, la de la derecha con ruido añadido. La amplitud del ruido aleatorio es la misma que la del patrón. ${\displaystyle \omega =2\pi /0.1}$ ${\displaystyle b=0.02}$ ${\displaystyle k=2\pi /b}$

Se realiza un análisis DMD con 21 campos generados sintéticamente utilizando un intervalo de tiempo , limitando el análisis a . ${\displaystyle \Delta t=1/90{\text{ s}}}$ ${\displaystyle f=45{\text{ Hz}}}$

El espectro es simétrico y muestra tres modos casi no amortiguados (pequeña parte real negativa), mientras que los otros modos están fuertemente amortiguados. Sus valores numéricos son respectivamente. El real corresponde a la media del campo, mientras que corresponde al patrón impuesto con . Arrojando un error relativo de −1/1000. Aumentar el ruido a 10 veces el valor de la señal produce aproximadamente el mismo error. La parte real e imaginaria de uno de los dos últimos modos propios se representa en la siguiente figura. ${\displaystyle \omega _{1}=-0.201,\omega _{2/3}=-0.223\pm i62.768}$ ${\displaystyle \omega _{2/3}}$ ${\displaystyle f=10{\text{ Hz}}}$

Véase también

Existen otras descomposiciones de datos experimentales. Si se dispone de las ecuaciones que rigen la descomposición, podría ser factible una descomposición en valores propios.

• Descomposición de valores propios
• Descomposición modal empírica
• Modo global
• Modo normal
• Descomposición ortogonal propia
• Descomposición en valores singulares

Referencias

1. Schmid, Peter J; Sesterhenn, Joern (28 de julio de 2008). «Descomposición de modos dinámicos de datos numéricos y experimentales». Boletín de la American Physical Society, Sexagésima primera reunión anual de la División de Dinámica de Fluidos de la APS . 53 (15) . Consultado el 1 de agosto de 2023 .
2. Schmid, Peter J (10 de agosto de 2010). "Journal of Fluid Mechanics Article contents Abstract References Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data". Journal of Fluid Dynamics . 656 : 5–28. doi :10.1017/S0022112010001217. S2CID  11334986 . Consultado el 1 de agosto de 2023 .
3. PJ Schmid. "Descomposición modal dinámica de datos numéricos y experimentales". Journal of Fluid Mechanics 656.1 (2010): 5–28.
4. CW Rowley, I Mezic, S. Bagheri, P. Schlatter y DS Henningson, "Análisis espectral de flujos no lineales". Journal of Fluid Mechanics 641 (2009): 85-113
5. KK Chen, JH Tu y CW Rowley, "Variantes de la descomposición del modo dinámico: condiciones de contorno, análisis de Koopman y de Fourier". Journal of Nonlinear Science 22 (2012): 887-915.
6. A. Wynn, DS Pearson, B. Ganapathisubramani y PJ Goulart, "Descomposición del modo óptimo para flujos inestables". Journal of Fluid Mechanics 733 (2013): 473-503
7. Tu, Rowley, Luchtenburg, Brunton y Kutz (diciembre de 2014). "Sobre la descomposición modal dinámica: teoría y aplicaciones". Instituto Americano de Ciencias Matemáticas . 1 (2): 391–421. arXiv : 1312.0041 . doi :10.3934/jcd.2014.1.391. S2CID  46419148.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. MR Jovanovic, PJ Schmid y JW Nichols, "Descomposición dinámica de modos que promueve la escasez". Física de fluidos 26 (2014)
9. JN Kutz, X. Fu y SL Brunton, "Descomposición de modos dinámicos de múltiples resoluciones". Preimpresión de arXiv arXiv:1506.00564 (2015).
10. MO Williams, IG Kevrekidis, CW Rowley, "Una aproximación basada en datos del operador Koopman: extensión de la descomposición modal dinámica". Journal of Nonlinear Science 25 (2015): 1307-1346.
11. Li, Qianxiao; Dietrich, Felix; Bollt, Erik M.; Kevrekidis, Ioannis G (2018). "Descomposición de modo dinámico extendido con aprendizaje de diccionario: una descomposición espectral adaptativa basada en datos del operador Koopman". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 27 (10): 103111. arXiv : 1707.00225 . doi :10.1063/1.4993854. PMID  29092410. S2CID  41957686.
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15. Baddoo, Peter J.; Herrmann, Benjamin; McKeon, Beverley J.; Nathan Kutz, J.; Brunton, Steven L. (1 de marzo de 2023). "Descomposición dinámica de modos basada en la física". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 479 (2271). doi : 10.1098/rspa.2022.0576 . ISSN  1364-5021.
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19. Taylor-King, Jake P.; Riseth, Asbjørn N.; Macnair, Will; Claassen, Manfred (10 de enero de 2020). "La descomposición de la distribución dinámica para series temporales de instantáneas de células individuales identifica subpoblaciones y trayectorias durante la reprogramación de iPSC". PLOS Computational Biology . 16 (1): e1007491. Bibcode :2020PLSCB..16E7491T. doi : 10.1371/journal.pcbi.1007491 . ISSN  1553-7358. PMC 6953770 . PMID  31923173. 
20. Penland, Magorian, Cecile, Theresa (1993). "Predicción de las temperaturas superficiales del mar durante el fenómeno El Niño 3 mediante modelado inverso lineal". J. Climate . 6 (6): 1067. Bibcode :1993JCli....6.1067P. doi : 10.1175/1520-0442(1993)006<1067:PONSST>2.0.CO;2 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Schmid, PJ y Sesterhenn, JL 2008 Descomposición modal dinámica de datos numéricos y experimentales. En Bull. Amer. Phys. Soc., 61.ª reunión de la APS, pág. 208. San Antonio.
• Hasselmann, K., 1988. POPs y PIPs. La reducción de sistemas dinámicos complejos utilizando patrones principales de oscilación e interacción. J. Geophys. Res., 93(D9): 10975–10988.