Sistema dinámico lineal

Tipo de sistema matemático

Los sistemas dinámicos lineales son sistemas dinámicos cuyas funciones de evolución son lineales . Si bien los sistemas dinámicos, en general, no tienen soluciones de forma cerrada , los sistemas dinámicos lineales se pueden resolver de manera exacta y tienen un amplio conjunto de propiedades matemáticas. Los sistemas lineales también se pueden utilizar para comprender el comportamiento cualitativo de los sistemas dinámicos generales, calculando los puntos de equilibrio del sistema y aproximándolo como un sistema lineal alrededor de cada uno de esos puntos.

Introducción

En un sistema dinámico lineal, la variación de un vector de estado (un vector dimensional denotado ) es igual a una matriz constante (denotada ) multiplicada por . Esta variación puede tomar dos formas: o bien como un flujo , en el que varía continuamente con el tiempo ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)}$

o como un mapeo, en el que varía en pasos discretos ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{m}}$

Estas ecuaciones son lineales en el siguiente sentido: si y son dos soluciones válidas, entonces también lo es cualquier combinación lineal de las dos soluciones, por ejemplo, donde y son dos escalares cualesquiera . La matriz no necesita ser simétrica . ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Los sistemas dinámicos lineales se pueden resolver con exactitud, a diferencia de la mayoría de los no lineales. Ocasionalmente, un sistema no lineal se puede resolver con exactitud mediante un cambio de variables a un sistema lineal. Además, las soluciones de (casi) cualquier sistema no lineal se pueden aproximar bien mediante un sistema lineal equivalente cerca de sus puntos fijos . Por lo tanto, comprender los sistemas lineales y sus soluciones es un primer paso crucial para comprender los sistemas no lineales más complejos.

Solución de sistemas dinámicos lineales

Si el vector inicial está alineado con un vector propio derecho de la matriz , la dinámica es simple ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}}$

donde es el valor propio correspondiente ; la solución de esta ecuación es ${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

como puede confirmarse por sustitución.

Si es diagonalizable , entonces cualquier vector en un espacio -dimensional puede representarse mediante una combinación lineal de los vectores propios derecho e izquierdo (denotados como ) de la matriz . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}}$

Por lo tanto, la solución general para es una combinación lineal de las soluciones individuales para los vectores propios correctos ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

Consideraciones similares se aplican a las asignaciones discretas.

Clasificación en dos dimensiones

Aproximación lineal de un sistema no lineal: clasificación del punto fijo 2D según la traza y el determinante de la matriz jacobiana (la linealización del sistema cerca de un punto de equilibrio).

Las raíces del polinomio característico det( A - λ I ) son los valores propios de A . El signo y la relación de estas raíces, , entre sí se pueden utilizar para determinar la estabilidad del sistema dinámico. ${\displaystyle \lambda _{n}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).}$

Para un sistema bidimensional, el polinomio característico tiene la forma donde es la traza y es el determinante de A . Por lo tanto, las dos raíces tienen la forma: ${\displaystyle \lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$,

y y . Por lo tanto, si entonces los valores propios son de signo opuesto, y el punto fijo es una silla de montar. Si entonces los valores propios son del mismo signo. Por lo tanto, si ambos son positivos y el punto es inestable, y si entonces ambos son negativos y el punto es estable. El discriminante le dirá si el punto es nodal o espiral (es decir, si los valores propios son reales o complejos). ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \Delta <0}$ ${\displaystyle \Delta >0}$ ${\displaystyle \tau >0}$ ${\displaystyle \tau <0}$

Véase también

• Sistema lineal
• Sistema dinámico
• Lista de temas sobre sistemas dinámicos
• Ecuación diferencial matricial