La descomposición ortogonal propia es un método numérico que permite reducir la complejidad de simulaciones intensivas en computadora, como la dinámica de fluidos computacional y el análisis estructural (como las simulaciones de choques ). Por lo general, en la dinámica de fluidos y el análisis de turbulencias , se utiliza para reemplazar las ecuaciones de Navier-Stokes por modelos más simples de resolver. [1]
Pertenece a una clase de algoritmos denominados reducción de orden de modelo (o, en forma abreviada, reducción de modelo ). Lo que hace esencialmente es entrenar un modelo a partir de datos de simulación. En este sentido, se puede asociar con el campo del aprendizaje automático .
El uso principal de POD es descomponer un campo físico (como presión, temperatura en dinámica de fluidos o tensión y deformación en análisis estructural), dependiendo de las diferentes variables que influyen en sus comportamientos físicos. Como su nombre lo indica, se trata de una descomposición ortogonal junto con los componentes principales del campo. Como tal, se asimila al análisis de componentes principales de Pearson en el campo de la estadística, o a la descomposición en valores singulares en álgebra lineal porque se refiere a valores propios y vectores propios de un campo físico. En esos dominios, se asocia con la investigación de Karhunen [2] y Loève, [3] y su teorema de Karhunen-Loève .
La primera idea detrás de la Descomposición Ortogonal Propia (POD), tal como se formuló originalmente en el dominio de la dinámica de fluidos para analizar turbulencias, es descomponer un campo vectorial aleatorio u(x, t) en un conjunto de funciones espaciales deterministas Φ k ( x ) moduladas por coeficientes de tiempo aleatorios a k ( t ) de modo que:
El primer paso es tomar muestras del campo vectorial durante un período de tiempo en lo que llamamos instantáneas (como se muestra en la imagen de las instantáneas POD). Este método de instantáneas [4] consiste en promediar las muestras en la dimensión espacial n y correlacionarlas entre sí a lo largo de las muestras de tiempo p :
El siguiente paso es calcular la matriz de covarianza C
Luego calculamos los valores propios y vectores propios de C y los ordenamos desde el valor propio más grande hasta el más pequeño.
Obtenemos n valores propios λ1,...,λn y un conjunto de n vectores propios dispuestos como columnas en una matriz n × n Φ:
