Condición del titular

Tipo de continuidad de una función de valores complejos.

En matemáticas , una función f real o de valor complejo en un espacio euclidiano d -dimensional satisface una condición de Hölder , o es Hölder continua , cuando hay constantes reales C ≥ 0, > 0, tales que ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }}$

para todo x e y en el dominio de f . De manera más general, la condición se puede formular para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número se llama exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con α > 1 es constante (ver prueba a continuación). Si α = 1, entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier α > 0, la condición implica que la función es uniformemente continua . La condición lleva el nombre de Otto Hölder . ${\displaystyle \alpha }$

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones para funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] de la recta real con a < b:

Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continuo ⊂ -Hölder continuo ⊂ uniformemente continuo ⊂ continuo , ${\displaystyle \alpha }$

donde 0 < α ≤ 1.

Espacios titulares

Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son básicos en áreas de análisis funcional relevantes para resolver ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C ^{k ,α} (Ω), donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un número entero, consta de aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las k -ésimas derivadas parciales son Hölder continuo con exponente α, donde 0 < α ≤ 1. Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder

${\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\|x-y\|^{\alpha }}},}$

es finita, entonces se dice que la función f es (uniformemente) continua de Hölder con exponente α en Ω. En este caso, el coeficiente de Hölder sirve como seminorma . Si el coeficiente de Hölder está simplemente acotado en subconjuntos compactos de Ω, entonces se dice que la función f es localmente continua de Hölder con exponente α en Ω.

Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están acotadas en la clausura de Ω, entonces al espacio de Hölder se le puede asignar la norma ${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$

${\displaystyle \|f\|_{C^{k,\alpha }}=\|f\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$

donde β abarca múltiples índices y

${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$

Estas seminormas y normas a menudo se denotan simplemente y o también y para enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω es abierto y acotado, entonces es un espacio de Banach con respecto a la norma . ${\displaystyle |f|_{0,\alpha }}$ ${\displaystyle \|f\|_{k,\alpha }}$ ${\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$ ${\displaystyle \|f\|_{k,\alpha ,\Omega }}$ ${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$

Incrustación compacta de espacios de Hölder

Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sean 0 < α < β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Luego, hay un mapa de inclusión obvio de los espacios de Hölder correspondientes:

${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$

la cual es continua ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos:

${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$

Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ _0,β son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ _0,α . Esta es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . De hecho, sea ( u _n ) una secuencia acotada en C ^0,β (Ω). Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u _n → u uniformemente, y también podemos suponer u = 0. Entonces

${\displaystyle |u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0,}$

porque

${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$

Ejemplos

• Si 0 < α ≤ β ≤ 1 entonces todas las funciones continuas de Hölder en un conjunto acotado Ω también son continuas de Hölder. Esto también incluye β = 1 y por lo tanto todas las funciones continuas de Lipschitz en un conjunto acotado también son continuas de Hölder C ^{0,α .} ${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$
• La función f ( x ) = x ^β (con β ≤ 1) definida en [0, 1] sirve como un ejemplo prototípico de una función que es C ^0,α Hölder continua para 0 < α ≤ β, pero no para α > β. Además, si definimos f de manera análoga en , sería C ^0,α Hölder continua sólo para α = β. ${\displaystyle [0,\infty )}$
• Si una función es –Hölder continua en un intervalo y luego es constante. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >1,}$ ${\displaystyle f}$

Prueba

Considere el caso donde . Entonces , el cociente de diferencias converge a cero como . Por tanto existe y es cero en todas partes. El teorema del valor medio ahora implica que es constante. ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|\leq C|x-y|^{\alpha -1}}$ ${\displaystyle |x-y|\to 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \square }$

Idea alternativa: arreglar y dividir en donde . Entonces como , debido a . De este modo . ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle x_{k}=x+{\frac {k}{n}}(y-x)}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq |f(x_{0})-f(x_{1})|+|f(x_{1})-f(x_{2})|+\ldots +|f(x_{n-1})-f(x_{n})|\leq \sum _{i=1}^{n}C\left({\frac {|x-y|}{n}}\right)^{\alpha }=C|x-y|^{\alpha }n^{1-\alpha }\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle \square }$

• Hay ejemplos de funciones uniformemente continuas que no son continuas α-Hölder para ningún α. Por ejemplo, la función definida en [0, 1/2] por f (0) = 0 y por f ( x ) = 1/log( x ) es continua y, por lo tanto, uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor . Sin embargo, no satisface una condición de Hölder de ningún orden.
• La función de Weierstrass definida por:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$

donde es un número entero y α-Hölder es continua con ${\displaystyle 0<a<1,b}$ ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$

${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$^[1]

• La función de Cantor es continua de Hölder para cualquier exponente y para ninguno mayor. En el primer caso, la desigualdad de la definición se cumple con la constante C  := 2. ${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$
• Las curvas de Peano desde [0, 1] al cuadrado [0, 1] ² se pueden construir para que sean 1/2–Hölder continuas. Se puede demostrar que cuando la imagen de una función continua de -Hölder desde el intervalo unitario hasta el cuadrado no puede llenar el cuadrado. ${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \alpha }$
• Es casi seguro que las trayectorias de muestra del movimiento browniano se encuentran en todas partes a nivel local : Hölder para cada . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$
• Las funciones que son localmente integrables y cuyas integrales satisfacen una condición de crecimiento adecuada también son continuas de Hölder. Por ejemplo, si dejamos

${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)dy}$

y tu satisfaces

${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$

entonces u es continua de Hölder con exponente α. ^[2]

• Las funciones cuya oscilación decae a un ritmo fijo con respecto a la distancia son continuas de Hölder con un exponente que está determinado por la velocidad de decaimiento. Por ejemplo, si

${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$

para alguna función u ( x ) satisface

${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$

para un λ fijo con 0 < λ < 1 y todos los valores suficientemente pequeños de r , entonces u es continua de Hölder.

• Las funciones en el espacio de Sobolev se pueden integrar en el espacio de Hölder apropiado mediante la desigualdad de Morrey si la dimensión espacial es menor que el exponente del espacio de Sobolev. Para ser precisos, si entonces existe una constante C , que depende sólo de p y n , tal que: ${\displaystyle n<p\leq \infty }$

${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$

donde Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ), entonces u es de hecho una continua de Hölder de exponente γ, después de posiblemente ser redefinida en un conjunto de medida 0. ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$

Propiedades

• Un subgrupo aditivo cerrado de un espacio de Hilbert de dimensión infinita H , conectado por arcos continuos de α-Hölder con α > 1/2, es un subespacio lineal. Hay subgrupos aditivos cerrados de H , no subespacios lineales, conectados por arcos continuos de 1/2-Hölder. Un ejemplo es el subgrupo aditivo L ² ( R , Z ) del espacio de Hilbert L ² ( R , R ).
• Cualquier función f continua de α–Hölder en un espacio métrico X admite una aproximación de Lipschitz mediante una secuencia de funciones ( f _k ) tal que f _k es k -Lipschitz y

${\displaystyle \|f-f_{k}\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$

Por el contrario, cualquier secuencia de este tipo ( f _k ) de funciones de Lipschitz converge a un límite uniforme continuo f de α-Hölder .

• Cualquier función α-Hölder f en un subconjunto X de un espacio normado E admite una extensión uniformemente continua a todo el espacio, que es Hölder continua con la misma constante C y el mismo exponente α. La mayor extensión de este tipo es:

${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$

• La imagen de cualquiera bajo una función α-Hölder tiene como máximo una dimensión de Hausdorff , donde es la dimensión de Hausdorff de . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \dim _{H}(U)}$ ${\displaystyle U}$
• El espacio no es separable. ${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$
• La incrustación no es densa. ${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$
• Si y satisfacen en un arco suave L las condiciones y respectivamente, entonces las funciones y satisfacen la condición en L , donde . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle H(\mu )}$ ${\displaystyle H(\nu )}$ ${\displaystyle f(t)+g(t)}$ ${\displaystyle f(t).g(t)}$ ${\displaystyle H(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$

Ver también

• p -variación

Notas

1. Resistente, GH (1916). "Función no diferenciable de Weierstrass". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 17 (3): 301–325. doi :10.2307/1989005. JSTOR  1989005.
2. Véase, por ejemplo, Han y Lin, Capítulo 3, Sección 1. Este resultado se debió originalmente a Sergio Campanato .

Referencias

• Lawrence C. Evans (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Nueva York: Instituto Courant de Ciencias Matemáticas . ISBN 0-9658703-0-8. OCLC  38168365. Señor 1669352