En matemáticas , la conjetura de Mertens es la afirmación de que la función Mertens está limitada por . Aunque ahora se ha refutado, se había demostrado que implicaba la hipótesis de Riemann . Fue conjeturada por Thomas Joannes Stieltjes , en una carta de 1885 a Charles Hermite (reimpresa en Stieltjes (1905)), y nuevamente impresa por Franz Mertens (1897), y refutada por Andrew Odlyzko y Herman te Riele (1985). Es un ejemplo sorprendente de una conjetura matemática que se demostró falsa a pesar de una gran cantidad de evidencia computacional a su favor.
donde μ(k) es la función de Möbius ; la conjetura de Mertens es que para todo n > 1,
Refutación de la conjetura
Stieltjes afirmó en 1885 haber demostrado un resultado más débil, es decir, que estaba acotado , pero no publicó una prueba. [1] (En términos de , la conjetura de Mertens es que ).
Más tarde se demostró que el primer contraejemplo aparece debajo de [4] pero por encima de 10 16 . [5] Desde entonces, el límite superior se redujo a [6] o aproximadamente y luego nuevamente a . [7] En 2024, Seungki Kim y Phong Nguyen redujeron el límite a , [8] pero no se conoce ningún contraejemplo explícito .
La ley del logaritmo iterado establece que si μ se reemplaza por una secuencia aleatoria de +1s y −1s entonces el orden de crecimiento de la suma parcial de los primeros n términos es (con probabilidad 1) aproximadamente √ n log log n , lo que sugiere que el orden de crecimiento de m ( n ) podría estar en algún lugar alrededor de √ log log n . El orden de crecimiento real puede ser algo menor; a principios de la década de 1990, Steve Gonek conjeturó [9] que el orden de crecimiento de m ( n ) era lo que fue afirmado por Ng (2004), basado en un argumento heurístico, que asumió la hipótesis de Riemann y ciertas conjeturas sobre el comportamiento promedio de los ceros de la función zeta de Riemann. [9]
En 1979, Cohen y Dress [10] encontraron el mayor valor conocido de para M (7766842813) = 50286, y en 2011, Kuznetsov encontró el mayor valor negativo conocido (en el sentido de valor absoluto ) para M (11609864264058592345) = −1995900927. [11] En 2016, Hurst calculó M ( n ) para cada n ≤ 10 16 pero no encontró valores mayores de m ( n ) . [5]
En 2006, Kotnik y te Riele mejoraron el límite superior y demostraron que hay infinitos valores de n para los cuales m ( n ) > 1,2184 , pero sin dar ningún valor específico para tal n . [12] En 2016, Hurst realizó mejoras adicionales al demostrar
que es válida para 1 < σ < 2 , y válida para 1 ⁄ 2 < σ < 2 en la hipótesis de Riemann. A partir de esto, la integral de la transformada de Mellin debe ser convergente y, por lo tanto, M ( x ) debe ser O ( x e ) para cada exponente e mayor que 1/2 . De esto se sigue que
para todo ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann, que por lo tanto se habría deducido de la hipótesis más fuerte de Mertens, y se deduce de la hipótesis de Stieltjes de que
Referencias
^ Borwein, Peter ; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, eds. (2007). La hipótesis de Riemann. Un recurso tanto para aficionados como para virtuosos . CMS Books in Mathematics. Nueva York, NY: Springer-Verlag . p. 69. ISBN.978-0-387-72125-5.Zbl 1132.11047 .
^ Pintz, J. (1987). "Una refutación eficaz de la conjetura de Mertens" (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl 0623.10031.
^ ab Hurst, Greg (2016). "Cálculos de la función de Mertens y límites mejorados para la conjetura de Mertens". arXiv : 1610.08551 [math.NT].
^ Kotnik y Te Riele (2006).
^ Rozmarynowycz, John; Kim, Seungki (2023). "Un nuevo límite superior para el contraejemplo más pequeño de la conjetura de Mertens".
^ Seungki, Kim; Phong, Nguyen (2024). "Sobre los contraejemplos de la conjetura de Mertens" (PDF) .
^ ab Ng, Nathan (2004). «La distribución de la función sumatoria de la función de Möbius» (PDF) .
^ Cohen, H. y Dress, F. 1979. “Calcul numérique de Mx)” 11–13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I'ATP A12311 ≪ Informatique 1975 ≫
^ Kuznetsov, Eugene (2011). "Cálculo de la función Mertens en una GPU". arXiv : 1108.0135 [math.NT].
^ Kotnik y te Riele (2006).
Lectura adicional
Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006). "Revisitando la conjetura de Mertens". En Hess, Florian (ed.). Teoría algorítmica de números. 7.º simposio internacional, ANTS-VII, Berlín, Alemania, 23-28 de julio de 2006. Actas . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4076. Berlín: Springer-Verlag . pp. 156-167. doi :10.1007/11792086_12. ISBN .3-540-36075-1.Zbl 1143.11345 .
Kotnik, T.; van de Lune, J. (2004). "Sobre el orden de la función de Mertens" (PDF) . Experimental Mathematics . 13 (4): 473–481. doi :10.1080/10586458.2004.10504556. S2CID 2093469. Archivado desde el original (PDF) el 2007-04-03.
Mertens, F. (1897). "Über eine zahlentheoretische Funktion". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a . 106 : 761–830.
Pintz, J. (1987). "Una refutación eficaz de la conjetura de Mertens" (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl 0623.10031.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Manual de teoría de números I , Dordrecht: Springer-Verlag , págs. 187-189, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl1151.11300
Stieltjes, TJ (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79", en Baillaud, B.; Bourget, H. (eds.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes , París: Gauthier—Villars, págs. 160-164