stringtranslate.com

Conjetura de Mertens

El gráfico muestra la función de Mertens y las raíces cuadradas de . Después de calcular estos valores, Mertens conjeturó que el valor absoluto de siempre está limitado por . Esta hipótesis, conocida como la conjetura de Mertens, fue refutada en 1985 por Andrew Odlyzko y Herman te Riele .

En matemáticas , la conjetura de Mertens es la afirmación de que la función Mertens está limitada por . Aunque ahora se ha refutado, se había demostrado que implicaba la hipótesis de Riemann . Fue conjeturada por Thomas Joannes Stieltjes , en una carta de 1885 a Charles Hermite (reimpresa en Stieltjes  (1905)), y nuevamente impresa por Franz Mertens  (1897), y refutada por Andrew Odlyzko y Herman te Riele  (1985). Es un ejemplo sorprendente de una conjetura matemática que se demostró falsa a pesar de una gran cantidad de evidencia computacional a su favor.

Definición

En teoría de números , la función de Mertens se define como

donde μ(k) es la función de Möbius ; la conjetura de Mertens es que para todo n > 1,

Refutación de la conjetura

Stieltjes afirmó en 1885 haber demostrado un resultado más débil, es decir, que estaba acotado , pero no publicó una prueba. [1] (En términos de , la conjetura de Mertens es que ).

En 1985, Andrew Odlyzko y Herman te Riele demostraron que la conjetura de Mertens era falsa utilizando el algoritmo de reducción de base reticular de Lenstra–Lenstra–Lovász : [2] [3]

 y 

Más tarde se demostró que el primer contraejemplo aparece debajo de [4] pero por encima de 10 16 . [5] Desde entonces, el límite superior se redujo a [6] o aproximadamente y luego nuevamente a . [7] En 2024, Seungki Kim y Phong Nguyen redujeron el límite a , [8] pero no se conoce ningún contraejemplo explícito .

La ley del logaritmo iterado establece que si μ se reemplaza por una secuencia aleatoria de +1s y −1s entonces el orden de crecimiento de la suma parcial de los primeros n términos es (con probabilidad 1) aproximadamente n log log n , lo que sugiere que el orden de crecimiento de m ( n ) podría estar en algún lugar alrededor de log log n . El orden de crecimiento real puede ser algo menor; a principios de la década de 1990, Steve Gonek conjeturó [9] que el orden de crecimiento de m ( n ) era lo que fue afirmado por Ng (2004), basado en un argumento heurístico, que asumió la hipótesis de Riemann y ciertas conjeturas sobre el comportamiento promedio de los ceros de la función zeta de Riemann. [9]

En 1979, Cohen y Dress [10] encontraron el mayor valor conocido de para M (7766842813) = 50286, y en 2011, Kuznetsov encontró el mayor valor negativo conocido (en el sentido de valor absoluto ) para M (11609864264058592345) = −1995900927. [11] En 2016, Hurst calculó M ( n ) para cada n ≤ 10 16 pero no encontró valores mayores de m ( n ) . [5]

En 2006, Kotnik y te Riele mejoraron el límite superior y demostraron que hay infinitos valores de n para los cuales m ( n ) > 1,2184 , pero sin dar ningún valor específico para tal n . [12] En 2016, Hurst realizó mejoras adicionales al demostrar

 y 

Conexión con la hipótesis de Riemann

La conexión con la hipótesis de Riemann se basa en la serie de Dirichlet para el recíproco de la función zeta de Riemann ,

Válido en la región . Podemos reescribir esto como una integral de Stieltjes.

y después de integrar por partes, obtener el recíproco de la función zeta como una transformada de Mellin

Usando el teorema de inversión de Mellin ahora podemos expresar M en términos de 1ζ como

que es válida para 1 < σ < 2 , y válida para 12 < σ < 2 en la hipótesis de Riemann. A partir de esto, la integral de la transformada de Mellin debe ser convergente y, por lo tanto, M ( x ) debe ser O ( x e ) para cada exponente e mayor que 1/2 . De esto se sigue que

para todo ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann, que por lo tanto se habría deducido de la hipótesis más fuerte de Mertens, y se deduce de la hipótesis de Stieltjes de que

Referencias

  1. ^ Borwein, Peter ; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, eds. (2007). La hipótesis de Riemann. Un recurso tanto para aficionados como para virtuosos . CMS Books in Mathematics. Nueva York, NY: Springer-Verlag . p. 69. ISBN. 978-0-387-72125-5.Zbl 1132.11047  .
  2. ^ Odlyzko, soy ; te Riele, HJJ (1985), "Refutación de la conjetura de Mertens" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138–160, doi :10.1515/crll.1985.357.138, ISSN  0075-4102 , SEÑOR  0783538, S2CID  13016831, Zbl  0544.10047
  3. ^ Sandor y otros (2006) págs. 188-189.
  4. ^ Pintz, J. (1987). "Una refutación eficaz de la conjetura de Mertens" (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl  0623.10031.
  5. ^ ab Hurst, Greg (2016). "Cálculos de la función de Mertens y límites mejorados para la conjetura de Mertens". arXiv : 1610.08551 [math.NT].
  6. ^ Kotnik y Te Riele (2006).
  7. ^ Rozmarynowycz, John; Kim, Seungki (2023). "Un nuevo límite superior para el contraejemplo más pequeño de la conjetura de Mertens".
  8. ^ Seungki, Kim; Phong, Nguyen (2024). "Sobre los contraejemplos de la conjetura de Mertens" (PDF) .
  9. ^ ab Ng, Nathan (2004). «La distribución de la función sumatoria de la función de Möbius» (PDF) .
  10. ^ Cohen, H. y Dress, F. 1979. “Calcul numérique de Mx)” 11–13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I'ATP A12311 ≪ Informatique 1975 ≫
  11. ^ Kuznetsov, Eugene (2011). "Cálculo de la función Mertens en una GPU". arXiv : 1108.0135 [math.NT].
  12. ^ Kotnik y te Riele (2006).

Lectura adicional

Enlaces externos