En matemáticas , la categoría Grp (o Gp [1] ) tiene la clase de todos los grupos para objetos y homomorfismos de grupo para morfismos . Como tal, es una categoría concreta . El estudio de esta categoría se conoce como teoría de grupos .
Hay dos funtores olvidadizos de Grp , M: Grp → Mon de grupos a monoides y U: Grp → Set de grupos a conjuntos . M tiene dos adjuntos : uno a la derecha, I: Mon → Grp , y otro a la izquierda, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp es el funtor que envía cada monoide al submonoide de elementos invertibles y K: Mon → Grp el funtor que envía cada monoide al grupo de Grothendieck de ese monoide. El funtor olvidadizo U: Grp → Set tiene un adjunto izquierdo dado por el compuesto KF: Set → Mon → Grp , donde F es el funtor libre ; este funtor asigna a cada conjunto S el grupo libre en S.
Los monomorfismos en Grp son precisamente los homomorfismos inyectivos , los epimorfismos son precisamente los homomorfismos sobreyectivos y los isomorfismos son precisamente los homomorfismos biyectivos .
La categoría Grp es tanto completa como cocompleta . El producto teórico de categorías en Grp es solo el producto directo de grupos, mientras que el coproducto teórico de categorías en Grp es el producto libre de grupos. Los objetos cero en Grp son los grupos triviales (que constan sólo de un elemento de identidad).
Cada morfismo f : G → H en Grp tiene un núcleo de teoría de categorías (dado por el núcleo ordinario del álgebra ker f = { x en G | f ( x ) = e }), y también un conúcleo de teoría de categorías (dado por el grupo de factores de H por la clausura normal de f ( G ) en H ). A diferencia de las categorías abelianas, no es cierto que cada monomorfismo en Grp sea el núcleo de su cokernel.
La categoría de grupos abelianos , Ab , es una subcategoría completa de Grp . Ab es una categoría abeliana , pero Grp no lo es. De hecho, Grp ni siquiera es una categoría aditiva , porque no existe una forma natural de definir la "suma" de dos homomorfismos de grupo. Una prueba de esto es la siguiente: El conjunto de morfismos del grupo simétrico S 3 de orden tres consigo mismo, , tiene diez elementos: un elemento z cuyo producto a cada lado con cada elemento de E es z (el homomorfismo que envía cada elemento a la identidad), tres elementos tales que su producto en un lado fijo sea siempre él mismo (las proyecciones sobre los tres subgrupos de orden dos) y seis automorfismos. Si Grp fuera una categoría aditiva, entonces este conjunto E de diez elementos sería un anillo . En cualquier anillo, el elemento cero se distingue por la propiedad de que 0 x = x 0=0 para todo x en el anillo, por lo que z tendría que ser el cero de E. Sin embargo, no hay dos elementos distintos de cero de E cuyo producto sea z , por lo que este anillo finito no tendría divisores cero . Un anillo finito sin divisores de cero es un campo según el pequeño teorema de Wedderburn , pero no existe un campo con diez elementos porque todo campo finito tiene por orden, la potencia de un primo.
La noción de secuencia exacta es significativa en Grp , y algunos resultados de la teoría de las categorías abelianas, como los nueve lemas , los cinco lemas y sus consecuencias, son válidos en Grp . Sin embargo, el lema de la serpiente no es cierto en Grp . [ dudoso ] [ cita necesaria ]
Grp es una categoría regular .
