simetría C

Simetría de leyes físicas bajo una transformación de conjugación de carga.

En física , la conjugación de carga es una transformación que cambia todas las partículas con sus correspondientes antipartículas , cambiando así el signo de todas las cargas : no sólo la carga eléctrica sino también las cargas relevantes para otras fuerzas. El término simetría C es una abreviatura de la frase "simetría de conjugación de carga" y se utiliza en discusiones sobre la simetría de las leyes físicas bajo conjugación de carga. Otras simetrías discretas importantes son la simetría P (paridad) y la simetría T (inversión de tiempo).

Estas simetrías discretas, C, P y T, son simetrías de las ecuaciones que describen las fuerzas fundamentales conocidas de la naturaleza: el electromagnetismo , la gravedad , las interacciones fuertes y débiles . Verificar si una determinada ecuación matemática modela correctamente la naturaleza requiere dar interpretación física no sólo a las simetrías continuas , como el movimiento en el tiempo, sino también a sus simetrías discretas , y luego determinar si la naturaleza se adhiere a estas simetrías. A diferencia de las simetrías continuas, la interpretación de las simetrías discretas es un poco más exigente y confusa intelectualmente. Una primera sorpresa apareció en la década de 1950, cuando Chien Shiung Wu demostró que la interacción débil violaba la simetría P. Durante varias décadas, pareció que la simetría combinada CP se conservaba, hasta que se descubrieron interacciones que violaban la CP . Ambos descubrimientos conducen a premios Nobel .

La simetría C es particularmente problemática físicamente, ya que el universo está lleno principalmente de materia , no de antimateria , mientras que la ingenua simetría C de las leyes físicas sugiere que debería haber cantidades iguales de ambas. Actualmente se cree que la violación del CP durante el universo temprano puede explicar el "exceso" de materia, aunque el debate no está resuelto. Libros de texto anteriores sobre cosmología , anteriores a la década de 1970, ^{[ ¿cuáles? ]} sugirió habitualmente que quizás las galaxias distantes estuvieran compuestas enteramente de antimateria, manteniendo así un equilibrio neto de cero en el universo.

Este artículo se centra en exponer y articular la simetría C de varias ecuaciones y sistemas teóricos importantes, incluida la ecuación de Dirac y la estructura de la teoría cuántica de campos . Las diversas partículas fundamentales se pueden clasificar según su comportamiento bajo conjugación de carga; esto se describe en el artículo sobre paridad C.

Resumen informal

La conjugación de carga ocurre como una simetría en tres entornos diferentes pero estrechamente relacionados: una simetría de las soluciones (clásicas, no cuantificadas) de varias ecuaciones diferenciales notables, incluidas la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac , una simetría de los campos cuánticos correspondientes , y en un entorno general, una simetría en la geometría (pseudo) riemanniana . En los tres casos, la simetría finalmente se revela como una simetría bajo conjugación compleja , aunque a veces puede ofuscarse exactamente lo que se está conjugando, dependiendo de la notación, las elecciones de coordenadas y otros factores.

En campos clásicos

La simetría de conjugación de carga se interpreta como la de la carga eléctrica , porque en los tres casos (clásico, cuántico y geométrico), se pueden construir corrientes de Noether que se asemejan a las de la electrodinámica clásica . Esto surge porque la propia electrodinámica, a través de las ecuaciones de Maxwell , puede interpretarse como una estructura en un haz de fibras U(1) , el llamado haz circular . Esto proporciona una interpretación geométrica del electromagnetismo: el potencial electromagnético se interpreta como la conexión de calibre (la conexión de Ehresmann ) en el haz circular. Esta interpretación geométrica permite entonces (literalmente casi) que cualquier cosa que posea una estructura de números complejos se acople al campo electromagnético, siempre que este acoplamiento se realice de forma invariante en calibre . La simetría de calibre, en este entorno geométrico, es una afirmación de que, a medida que uno se mueve en el círculo, el objeto acoplado también debe transformarse de una "forma circular", siguiendo de manera correspondiente. Más formalmente, se dice que las ecuaciones deben ser invariantes de calibre ante un cambio de marcos de coordenadas locales en el círculo. Para U(1), esta es solo la afirmación de que el sistema es invariante bajo la multiplicación por un factor de fase que depende de la coordenada (espacio-temporal) . En este entorno geométrico, la conjugación de carga puede entenderse como la simetría discreta que realiza una conjugación compleja. , que invierte el sentido de dirección alrededor del círculo. ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$

En teoría cuántica

En la teoría cuántica de campos , la conjugación de cargas puede entenderse como el intercambio de partículas con antipartículas . Para comprender esta afirmación, es necesario tener una comprensión mínima de qué es la teoría cuántica de campos. En términos (muy) simplificados, es una técnica para realizar cálculos para obtener soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas mediante la teoría de perturbaciones . Un ingrediente clave de este proceso es el campo cuántico , uno para cada una de las ecuaciones diferenciales (libres, desacopladas) del sistema. Un campo cuántico se escribe convencionalmente como

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

donde está el impulso, es una etiqueta de espín y es una etiqueta auxiliar para otros estados del sistema. Los y son operadores de creación y aniquilación ( operadores de escalera ) y son soluciones a la ecuación diferencial (libre, que no interactúa, desacoplada) en cuestión. El campo cuántico juega un papel central porque, en general, no se sabe cómo obtener soluciones exactas al sistema de cuestiones diferenciales acopladas. Sin embargo, mediante la teoría de la perturbación, se pueden construir soluciones aproximadas como combinaciones de soluciones de campo libre. Para realizar esta construcción, uno debe poder extraer y trabajar con cualquier solución de campo libre, bajo demanda, cuando sea necesario. El campo cuántico proporciona exactamente esto: enumera todas las posibles soluciones de campo libre en un espacio vectorial de modo que cualquiera de ellas pueda seleccionarse en un momento dado, mediante los operadores de creación y aniquilación. ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle u,v}$

Los operadores de creación y aniquilación obedecen a las relaciones de conmutación canónicas , en el sentido de que un operador "deshace" lo que el otro "crea". Esto implica que cualquier solución dada debe ir acompañada de su "anti-solución" de modo que una deshaga o cancele a la otra. El emparejamiento debe realizarse de manera que se conserven todas las simetrías. Como generalmente nos interesa la invariancia de Lorentz , el campo cuántico contiene una integral sobre todos los posibles sistemas de coordenadas de Lorentz, escrita anteriormente como una integral sobre todos los momentos posibles (es una integral sobre la fibra del haz de sistemas ). El emparejamiento requiere que un dado esté asociado con un impulso y energía opuestos. El campo cuántico es también una suma de todos los posibles estados de espín; el emparejamiento dual vuelve a coincidir con giros opuestos. Del mismo modo, para cualquier otro número cuántico, estos también están emparejados como opuestos. Existe una dificultad técnica al llevar a cabo este emparejamiento dual: se debe describir lo que significa que una solución dada sea "dual con" otra solución y describirla de tal manera que permanezca consistentemente dual cuando se integra sobre la fibra de el haz de cuadros, al integrar (suma) sobre la fibra que describe el giro, y al integrar (suma) sobre cualquier otra fibra que ocurra en la teoría. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$

Cuando la fibra sobre la que se va a integrar es la fibra U(1) de electromagnetismo, el emparejamiento dual es tal que la dirección (orientación) de la fibra se invierte. Cuando la fibra a integrar es la fibra SU(3) de la carga de color , el emparejamiento dual nuevamente invierte la orientación. Esto "simplemente funciona" para SU(3) porque tiene dos representaciones fundamentales duales y que pueden emparejarse de forma natural. Esta prescripción para un campo cuántico se generaliza naturalmente a cualquier situación en la que se puedan enumerar las simetrías continuas del sistema y definir duales de una manera coherente y consistente. El emparejamiento une cargas opuestas en un sentido totalmente abstracto. En física, una carga está asociada a un generador de simetría continua. Diferentes cargas están asociadas con diferentes espacios propios de los invariantes de Casimir del álgebra envolvente universal para esas simetrías. Este es el caso tanto de la simetría de Lorentz de la variedad espaciotemporal subyacente , como de las simetrías de cualquier fibra en el haz de fibras colocado sobre la variedad espaciotemporal. La dualidad reemplaza el generador de la simetría por el generador negativo. Por tanto, la conjugación de carga está asociada con la reflexión a lo largo del haz de líneas o haz determinante del espacio de simetrías. ${\displaystyle \mathbf {3} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$

Lo anterior entonces es un esbozo de la idea general de un campo cuántico en la teoría cuántica de campos. La interpretación física es que las soluciones corresponden a partículas y las soluciones corresponden a antipartículas, por lo que la conjugación de carga es un emparejamiento de las dos. Este boceto también proporciona suficientes sugerencias para indicar cómo se vería la conjugación de carga en un entorno geométrico general. No existe ningún requisito forzoso particular para utilizar la teoría de la perturbación, para construir campos cuánticos que actuarán como intermediarios en una expansión perturbativa. A la conjugación de carga se le puede dar una configuración general. ${\displaystyle u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$ ${\displaystyle v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)}$

En geometría

Para las variedades riemannianas y pseudo-riemannianas generales , se tiene un paquete tangente , un paquete cotangente y una métrica que une a los dos. Hay varias cosas interesantes que uno puede hacer cuando se le presenta esta situación. Una es que la estructura suave permite plantear ecuaciones diferenciales en la variedad; los espacios tangente y cotangente proporcionan suficiente estructura para realizar cálculos en variedades . De interés clave es el operador laplaciano y, con un término constante, lo que equivale al operador de Klein-Gordon. Los paquetes cotangentes, por su construcción básica, son siempre variedades simplécticas . Las variedades simplécticas tienen coordenadas canónicas interpretadas como posición y momento, obedeciendo relaciones de conmutación canónicas . Esto proporciona la infraestructura central para extender la dualidad y, por tanto, la conjugación de cargas, a este entorno general. ${\displaystyle x,p}$

Una segunda cosa interesante que se puede hacer es construir una estructura de espín . Quizás lo más notable de esto es que se trata de una generalización muy reconocible a una variedad pseudo-riemanniana de dimensiones del concepto físico convencional de espinores que viven en un espacio-tiempo de Minkowski de dimensiones (1,3) . La construcción pasa por un álgebra de Clifford compleja para construir un paquete de Clifford y una variedad de espín . Al final de esta construcción, se obtiene un sistema que resulta notablemente familiar, si ya se conocen los espinores de Dirac y la ecuación de Dirac. Varias analogías se trasladan a este caso general. Primero, los espinores son los espinores de Weyl y vienen en pares complejos conjugados. Son naturalmente anti-conmutación (esto se desprende del álgebra de Clifford), que es exactamente lo que uno quiere hacer con el principio de exclusión de Pauli . Otra es la existencia de un elemento quiral , análogo a la matriz gamma , que clasifica estos espinores en subespacios izquierdo y derecho. La complejización es un ingrediente clave y proporciona "electromagnetismo" en este entorno generalizado. El haz de espín no se transforma "simplemente" bajo el grupo pseudoortogonal , la generalización del grupo de Lorentz , sino bajo un grupo más grande, el grupo de espín complejizado . Es más grande porque tiene una doble cobertura por ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle SO(p,q)}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ ${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

La pieza se puede identificar con el electromagnetismo de varias formas diferentes. Una forma es que los operadores de Dirac en el colector de espín, cuando se elevan al cuadrado, contienen una pieza que surge de esa parte de la conexión asociada con la pieza. Esto es enteramente análogo a lo que sucede cuando se eleva al cuadrado la ecuación ordinaria de Dirac en el espacio-tiempo ordinario de Minkowski. Una segunda pista es que esta pieza está asociada con el haz determinante de la estructura de espín, uniendo efectivamente los espinores izquierdo y derecho mediante una conjugación compleja. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle F=dA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Lo que queda es trabajar a través de las simetrías discretas de la construcción anterior. Hay varios que parecen generalizar la simetría P y la simetría T. Al identificar las dimensiones con el tiempo y las dimensiones con el espacio, se pueden invertir los vectores tangentes en el subespacio dimensional para obtener la inversión del tiempo, y cambiar la dirección de las dimensiones corresponde a la paridad. La simetría C se puede identificar con la reflexión en el haz de líneas. Para unir todo esto en un nudo, finalmente tenemos el concepto de transposición , en el sentido de que los elementos del álgebra de Clifford se pueden escribir en orden inverso (transpuesto). El resultado neto es que no sólo las ideas físicas convencionales sobre los campos pasan al marco riemanniano general, sino también las ideas de las simetrías discretas. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Hay dos maneras de reaccionar ante esto. Una es tratarlo como una curiosidad interesante. La otra es darse cuenta de que, en dimensiones bajas (en el espacio-tiempo de bajas dimensiones) hay muchos isomorfismos "accidentales" entre varios grupos de Lie y otras estructuras variadas. Ser capaz de examinarlas en un contexto general desenreda estas relaciones, exponiendo más claramente "de dónde vienen las cosas".

Conjugación de carga para campos de Dirac

Las leyes del electromagnetismo (tanto clásica como cuántica ) son invariantes ante el intercambio de cargas eléctricas con sus negativos. Para el caso de electrones y quarks , los cuales son campos de fermiones de partículas fundamentales , las excitaciones del campo de una sola partícula se describen mediante la ecuación de Dirac.

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Se desea encontrar una solución de carga conjugada.

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Un puñado de manipulaciones algebraicas son suficientes para obtener el segundo a partir del primero. ^{[1] [2] [3]} Las exposiciones estándar de la ecuación de Dirac demuestran un campo conjugado interpretado como un campo antipartícula, que satisface la ecuación de Dirac de transposición compleja. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Tenga en cuenta que algunos, pero no todos, los carteles se han invertido. Transponer esto nuevamente da casi la forma deseada, siempre que se pueda encontrar una matriz de 4 × 4 que transponga las matrices gamma para insertar el cambio de signo requerido: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}}$

La solución conjugada de carga viene dada entonces por la involución

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

La matriz 4×4 llamada matriz de conjugación de carga, tiene una forma explícita dada en el artículo sobre matrices gamma . Curiosamente, esta forma no es independiente de la representación, sino que depende de la representación matricial específica elegida para el grupo gamma (el subgrupo del álgebra de Clifford que captura las propiedades algebraicas de las matrices gamma ). Esta matriz depende de la representación debido a una interacción sutil que involucra la complejización del grupo de espín que describe la covarianza de Lorentz de partículas cargadas. El número complejo es un factor de fase arbitrario que generalmente se considera ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Conjugación de carga, quiralidad, helicidad.

La interacción entre quiralidad y conjugación de cargas es un poco sutil y requiere articulación. Se suele decir que la conjugación de cargas no altera la quiralidad de las partículas. Este no es el caso de los campos , la diferencia surge en la interpretación de las partículas en la "teoría de los agujeros", donde una antipartícula se interpreta como la ausencia de una partícula. Esto se articula a continuación.

Convencionalmente, se utiliza como operador de quiralidad. Bajo conjugación de carga, se transforma como ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}}$

y si son iguales o no depende de la representación elegida para las matrices gamma. En la base de Dirac y quiral, se tiene eso , mientras que se obtiene en la base de Majorana. A continuación se muestra un ejemplo resuelto. ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}}$ ${\displaystyle \gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}}$

Espinores de Weyl

Para el caso de campos de espinores de Dirac sin masa, la quiralidad es igual a la helicidad para las soluciones de energía positiva (y menos la helicidad para las soluciones de energía negativa). ^{[2] : § 2-4-3, página 87 y siguientes} . Se obtiene esto escribiendo la ecuación de Dirac sin masa como

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Multiplicando por uno se obtiene ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

donde es el operador del momento angular y es el tensor totalmente antisimétrico . Esto se puede llevar a una forma un poco más reconocible definiendo el operador de giro 3D tomando un estado de onda plana , aplicando la restricción en el caparazón y normalizando el impulso para que sea un vector unitario 3D: escribir ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2}$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$ ${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$ ${\displaystyle k\cdot k=0}$ ${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$

${\displaystyle \left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Al examinar lo anterior, se concluye que los estados propios del momento angular ( estados propios de helicidad ) corresponden a los estados propios del operador quiral . Esto permite que el campo de Dirac sin masa se divida limpiamente en un par de espinores de Weyl y cada uno de ellos satisfaga individualmente la ecuación de Weyl , pero con energía opuesta: ${\displaystyle \psi _{\text{L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{R}},}$

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0}$

y

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0}$

Tenga en cuenta la libertad que uno tiene para equiparar la helicidad negativa con la energía negativa y, por tanto, la antipartícula con la partícula de helicidad opuesta. Para ser claros, aquí están las matrices de Pauli y es el operador de impulso. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$

Conjugación de carga en base quiral.

Tomando la representación de Weyl de las matrices gamma, se puede escribir un espinor de Dirac (ahora considerado masivo) como

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

El campo dual (antipartícula) correspondiente es

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Los espinores de carga conjugada son

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

donde, como antes, es un factor de fase que se puede considerar como Note que los estados izquierdo y derecho se intercambian. Esto se puede restaurar con una transformación de paridad. En condiciones de paridad , el espinor de Dirac se transforma como ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)}$

Bajo carga y paridad combinadas, uno tiene entonces

${\displaystyle \psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}}$

Convencionalmente se toma globalmente. Véase, sin embargo, la nota siguiente. ${\displaystyle \eta _{c}=1}$

Condición majorana

La condición de Majorana impone una restricción entre el campo y su carga conjugada, es decir, que deben ser iguales: esto quizás se exprese mejor como el requisito de que el espinor de Majorana debe ser un estado propio de la involución de la conjugación de carga. ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$

Hacerlo requiere cierto cuidado notacional. En muchos textos que analizan la conjugación de cargas, a la involución no se le da un nombre simbólico explícito cuando se aplica a soluciones de una sola partícula de la ecuación de Dirac. Esto contrasta con el caso cuando se analiza el campo cuantificado , donde se define un operador unitario (como se hace en una sección posterior, a continuación). Para la presente sección, denominemos la involución de modo que , tomando esto como un operador lineal, se puedan considerar sus estados propios. La condición de Majorana señala uno de ellos: Sin embargo, existen dos estados propios: Siguiendo con la base de Weyl, como antes, estos estados propios son ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}}$

El espinor de Majorana se toma convencionalmente simplemente como el estado propio positivo, es decir, el operador quiral intercambia estos dos, en el sentido de que ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$ ${\displaystyle \gamma _{5}}$

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

Esto se verifica fácilmente mediante sustitución directa. ¡ Ten en cuenta que no tiene una representación matricial de 4×4! Más precisamente, no existe una matriz compleja de 4×4 que pueda llevar un número complejo a su conjugado complejo; esta inversión requeriría una matriz real de 8×8. La interpretación física de la conjugación compleja como conjugación de carga queda clara al considerar la conjugación compleja de campos escalares, que se describe en una sección posterior a continuación. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Los proyectores sobre los estados propios quirales se pueden escribir como y , por lo que lo anterior se traduce en ${\displaystyle P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2}$ ${\displaystyle P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,}$

${\displaystyle P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.}$

Esto demuestra directamente que la conjugación de carga, aplicada a soluciones de una sola partícula con valores de números complejos de la ecuación de Dirac invierte la quiralidad de la solución. Los proyectores sobre los espacios propios de conjugación de carga son y ${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}}$ ${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.}$

Interpretación geométrica

Al factor de fase se le puede dar una interpretación geométrica. Se ha observado que, para espinores de Dirac masivos, el factor de fase "arbitrario" puede depender tanto del impulso como de la helicidad (pero no de la quiralidad). ^[4] Esto puede interpretarse como que esta fase puede variar a lo largo de la fibra del haz de espinores , dependiendo de la elección local de un marco de coordenadas. Dicho de otra manera, un campo de espinor es una sección local del haz de espinor, y los impulsos y rotaciones de Lorentz corresponden a movimientos a lo largo de las fibras del haz de marco correspondiente (nuevamente, solo una elección del marco de coordenadas local). Examinada de esta manera, esta libertad de fase adicional puede interpretarse como la fase que surge del campo electromagnético. Para los spinors de Majorana , la fase estaría limitada a no variar bajo impulsos y rotaciones. ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{c}\ }$

Conjugación de carga para campos cuantificados

Lo anterior describe la conjugación de carga solo para soluciones de una sola partícula. Cuando el campo de Dirac se cuantifica en segundo lugar , como en la teoría cuántica de campos , los operadores describen los campos espinórico y electromagnético. La involución de conjugación de carga se manifiesta entonces como un operador unitario (en fuente caligráfica) que actúa sobre los campos de partículas, expresado como ^{[5] [6]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\ }$

donde lo no caligráfico es la misma matriz de 4 × 4 dada anteriormente. ${\displaystyle \ C\ }$

Inversión de carga en la teoría electrodébil.

La conjugación de carga no altera la quiralidad de las partículas. Un neutrino zurdo se convertiría mediante conjugación de carga en un antineutrino zurdo , que no interactúa en el modelo estándar. Esta propiedad es lo que se entiende por "violación máxima" de la simetría C en la interacción débil.

Algunas extensiones postuladas del modelo estándar , como los modelos izquierda-derecha , restauran esta simetría C.

Campos escalares

El campo de Dirac tiene una libertad de calibre "oculta", lo que le permite acoplarse directamente al campo electromagnético sin modificaciones adicionales a la ecuación de Dirac o al campo mismo. ^[a] Este no es el caso de los campos escalares , que deben "complejarse" explícitamente para acoplarse al electromagnetismo. Esto se hace "tensorizando" un factor adicional del plano complejo en el campo, o construyendo un producto cartesiano con . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U(1)}$

Una técnica muy convencional es simplemente comenzar con dos campos escalares reales y crear una combinación lineal. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

La involución de conjugación de carga es entonces el mapeo, ya que esto es suficiente para invertir el signo del potencial electromagnético (ya que este número complejo se utiliza para acoplarse a él). Para campos escalares reales, la conjugación de carga es simplemente el mapa de identidad: y así, para el campo complejizado, la conjugación de carga es simplemente La flecha "mapsto" es conveniente para rastrear "qué va a dónde"; la notación antigua equivalente es simplemente escribir y y ${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Lo anterior describe la construcción convencional de un campo escalar cargado. También es posible introducir estructuras algebraicas adicionales en los campos de otras maneras. En particular, se puede definir un campo "real" que se comporte como . Como es real, no puede acoplarse al electromagnetismo por sí mismo, pero, cuando se complejiza, daría como resultado un campo cargado que se transforma como. Debido a que la simetría C es una simetría discreta , uno tiene cierta libertad para jugar este tipo de juegos algebraicos en la búsqueda. para una teoría que modele correctamente alguna realidad física dada. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$

En la literatura de física, una transformación como la que podría escribirse sin ninguna explicación adicional. La interpretación matemática formal de esto es que el campo es un elemento de dónde . Por lo tanto, hablando propiamente, el campo debería escribirse como el que se comporta bajo la conjugación de cargas. Es muy tentador, pero no del todo formalmente correcto, simplemente multiplicarlos, moverlos. alrededor de la ubicación de este signo menos; En su mayoría, esto "simplemente funciona", pero no realizar un seguimiento adecuado generará confusión. ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$ ${\displaystyle \phi =(r,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$

Combinación de inversión de carga y paridad

Durante algún tiempo se creyó que la simetría C podría combinarse con la transformación de inversión de paridad (ver Simetría P ) para preservar una simetría CP combinada . Sin embargo, se han identificado violaciones de esta simetría en las interacciones débiles (particularmente en los kaones y mesones B ). En el modelo estándar, esta violación de CP se debe a una sola fase en la matriz CKM . Si CP se combina con inversión del tiempo ( simetría T ), la simetría CPT resultante se puede mostrar utilizando solo los axiomas de Wightman para ser obedecidos universalmente.

En entornos generales

El análogo de la conjugación de carga se puede definir para matrices gamma de dimensiones superiores , con una construcción explícita para los espinores de Weyl que figura en el artículo sobre matrices de Weyl-Brauer . Tenga en cuenta, sin embargo, que los espinores, tal como se definen de manera abstracta en la teoría de representación de las álgebras de Clifford, no son campos; más bien, se debería pensar que existen en un espacio-tiempo de dimensión cero.

El análogo de la simetría T se deriva del operador de conjugación T para los espinores de Dirac. Los espinores también tienen una simetría P inherente , que se obtiene invirtiendo la dirección de todos los vectores base del álgebra de Clifford a partir de los cuales se construyen los espinores. La relación con las simetrías P y T para un campo de fermiones en una variedad de espacio-tiempo es un poco sutil, pero se puede caracterizar de la siguiente manera. Cuando se construye un espinor mediante el álgebra de Clifford, la construcción requiere un espacio vectorial sobre el cual construir. Por convención, este espacio vectorial es el espacio tangente de la variedad espacio-temporal en un punto fijo del espacio-tiempo (una sola fibra en la variedad tangente ). Entonces se puede entender que las operaciones P y T aplicadas a la variedad espacio-temporal también invierten las coordenadas del espacio tangente; por lo tanto, los dos están pegados. Invertir la paridad o la dirección del tiempo en uno también lo hace en el otro. Esta es una convención. Uno puede perder el control si no logra propagar esta conexión. ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$

Esto se hace tomando el espacio tangente como un espacio vectorial , extendiéndolo a un álgebra tensorial y luego usando un producto interno en el espacio vectorial para definir un álgebra de Clifford . Al tratar cada uno de estos álgebras como una fibra, se obtiene un haz de fibras llamado haz de Clifford . Bajo un cambio de base del espacio tangente, los elementos del álgebra de Clifford se transforman según el grupo de espín . La construcción de un haz de fibras principal con el grupo de espín como fibra da como resultado una estructura de espín .

Lo único que falta en los párrafos anteriores son los propios espinores . Estos requieren la "complejización" de la variedad tangente: tensorizarla con el plano complejo. Una vez hecho esto, se pueden construir los espinores de Weyl . Estos tienen la forma

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

donde son los vectores base para el espacio vectorial , el espacio tangente en un punto de la variedad espacio-temporal. Los espinores de Weyl, junto con sus conjugados complejos, abarcan el espacio tangente, en el sentido de que ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M.}$

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

El álgebra alternante se llama espacio de espinores, es donde viven los espinores, así como los productos de los espinores (por lo tanto, objetos con valores de espín más altos, incluidos vectores y tensores). ${\displaystyle \wedge W}$

Ver también

• paridad c
• paridad G
• Antipartícula
• Antimateria
• Partícula verdaderamente neutra

Notas

1. Esta libertad se elimina explícitamente y se restringe en los spinors de Majorana .

Referencias

1. Bjorken, James D. y Drell, Sidney D. (1964). Mecánica Cuántica Relativista . Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill. capítulo 5.2, páginas 66-70.
2. Itzykson, Claude y Zuber, Jean-Bernard (1980). Teoría cuántica de campos . Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill. capítulo 2-4, páginas 85 y siguientes.
3. Peskin, ME y Schroeder, DV (1997). Una introducción a la teoría cuántica de campos . Addison Wesley. ISBN 0-201-50397-2.
4. Itzykson y Zuber (1980), § 2-4-2 Conjugación de carga , página 86, ecuación 2-100
5. Bjorken y Drell (1964), capítulo 15
6. Itzykson y Zuber (1980), § 3-4

• Sozzi, MS (2008). "Simetrías discretas y violación de CP" . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-929666-8.