Capa límite de Blasius

Capa límite laminar bidimensional que se forma en una placa semiinfinita

En física y mecánica de fluidos , una capa límite de Blasius (nombrada en honor a Paul Richard Heinrich Blasius ) describe la capa límite laminar bidimensional estable que se forma sobre una placa semiinfinita que se mantiene paralela a un flujo unidireccional constante. Falkner y Skan luego generalizaron la solución de Blasius al flujo en cuña ( capa límite de Falkner-Skan ), es decir, flujos en los que la placa no es paralela al flujo.

Ecuaciones de la capa límite de Prandtl

Diagrama esquemático del perfil de flujo de Blasius. Se muestra el componente de velocidad en el sentido de la corriente como función de la variable de similitud . ${\displaystyle u(\eta )/U}$ ${\displaystyle \eta }$

Utilizando argumentos de escala, Ludwig Prandtl ^[1] argumentó que aproximadamente la mitad de los términos en las ecuaciones de Navier-Stokes son despreciables en flujos de capa límite (excepto en una pequeña región cerca del borde delantero de la placa). Esto conduce a un conjunto reducido de ecuaciones conocidas como ecuaciones de capa límite . Para un flujo incompresible constante con viscosidad y densidad constantes, estas se leen:

• Continuidad de masa: ${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}+{\dfrac {\partial v}{\partial y}}=0}$
• ${\displaystyle x}$-Impulso: ${\displaystyle u{\dfrac {\partial u}{\partial x}}+v{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {1}{\rho }}{\dfrac {\partial p}{\partial x}}+{\nu }{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$
• ${\displaystyle y}$-Impulso: ${\displaystyle 0=-{\dfrac {\partial p}{\partial y}}}$

Aquí el sistema de coordenadas se elige con apuntando paralelo a la placa en la dirección del flujo y la coordenada apuntando normal a la placa, y son los componentes de velocidad y , es la presión , es la densidad y es la viscosidad cinemática . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$

Se han encontrado varias soluciones de similitud para este conjunto de ecuaciones para varios tipos de flujo, incluido el flujo en una placa plana delgada. El término similitud se refiere a la propiedad de que los perfiles de velocidad en diferentes posiciones en el flujo son los mismos aparte de los factores de escala. Los factores de escala de similitud reducen el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de solución relativamente fácil. Paul Richard Heinrich Blasius , ^[2] uno de los estudiantes de Prandtl, desarrolló el modelo de similitud correspondiente al flujo para el caso en el que el gradiente de presión, / , a lo largo de una placa plana delgada es insignificante en comparación con cualquier gradiente de presión en la región de la capa límite. ${\displaystyle {\partial p}}$ ${\displaystyle {\partial x}}$

Ecuación de Blasius: capa límite de primer orden

Blasius demostró que para el caso en que , la ecuación de Prandtl-momentum tiene una solución autosimilar. La solución autosimilar existe porque las ecuaciones y las condiciones de contorno son invariantes bajo la transformación ${\displaystyle {\partial p}/{\partial x}=0}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}}}$$

donde es cualquier constante positiva. Introdujo las variables autosimilares. ${\displaystyle c}$

Desarrollo de la capa límite de Blasius (no a escala). El perfil de velocidad se muestra en rojo en posiciones seleccionadas a lo largo de la placa. Las líneas azules representan, en orden de arriba a abajo, la línea de velocidad de corriente libre del 99 % ( ), el espesor de desplazamiento ( ) y ( ). Consulte Espesor de la capa límite para obtener una explicación más detallada. ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \delta _{99\%},\eta \approx 5.29}$ ${\displaystyle \delta _{*},\eta \approx 1.79}$ ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle \eta =1.51}$

$${\displaystyle \eta ={\dfrac {y}{\delta (x)}}=y{\sqrt {\dfrac {U}{\nu x}}},\quad \psi ={\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )}$$

donde es el espesor de la capa límite , es la velocidad de la corriente libre y es la función de la corriente . La función de la corriente es directamente proporcional a la función normalizada, , que es solo una función de la variable de espesor de similitud. Esto conduce directamente a los componentes de velocidad: ^{[3] : 136} ${\textstyle \delta (x)\propto {\sqrt {\nu x/U}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle f(\eta )}$

$${\displaystyle u(x,y)={\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}=Uf'(\eta ),\quad v(x,y)=-{\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\nu U}{x}}}[\eta f'(\eta )-f(\eta )]}$$

Donde la prima denota derivación con respecto a . La sustitución en la ecuación de momento da como resultado la ecuación de Blasius ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle 2f^{(3)}+f''f=0}$$

Las condiciones límite son la condición de no deslizamiento , la impermeabilidad de la pared y la velocidad de la corriente libre fuera de la capa límite.

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,0)&=0&\rightarrow &&f'(0)&=0\\v(x,0)&=0&\rightarrow &&f(0)&=0\\u(x,\infty )&=U&\rightarrow &&f'(\infty )&=1\end{aligned}}}$$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden que se puede resolver numéricamente, por ejemplo, con el método de disparo .

Con la solución para y sus derivadas en la mano, la ecuación de Prandtl -momento se puede adimensionalizar y reorganizar para obtener el gradiente de presión, / , como ^{[4] : 46} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\partial p}}$ ${\displaystyle {\partial y}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{U^{2}\delta ^{*}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial y}}\quad =\quad {\frac {1}{2}}\eta f^{(3)}\;+\;{\frac {1}{2}}f''\;-\;{\frac {1}{4}}ff'\;+\;{\frac {1}{4}}\eta f'^{2}\;+\;{\frac {1}{4}}\eta ff''\quad ,}$$¿Dónde está el espesor del desplazamiento de Blasius? ${\displaystyle \delta ^{*}}$

La velocidad normal de Blasius y el gradiente de presión -asintóticamente tienen un valor de 0,86 y 0,43, respectivamente, en valores grandes , mientras que las asíntotas de la velocidad de la corriente libre tiende a cero, el gradiente de presión -escalado llega a 0,16603. ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle y}$

Representación esquemática de las velocidades escaladas y el gradiente de presión para el flujo de la capa límite de Blasius en función de la altura normal escalada por encima del muro . La línea roja es la velocidad escalada de Blasius , la línea verde es la velocidad de Blasius y la línea azul es la velocidad de Blasius . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u(x,y)/U}$ ${\textstyle v(x,y)/{\sqrt {\nu U/x}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dy}}/{\sqrt {\nu U^{3}/x^{3}}}}$

La forma limitante para pequeño es ${\displaystyle \eta \ll 1}$

$${\displaystyle f(\eta )={\frac {1}{2}}\alpha \eta ^{2}+O(\eta ^{5}),\qquad \alpha =0.332057336215196}$$

y la forma límite para grande es ^[5] ${\displaystyle \eta \gg 1}$

$${\displaystyle f(\eta )=\eta -\beta +O\left((\eta -\beta )^{-2}e^{-{\frac {1}{2}}(\eta -\beta )^{2}}\right),\qquad \beta =1.7207876575205}$$

Los parámetros característicos de las capas límite son el espesor de la capa límite viscosa de dos sigmas, ^[6] , el espesor de desplazamiento , el espesor de momento , la tensión cortante de la pared y la fuerza de arrastre que actúa sobre una longitud de la placa. Para la solución de Blasius, se dan por ${\displaystyle \delta _{v}}$ ${\displaystyle \delta ^{*}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tau _{w}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{99}&\approx \delta _{v}=5.29{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\delta ^{*}&=\delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=1.72{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\theta &=\delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=0.665{\sqrt {\frac {\nu x}{U}}}\\[1ex]\tau _{w}&=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}=0.332{\sqrt {\frac {\rho \mu U^{3}}{x}}}\\[1ex]F&=2\int _{0}^{l}\tau _{w}dx=1.328{\sqrt {\rho \mu lU^{3}}}\end{aligned}}}$$

El factor en la fórmula de fuerza de arrastre es tener en cuenta ambos lados de la placa. ${\displaystyle 2}$

La integral de momento de Von Kármán y la integral de energía para el perfil de Blasius se reducen a

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}&={\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\\{\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}&={\frac {\partial \delta _{3}}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}\end{aligned}}}$$

donde es la tensión cortante de la pared, es la velocidad de inyección/succión de la pared, es la tasa de disipación de energía, es el espesor del momento y es el espesor de energía. ${\displaystyle \tau _{w}}$ ${\displaystyle v_{w}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \delta _{3}}$

Singularidad de la solución de Blasius

La solución de Blasius no es única desde una perspectiva matemática, ^{[7] : 131} como el propio Ludwig Prandtl lo advirtió en su teorema de transposición y analizado por una serie de investigadores como Keith Stewartson , Paul A. Libby . ^[8] A esta solución, se puede agregar cualquiera del conjunto infinito discreto de funciones propias, cada una de las cuales satisface la ecuación perturbada linealmente con condiciones homogéneas y decaimiento exponencial en el infinito. La primera de estas funciones propias resulta ser la derivada de la solución de Blasius de primer orden, que representa la incertidumbre en la ubicación efectiva del origen. ${\displaystyle x}$

Capa límite de segundo orden

Esta aproximación de capa límite predice una velocidad vertical distinta de cero lejos de la pared, que debe tenerse en cuenta en la capa no viscosa externa de siguiente orden y la solución de capa límite interna correspondiente, que a su vez predecirá una nueva velocidad vertical y así sucesivamente. La velocidad vertical en el infinito para el problema de capa límite de primer orden de la ecuación de Blasius es

$${\displaystyle v=0.86{\sqrt {\frac {\nu U}{x}}}}$$

La solución para la capa límite de segundo orden es cero. La solución para la capa límite interna y la capa no viscosa externa son ^{[7] : 134}

$${\displaystyle \psi (x,y)\sim {\begin{cases}y-{\sqrt {\frac {\nu }{Ux}}}\beta \ \Re {\sqrt {x+iy}},&{\text{outer }}\\{\sqrt {\nu Ux}}f(\eta )+0,&{\text{inner}}\end{cases}}}$$

Nuevamente, como en el problema de frontera de primer orden, cualquiera de las infinitas soluciones propias se puede agregar a esta solución. En todas las soluciones se puede considerar como un número de Reynolds . ${\displaystyle Re=Ux/\nu }$

Capa límite de tercer orden

Dado que el problema interno de segundo orden es cero, las correcciones correspondientes al problema de tercer orden son nulas, es decir, el problema externo de tercer orden es el mismo que el problema externo de segundo orden. ^{[7] : 139} La solución para la corrección de tercer orden no tiene una expresión exacta, pero la expansión de la capa límite interna tiene la forma,

$${\displaystyle \psi (x,y)\sim {\sqrt {2\nu Ux}}f(\eta )+0+\left({\frac {\nu }{Ux}}\right)^{3/2}\left[\log \left({\frac {Ux}{\nu }}\right){\sqrt {\frac {x}{2}}}f_{32}(\eta )+{\frac {1}{\sqrt {2x}}}f_{31}(\eta )\right]+\cdot \cdot \cdot }$$

donde es la primera solución propia de la solución de la capa límite de primer orden (que es derivada de la solución de Blasius de primer orden) y la solución para no es única y el problema queda con una constante indeterminada. ${\displaystyle f_{32}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{31}}$

Capa límite de Blasius con succión

La succión es uno de los métodos comunes para posponer la separación de la capa límite. ^[9] Considere una velocidad de succión uniforme en la pared . Bryan Thwaites ^[10] demostró que la solución para este problema es la misma que la solución de Blasius sin succión para distancias muy cercanas al borde de ataque. Introducción de la transformación ${\displaystyle v(0)=-V}$

$${\displaystyle \psi ={\sqrt {2U\nu x}}f(\xi ,\eta ),\quad \xi =V{\sqrt {\frac {x}{2U\nu }}},\quad \eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu x}}}y}$$

en las ecuaciones de la capa límite conduce a

$${\displaystyle u=U{\frac {\partial f}{\partial \eta }},\quad v=-{\sqrt {\frac {U\nu }{2x}}}\left(f+\xi {\frac {\partial f}{\partial \xi }}-\eta {\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial \eta ^{3}}}+f{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}+\xi \left({\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \eta ^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}{\frac {\partial f}{\partial \eta }}\right)=0}$$

con condiciones de contorno,

$${\displaystyle f(\xi ,0)=\xi ,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,0)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial \eta }}(\xi ,\infty )=0.}$$

La transformación de von Mises

Iglisch obtuvo la solución numérica completa en 1944. ^[11] Si se introduce la transformación de von Mises ^[12]

$${\displaystyle \sigma =2\xi ,\quad \psi -Vx={\frac {U\nu }{2V}}\sigma \tau ^{2},\quad \phi ={\frac {4u^{2}}{U^{2}}},\quad \chi =U^{2}-u^{2}=U^{2}\left(1-{\frac {V}{4}}\right),}$$

Entonces las ecuaciones se convierten en

$${\displaystyle {\sqrt {\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+\left(2\sigma \tau +\tau ^{3}-{\frac {\sqrt {\phi }}{\tau }}\right){\frac {\partial \phi }{\partial \tau }}=2\sigma \tau ^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial \sigma }}}$$

con condiciones de contorno,

$${\displaystyle \phi (0,\tau )=4,\quad \phi (\sigma ,0)=0,\quad \phi (\sigma ,\infty )=4.}$$

Esta ecuación diferencial parcial parabólica se puede plantear a partir de forma numérica. ${\displaystyle \sigma =0}$

Perfil de succión asintótica

Dado que la convección debida a la succión y la difusión debida a la pared sólida actúan en dirección opuesta, el perfil alcanzará una solución estable a gran distancia, a diferencia del perfil de Blasius, donde la capa límite crece indefinidamente. La solución fue obtenida por primera vez por Griffith y FW Meredith. ^[13] Para distancias desde el borde delantero de la placa , tanto el espesor de la capa límite como la solución son independientes de dados por ${\displaystyle x\gg \nu U/V^{2}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \delta ={\frac {\nu }{V}},\quad u=U(1-e^{-yV/\nu }),\quad v=-V.}$$

Stewartson ^[14] estudió la correspondencia de la solución completa con el perfil de succión asintótico.

Capa límite compresible de Blasius

Aquí se estudia la capa límite de Blasius con una entalpía específica especificada en la pared. La densidad , la viscosidad y la conductividad térmica ya no son constantes aquí. La ecuación para la conservación de la masa, el momento y la energía se convierte en ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}&=0,\\\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right),\\\rho \left(u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)&={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\mu }{Pr}}{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)+\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

donde es el número de Prandtl con sufijo que representa propiedades evaluadas en el infinito. Las condiciones de contorno se convierten en ${\displaystyle Pr=c_{p_{\infty }}\mu _{\infty }/\kappa _{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle u=v=h-h_{w}(x)=0\ {\text{for}}\ y=0,}$$ $${\displaystyle u-U=h-h_{\infty }=0\ {\text{for}}\ y=\infty \ {\text{or}}\ x=0.}$$

A diferencia de la capa límite incompresible, la solución de similitud solo existe si la transformación

$${\displaystyle x\rightarrow c^{2}x,\quad y\rightarrow cy,\quad u\rightarrow u,\quad v\rightarrow {\frac {v}{c}},\quad h\rightarrow h,\quad \rho \rightarrow \rho ,\quad \mu \rightarrow \mu }$$

se cumple y esto sólo es posible si . ${\displaystyle h_{w}={\text{constant}}}$

Transformación de Howarth

Capa límite compresible de Blasius

Introducción de variables autosimilares mediante la transformación de Howarth-Dorodnitsyn

$${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {U}{2\nu _{\infty }x}}}\int _{0}^{y}{\frac {\rho }{\rho _{\infty }}}dy,\quad f(\eta )={\frac {\psi }{\sqrt {2\nu _{\infty }Ux}}},\quad {\tilde {h}}(\eta )={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {\rho }}={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}}}$$

Las ecuaciones se reducen a donde es la relación de calor específico y es el número de Mach , donde es la velocidad del sonido . La ecuación se puede resolver una vez que se especifican. Las condiciones de contorno son $${\displaystyle {\begin{aligned}2({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f'')'+ff''=0,\\({\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}{\tilde {h}}')'+Prf{\tilde {h}}'+Pr(\gamma -1)M^{2}{\tilde {\rho }}{\tilde {\mu }}f''^{2}=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$ ${\displaystyle c_{\infty }}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\tilde {\rho }}({\tilde {h}}),\ {\tilde {\mu }}={\tilde {\mu }}({\tilde {h}})}$

$${\displaystyle f(0)=f'(0)=\theta (0)-{\tilde {h}}_{w}=f'(\infty )-1={\tilde {h}}(\infty )-1=0.}$$

Las expresiones que se usan comúnmente para el aire son . Si es constante, entonces . La temperatura dentro de la capa límite aumentará incluso aunque la temperatura de la placa se mantenga a la misma temperatura que la temperatura ambiente, debido al calentamiento disipativo y, por supuesto, estos efectos de disipación solo son pronunciados cuando el número de Mach es grande. ${\displaystyle \gamma =1.4,\ Pr=0.7,\ {\tilde {\rho }}={\tilde {h}}^{-1},\ {\tilde {\mu }}={\tilde {h}}^{2/3}}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {\theta }}=T/T_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Capa límite de Blasius de primer orden en coordenadas parabólicas

Dado que las ecuaciones de la capa límite son ecuaciones diferenciales parciales parabólicas , las coordenadas naturales para el problema son coordenadas parabólicas . ^{[7] : 142} La transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas parabólicas está dada por ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$

$${\displaystyle x+iy={\tfrac {1}{2}}(\xi +i\eta )^{2},\quad x={\tfrac {1}{2}}(\xi ^{2}-\eta ^{2}),\quad y=\xi \eta .}$$

Véase también

• Capa límite de Falkner-Skan
• Problema de Emmons

Enlaces externos

• [1] - Traducción al inglés del artículo original de Blasius - Memorando técnico de NACA 1256.

Notas al pie

1. Prandtl, L. (1904). "Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verhandlinger 3. Int. Matemáticas. Kongr. Heidelberg : 484–491.
2. Blasio, H. (1908). "Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung". Z. Angew. Matemáticas. Física . 56 : 1–37.
3. Schlichting, H., (1979). Teoría de la capa límite , 7.ª ed., McGraw-Hill, Nueva York.
4. Weyburne, David (2022). Aspectos de la teoría de la capa límite . ISBN 978-0-578-98334-9.
5. Boyd, J. (2008). "La función Blasius: cálculos antes de las computadoras, el valor de los trucos, proyectos de pregrado y problemas de investigación abiertos". SIAM Rev . 50 (4): 791–804. Bibcode :2008SIAMR..50..791B. doi :10.1137/070681594.
6. Weyburne, D. (2014). "Nuevos parámetros de espesor y forma para el perfil de velocidad de la capa límite". Experimental Thermal and Fluid Science . 54 : 22–28. doi :10.1016/j.expthermflusci.2014.01.008.
7. Van Dyke, Milton (1975). Métodos de perturbación en mecánica de fluidos . Parabolic Press. ISBN 9780915760015.
8. Libby, Paul A. y Herbert Fox. "Algunas soluciones de perturbación en la teoría de la capa límite laminar". Journal of Fluid Mechanics 17.3 (1963): 433-449.
9. Rosenhead, Louis, ed. Capas límite laminares. Clarendon Press, 1963.
10. Thwaites, Bryan. Sobre ciertos tipos de flujo en la capa límite con succión superficial continua. HM Stationery Office, 1946.
11. Iglisch, Rudolf. Exakte Berechnung der laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung. Oldenburgo, 1944.
12. Von Mises, Richard. "Bemerkungen zur hidrodinamik." Z. Angew. Matemáticas. Mech 7 (1927): 425-429.
13. Griffith, AA y FW Meredith. "La posible mejora del rendimiento de las aeronaves gracias al uso de la succión de la capa límite". Informe del Royal Aircraft Establishment No. E 3501 (1936): 12.
14. Stewartson, K. "Sobre expansiones asintóticas en la teoría de capas límite". Estudios en Matemáticas Aplicadas 36.1-4 (1957): 173-191.

Referencias

• Parlange, JY; Braddock, RD; Sander, G. (1981). "Aproximaciones analíticas a la solución de la ecuación de Blasius". Acta Mech . 38 (1–2): 119–125. Código Bibliográfico :1981AcMec..38..119P. doi :10.1007/BF01351467. S2CID  122114667.
• Pozrikidis, C. (1998). Introducción a la dinámica de fluidos teórica y computacional . Oxford. ISBN 978-0-19-509320-9.
• Schlichting, H. (2004). Teoría de la capa límite . Saltador. ISBN 978-3-540-66270-9.
• Wilcox, David C. Mecánica básica de fluidos DCW Industries Inc. 2007
• Boyd, John P. (1999), "La función de Blasius en el plano complejo", Experimental Mathematics , 8 (4): 381–394, doi :10.1080/10586458.1999.10504626, ISSN  1058-6458, MR  1737233