Método de disparo

Método para resolver problemas de valores en la frontera.

En análisis numérico , el método de disparo es un método para resolver un problema de valor límite reduciéndolo a un problema de valor inicial . Implica encontrar soluciones al problema de valores iniciales para diferentes condiciones iniciales hasta que se encuentre la solución que también satisfaga las condiciones de frontera del problema de valores de frontera. En términos sencillos, uno "dispara" trayectorias en diferentes direcciones desde un límite hasta que encuentra la trayectoria que "golpea" la otra condición límite.

Descripción matemática

Supongamos que uno quiere resolver el problema de valores en la frontera

$${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.}$$

${\displaystyle y(t;a)}$

$${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.}$$

${\displaystyle y(t_{1};a)=y_{1}}$ ${\displaystyle y(t;a)}$

El método de disparo es el proceso de resolver el problema de valores iniciales para muchos valores diferentes de hasta encontrar la solución que satisfaga las condiciones de contorno deseadas. Normalmente, uno lo hace numéricamente . La(s) solución(es) corresponden a la(s) raíz(es) de ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y(t;a)}$

$${\displaystyle F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.}$$

método de bisecciónel método de Newton ${\displaystyle a}$

Las raíces y las soluciones del problema de valores en la frontera son equivalentes. Si es raíz de , entonces es una solución del problema de valores en la frontera. Por el contrario, si el problema de valores en la frontera tiene una solución , también es la solución única del problema de valores iniciales donde , por lo tanto, es una raíz de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ ${\displaystyle a=y'(t_{0})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$

Etimología e intuición

El término "método de tiro" tiene su origen en la artillería. Una analogía para el método de disparo es

• Coloque un cañón en la posición , luego ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$
• variar el ángulo del cañón, entonces ${\displaystyle a=y'(t_{0})}$
• dispara el cañón hasta que alcance el valor límite . ${\displaystyle y(t_{1})=y_{1}}$

Entre cada disparo, la dirección del cañón se ajusta en función del disparo anterior, por lo que cada disparo impacta más cerca que el anterior. La trayectoria que "alcanza" el valor límite deseado es la solución al problema del valor límite; de ​​ahí el nombre "método de disparo".

Método de disparo lineal

El problema de valores en la frontera es lineal si f tiene la forma

$${\displaystyle f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).}$$

$${\displaystyle y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)}$$

${\displaystyle y_{(1)}(t)}$

$${\displaystyle y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,}$$

${\displaystyle y_{(2)}(t)}$

$${\displaystyle y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.}$$

^[1]

Ejemplos

Problema de valor límite estándar

Figura 1. Trayectorias w ( t ; s ) para s = w '(0) igual a −7, −8, −10, −36 y −40. El punto (1,1) está marcado con un círculo.

Figura 2. La función F ( s ) = w (1; s ) − 1.

^{Stoer y Bulirsch [2]} presentan a continuación un problema de valores en la frontera (Sección 7.3.1).

$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$$

El problema del valor inicial

$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$$

sFswsFwts

Stoer y Bulirsch ^[2] afirman que existen dos soluciones que pueden encontrarse mediante métodos algebraicos.

Estas corresponden a las condiciones iniciales w ′(0) = −8 y w ′(0) = −35,9 (aproximadamente).

Problema de valores propios

Al buscar el estado fundamental del oscilador armónico con energía , el método de disparo produce funciones de onda que divergen hasta el infinito. Aquí, la función de onda correcta debe tener raíces cero y llegar a cero en el infinito, por lo que se encuentra en algún lugar entre las líneas naranja y verde. Por tanto, la energía está entre y (con precisión numérica). ${\displaystyle E_{0}=1/2}$ ${\displaystyle 0.495}$ ${\displaystyle 0.500}$

El método de disparo también se puede utilizar para resolver problemas de valores propios. Considere la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el oscilador armónico cuántico

$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).}$$

${\displaystyle \psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.}$$

${\displaystyle E_{n}=n+1/2}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

• Si es una función propia, también lo es para cualquier constante distinta de cero . ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle C\psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle C}$
• El -ésimo estado excitado tiene raíces donde . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=0}$
• Incluso , el -ésimo estado excitado es simétrico y distinto de cero en el origen. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)}$
• Para impar , el -ésimo estado excitado es antisimétrico y, por tanto, cero en el origen. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)}$

Para encontrar el -ésimo estado excitado y su energía , el método de disparo es: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

1. Adivina algo de energía . ${\displaystyle E_{n}}$
2. Integra la ecuación de Schrödinger. Por ejemplo, use la diferencia finita central
   $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.}$$
   • Si es par, configúrelo en algún número arbitrario (digamos , la función de onda se puede normalizar después de la integración de todos modos) y use la propiedad simétrica para encontrar todos los restantes . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{0}=1}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
   • Si es impar, establezca y en algún número arbitrario (por ejemplo , la función de onda se puede normalizar después de la integración de todos modos) y encuentre todos los restantes . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{1}=1}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
3. Cuente las raíces y refine la estimación de la energía . ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$
   • Si hay raíces o menos, la energía estimada es demasiado baja, así que increméntela y repita el proceso. ${\displaystyle n}$
   • Si hay más que raíces, la energía estimada es demasiado alta, así que redúcela y repite el proceso. ${\displaystyle n}$

La estimación de energía se puede realizar con el método de bisección y el proceso puede finalizar cuando la diferencia de energía sea lo suficientemente pequeña. Entonces se puede considerar que cualquier energía en el intervalo es la energía correcta.

Ver también

• Método de disparo múltiple directo
• Cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera.

Notas

1. Mateos, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). "9.8 Problemas de valores en la frontera". Métodos numéricos utilizando MATLAB (PDF) (4ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson. ISBN 0-13-065248-2. Archivado desde el original (PDF) el 9 de diciembre de 2006.
2. Stoer, J. y Bulirsch, R. Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980.

Referencias

• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 18.1. El método de disparo". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

enlaces externos

• Breve descripción de ODEPACK (en Netlib ; contiene LSODE)
• Método de disparo para resolver problemas de valores límite: notas, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica en Holistic Numerical Methods Institute [1]