El sistema duodecimal , también conocido como base doce o docena , es un sistema de numeración posicional que utiliza el doce como base . En duodecimal, el número doce se denota "10", es decir, 1 doce y 0 unidades ; en el sistema decimal , este número se escribe como "12", que significa 1 decena y 2 unidades, y la cadena "10" significa diez. En duodecimal, "100" significa doce al cuadrado , "1000" significa doce al cubo y "0,1" significa un duodécimo.
Se han utilizado varios símbolos para representar diez y once en notación duodecimal; esta página usa A y B, como en hexadecimal , lo que hace que una cuenta duodecimal de cero a doce se lea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. Las Sociedades Docenas de América y Gran Bretaña (organizaciones que promueven el uso del duodecimal) utilizan dígitos convertidos en su material publicado:2(un cumplido 2) por diez y3(un cumplido 3) por once.
El número doce, un número superior altamente compuesto , es el número más pequeño con cuatro factores no triviales (2, 3, 4, 6), y el más pequeño que incluye como factores los cuatro números (1 a 4) dentro del rango subitizante . y el número abundante más pequeño . Todos los múltiplos de recíprocos de 3 números lisos ( a/2b · 3c donde a,b,c son números enteros) tienen una representación terminal en duodecimal. En particular,+1 ⁄ 4 (0,3),+1 ⁄ 3 (0,4),+1 ⁄ 2 (0,6),+2 ⁄ 3 (0,8), y+3 ⁄ 4 (0,9) todos tienen una representación final corta en duodecimal. También se observa una mayor regularidad en la tabla de multiplicar duodecimal. Como resultado, el duodecimal se ha descrito como el sistema numérico óptimo. [1]
En estos aspectos, el duodecimal se considera superior al decimal, que tiene sólo 2 y 5 como factores, y otras bases propuestas como el octal o el hexadecimal . El sexagesimal (base sesenta) funciona aún mejor a este respecto (los recíprocos de todos los números 5 lisos terminan), pero a costa de tablas de multiplicar difíciles de manejar y de un número mucho mayor de símbolos que memorizar.
Georges Ifrah rastreó especulativamente el origen del sistema duodecimal hasta un sistema de conteo de dedos basado en los huesos de los nudillos de los cuatro dedos más grandes. Usando el pulgar como puntero, es posible contar hasta 12 tocando cada hueso del dedo, comenzando con el hueso más alejado del quinto dedo y contando. En este sistema, una mano cuenta repetidamente hasta 12, mientras que la otra muestra el número de iteraciones, hasta completar cinco docenas, es decir, las 60. Este sistema todavía se utiliza en muchas regiones de Asia. [2] [3]
Los idiomas que utilizan sistemas numéricos duodecimales son poco comunes. Idiomas del cinturón medio de Nigeria como el janji , el gbiri-niragu (gure-kahugu), el piti y el dialecto nimbia de gwandara ; [4] y el idioma chepang de Nepal [5] son conocidos por utilizar números duodecimales.
Las lenguas germánicas tienen palabras especiales para 11 y 12, como once y doce en inglés . Provienen del protogermánico * ainlif y * twalif (que significan, respectivamente, uno a la izquierda y dos a la izquierda ), lo que sugiere un origen decimal en lugar de duodecimal. [6] [7] Sin embargo, el nórdico antiguo utilizó un sistema de conteo híbrido decimal-duodecimal, con sus palabras para "ciento ochenta" que significan 200 y "doscientos" que significan 240. [8] En las Islas Británicas, este estilo de el conteo sobrevivió hasta bien entrada la Edad Media como la centena larga .
Históricamente, las unidades de tiempo en muchas civilizaciones son duodecimales. Hay doce signos del zodíaco , doce meses en un año, y los babilonios tenían doce horas en un día (aunque en algún momento esto se cambió a 24). Los calendarios , relojes y brújulas tradicionales chinos se basan en las doce Ramas Terrestres o 24 (12×2) términos solares . Hay 12 pulgadas en un pie imperial, 12 onzas troy en una libra troy, 12 antiguos peniques británicos en un chelín , 24 (12×2) horas en un día; muchos otros artículos se cuentan por docena , bruto ( 144 , cuadrado de 12) o gran bruto ( 1728 , cubo de 12). Los romanos utilizaban un sistema de fracciones basado en 12, incluida la uncia , que se convirtió en las palabras inglesas onza y pulgada . Antes de la decimalización , Irlanda y el Reino Unido utilizaban un sistema monetario mixto duodecimal- vigesimal (12 peniques = 1 chelín, 20 chelines o 240 peniques por libra esterlina o libra irlandesa ), y Carlomagno estableció un sistema monetario que también tenía una base mixta. de doce y veinte, cuyos restos persisten en muchos lugares.
En un sistema numérico posicional de base n (doce para duodecimal), a cada uno de los primeros n números naturales se le asigna un símbolo numérico distinto, y luego n se denota "10", es decir, 1 multiplicado por n más 0 unidades. Para el duodecimal, los símbolos numéricos estándar del 0 al 9 normalmente se conservan del cero al nueve, pero existen numerosas propuestas sobre cómo escribir los números que representan "diez" y "once". [9] Las propuestas más radicales no utilizan números arábigos bajo el principio de "identidad separada". [9]
La pronunciación de los números duodecimales tampoco tiene un estándar, pero se han propuesto varios sistemas.
Varios autores han propuesto utilizar letras del alfabeto para los símbolos transdecimales. Las letras latinas como ⟨ A, B ⟩ (como en hexadecimal ) o ⟨ T, E ⟩ (iniciales de Diez y Once ) son convenientes porque son ampliamente accesibles y, por ejemplo, se pueden escribir en máquinas de escribir. Sin embargo, cuando se mezclan con prosa ordinaria, pueden confundirse con letras. Como alternativa, se podrían utilizar letras griegas como ⟨ τ, ε ⟩ . [9] Frank Emerson Andrews, uno de los primeros defensores estadounidenses del duodecimal, sugirió y utilizó en su libro de 1935 New Numbers ⟨ X , Ɛ ⟩ (X mayúscula en cursiva del número romano para diez y una E mayúscula cursiva redondeada similar a la E abierta ), junto con números en cursiva del 0 al 9 . [11]
Edna Kramer en su libro de 1951 The Main Stream of Mathematics utilizó un ⟨ *, # ⟩ ( sextil o asterisco de seis puntas, almohadilla u octothorpe). [9] Los símbolos fueron elegidos porque estaban disponibles en algunas máquinas de escribir; también están en los teléfonos de pulsador . [9] Esta notación se utilizó en publicaciones de la Dozenal Society of America (DSA) de 1974 a 2008. [12] [13]
De 2008 a 2015, la DSA utilizó ⟨ 
,
⟩ , los símbolos ideados por William Addison Dwiggins . [9] [14]
La Sociedad Docena de Gran Bretaña (DSGB) propuso símbolos ⟨ 2,3 ⟩ . [9] Esta notación, derivada de dígitos árabes mediante una rotación de 180°, fue introducida por Isaac Pitman en 1857. [9] [15] En marzo de 2013, se presentó una propuesta para incluir las formas de dígitos para diez y once propagadas por la Docena. Sociedades en el estándar Unicode . [16] De estos, las formas británica/Pitman fueron aceptadas para codificar como caracteres en los puntos de código U+218A ↊ DÍGITO DOS GIRADO y U+218B ↋ DÍGITO TRES GIRADO . Fueron incluidos en Unicode 8.0 (2015). [17] [18]
Después de que se agregaron los dígitos de Pitman a Unicode, la DSA realizó una votación y luego comenzó a publicar contenido en PDF utilizando los dígitos de Pitman, pero continúa usando las letras X y E en su página web. [19]
También existen diversas propuestas sobre cómo distinguir un número duodecimal de uno decimal. El método más común utilizado en las principales fuentes matemáticas para comparar varias bases numéricas utiliza un subíndice "10" o "12", por ejemplo, "54 12 = 64 10 ". Para evitar ambigüedades sobre el significado del subíndice 10, los subíndices podrían escribirse "54 doce = 64 diez ". En 2015, la Dozenal Society of America adoptó la abreviatura más compacta de una sola letra "z" para "do z enal" y "d" para " d ecimal", "54 z = 64 d ". [24]
Otros métodos propuestos incluyen poner en cursiva los números duodecimales " 54 = 64", agregar un "punto Humphrey" (un punto y coma en lugar de un punto decimal ) a los números duodecimales "54;6 = 64,5", anteponer los números duodecimales con un asterisco "*54 = 64 ", o alguna combinación de estos. La Dozenal Society of Great Britain utiliza un prefijo de asterisco para números enteros duodecimales y un punto Humphrey para otros números duodecimales. [24]
La Dozenal Society of America sugirió la pronunciación de diez y once como "dek" y "el". Para los nombres de potencias de doce, existen dos sistemas destacados.
En este sistema, se añade el prefijo e - para fracciones. [14] [25]
A medida que los números aumentan (o las fracciones se reducen), los dos últimos morfemas se reemplazan sucesivamente por tri-mo, quad-mo, penta-mo, etc.
Varios dígitos en esta serie se pronuncian de manera diferente: 12 es "hacer dos"; 30 es "tres hacer"; 100 es "gro"; BA9 es "el gro dek do nine"; B86 es "el gro ocho hacen seis"; 8BB,15A es "ocho gro el do el, uno gro cinco do dek"; ABA es "dek gro el do dek"; BBB es "el gro el do el"; 0,06 es "seis egro"; etcétera. [25]
Este sistema utiliza la terminación "-qua" para las potencias positivas de 12 y la terminación "-cia" para las potencias negativas de 12, y una extensión de los nombres de elementos sistemáticos de la IUPAC (con sílabas dec y lev para los dos dígitos adicionales necesarios para el duodecimal). ) para expresar a qué poder se refiere. [26] [27]
Después de hexadecimal-, los prefijos adicionales continúan sept-, oct-, enn-, dec-, lev-, unnil-, unun-.
William James Sidis utilizó el 12 como base para su lenguaje construido Vendergood en 1906, señalando que es el número más pequeño con cuatro factores y su prevalencia en el comercio. [28]
El caso del sistema duodecimal se expuso detalladamente en el libro de Frank Emerson Andrews de 1935, Nuevos números: cómo la aceptación de una base duodecimal simplificaría las matemáticas . Emerson señaló que, debido a la prevalencia de factores de doce en muchas unidades tradicionales de peso y medida, muchas de las ventajas computacionales alegadas para el sistema métrico podrían lograrse mediante la adopción de pesos y medidas basados en diez o mediante la adopción de el sistema numérico duodecimal. [11]
Tanto la Dozenal Society of America como la Dozenal Society of Great Britain promueven la adopción generalizada del sistema duodecimal. Usan la palabra "docena" en lugar de "duodecimal" para evitar la terminología más abiertamente decimal. Sin embargo, la etimología de "dozenal" en sí misma también es una expresión basada en la terminología decimal ya que "dozen" es una derivación directa de la palabra francesa douzaine , que es un derivado de la palabra francesa para doce, douze , descendiente del latín duodecim .
El matemático y calculador mental Alexander Craig Aitken fue un firme defensor del duodecimal:
Las tablas duodecimales son fáciles de dominar, más fáciles que las decimales; y en la enseñanza elemental serían mucho más interesantes, ya que a los niños pequeños les resultarían más fascinantes las cosas que hacer con doce varillas o bloques que con diez. Cualquiera que tenga estas tablas a su alcance hará estos cálculos más de una vez y media más rápido en la escala duodecimal que en la decimal. Esta es mi experiencia; Estoy seguro de que más aún sería la experiencia de otros.
— AC Aitken, "Twelves and Tens" en The Listener (25 de enero de 1962) [29]
Pero la ventaja cuantitativa final, según mi propia experiencia, es ésta: en cálculos variados y extensos de tipo ordinario y no excesivamente complicado, realizados durante muchos años, llego a la conclusión de que la eficiencia del sistema decimal podría calificarse en unos 65 o menos, si asignamos 100 al duodecimal.
— AC Aitken, El caso contra la decimalización (1962) [30]
En "Little Twelvetoes", la serie de televisión estadounidense Schoolhouse Rock! retrató a un ser extraterrestre con doce dedos de manos y doce de los pies usando aritmética duodecimal, usando "dek" y "el" como nombres para diez y once, y la escritura-X y la escritura-E de Andrews para los símbolos de los dígitos. [31] [32]
Los sistemas de medición propuestos por los docenalistas incluyen:
La Dozenal Society of America sostiene que si una base es demasiado pequeña, se necesitan expansiones significativamente más largas para los números; Si una base es demasiado grande, hay que memorizar una tabla de multiplicar grande para realizar la aritmética. Por lo tanto, se supone que "una base numérica deberá estar entre aproximadamente 7 u 8 y aproximadamente 16, incluyendo posiblemente 18 y 20". [36]
El número 12 tiene seis factores, que son 1 , 2 , 3 , 4 , 6 y 12 , de los cuales 2 y 3 son primos . Es el número más pequeño que tiene seis factores, el número más grande que tiene al menos la mitad de los números debajo como divisores, y es solo un poco mayor que 10. (Los números 18 y 20 también tienen seis factores pero son mucho más grandes). Diez, en cambio, sólo tiene cuatro factores, que son 1 , 2 , 5 y 10 , de los cuales 2 y 5 son primos. [36] Seis comparte los factores primos 2 y 3 con doce; sin embargo, al igual que diez, el seis sólo tiene cuatro factores (1, 2, 3 y 6) en lugar de seis. Su base correspondiente, senario , está por debajo del umbral establecido por la DSA.
Ocho y dieciséis solo tienen 2 como factor primo. Por tanto, en octal y hexadecimal , las únicas fracciones terminantes son aquellas cuyo denominador es una potencia de dos .
Treinta es el número más pequeño que tiene tres factores primos diferentes (2, 3 y 5, los tres primeros primos), y tiene ocho factores en total (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30). . En realidad, el sexagesimal fue utilizado por los antiguos sumerios y babilonios , entre otros; su base, sesenta , suma los cuatro factores convenientes 4, 12, 20 y 60 a 30, pero ningún factor primo nuevo. El número más pequeño que tiene cuatro factores primos diferentes es 210 ; el patrón sigue los primoriales . Sin embargo, estas cifras son bastante grandes para usarlas como base y están mucho más allá del umbral establecido por la DSA.
En todos los sistemas básicos, existen similitudes en la representación de múltiplos de números que son uno menor o uno mayor que la base.
En la siguiente tabla de multiplicar, los números están escritos en duodecimal. Por ejemplo, "10" significa doce y "12" significa catorce.
Para convertir números entre bases, se puede utilizar el algoritmo de conversión general (consulte la sección correspondiente en notación posicional ). Alternativamente, se pueden utilizar tablas de conversión de dígitos. Los que se proporcionan a continuación se pueden utilizar para convertir cualquier número duodecimal entre 0;1 y BB,BBB;B a decimal, o cualquier número decimal entre 0,1 y 99.999,9 a duodecimal. Para usarlos, el número dado primero debe descomponerse en una suma de números con solo un dígito significativo cada uno. Por ejemplo:
Esta descomposición funciona igual sin importar en qué base se exprese el número. Simplemente aísle cada dígito distinto de cero y rellénelos con tantos ceros como sea necesario para preservar sus respectivos valores posicionales. Si los dígitos del número dado incluyen ceros (por ejemplo, 7.080,9), estos se omiten en la descomposición de dígitos (7.080,9 = 7.000 + 80 + 0,9). Luego, se pueden utilizar las tablas de conversión de dígitos para obtener el valor equivalente en la base objetivo para cada dígito. Si el número dado está en duodecimal y la base objetivo es decimal, obtenemos:
Debido a que los sumandos ya están convertidos a decimal, se utiliza la aritmética decimal habitual para realizar la suma y recomponer el número, llegando al resultado de la conversión:
Duodecimal ---> Decimal 10.000 = 20.736 2.000 = 3.456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0;6 = + 0,5----------------------- 12.345;6 = 24.677,5
Es decir, (duodecimal) 12.345;6 es igual a (decimal) 24.677,5
Si el número dado está en decimal y la base objetivo es duodecimal, el método es el mismo. Usando las tablas de conversión de dígitos:
(decimal) 10.000 + 2.000 + 300 + 40 + 5 + 0,6
= (duodecimal) 5.954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0; 7249
Para sumar estos productos parciales y recomponer el número, la suma debe realizarse con aritmética duodecimal en lugar de decimal:
Decimal --> Duodecimal 10.000 = 5.954 2.000 = 1,1A8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0,6 = + 0; 7249------------------------------- 12.345,6 = 7.189; 7249
Es decir, (decimal) 12.345,6 es igual (duodecimal) 7.189; 7249
Las fracciones duodecimales para números racionales con 3 denominadores suaves terminan:
mientras que otros números racionales tienen fracciones duodecimales recurrentes :
Como se explica en decimales recurrentes , siempre que una fracción irreducible se escribe en notación de puntos de base en cualquier base, la fracción se puede expresar exactamente (termina) si y solo si todos los factores primos de su denominador también son factores primos de la base.
Porque en el sistema decimal las fracciones cuyos denominadores están formados únicamente por múltiplos de 2 y 5 terminan: 1/8 = 1/(2×2×2) , 1/20 = 1/(2×2×5) , y 1/500 = 1/(2×2×5×5×5) se puede expresar exactamente como 0,125, 0,05 y 0,002 respectivamente. 1/3 y 1/7 , sin embargo, se repite (0,333... y 0,142857142857...).
Porque en el sistema duodecimal, 1/8 es exacto; 1/20 y 1/500 recurrente porque incluyen 5 como factor; 1/3 es exacto, y 1/7 se repite, tal como lo hace en decimal.
El número de denominadores que dan fracciones terminales dentro de un número dado de dígitos, n , en una base b es el número de factores (divisores) de , la enésima potencia de la base b (aunque esto incluye el divisor 1, que no producir fracciones cuando se usan como denominador). El número de factores de se da usando su factorización prima.
Para decimales, . El número de divisores se encuentra sumando uno a cada exponente de cada primo y multiplicando las cantidades resultantes, por lo que el número de factores de es .
Por ejemplo, el número 8 es factor de 10 3 (1000), por lo que otras fracciones con un denominador de 8 no pueden requerir más de tres dígitos decimales fraccionarios para terminar.
Para duodecimal, . Esto tiene divisores. El denominador de muestra de 8 es un factor de un bruto en decimal), por lo que los octavos no pueden necesitar más de dos lugares fraccionarios duodecimales para terminar.
Debido a que tanto diez como doce tienen dos factores primos únicos, el número de divisores de para b = 10 o 12 crece cuadráticamente con el exponente n (en otras palabras, del orden de ).
La Dozenal Society of America sostiene que los factores de 3 se encuentran más comúnmente en problemas de división de la vida real que los factores de 5. [36] Por lo tanto, en aplicaciones prácticas, la molestia de los decimales repetidos se encuentra con menos frecuencia cuando se utiliza la notación duodecimal. Los defensores de los sistemas duodecimales argumentan que esto es particularmente cierto en los cálculos financieros, en los que los doce meses del año a menudo entran en los cálculos.
Sin embargo, cuando las fracciones recurrentes aparecen en notación duodecimal, es menos probable que tengan un período muy corto que en notación decimal, porque 12 (doce) está entre dos números primos , 11 (once) y 13 (trece), mientras que diez es adyacente al número compuesto 9 . Sin embargo, tener un período más corto o más largo no soluciona el principal inconveniente de que no se obtiene una representación finita para tales fracciones en la base dada (por lo que es necesario redondear , que introduce inexactitud, para manejarlas en los cálculos), y en general uno es Es más probable que tengamos que lidiar con infinitos dígitos recurrentes cuando las fracciones se expresan en decimal que en duodecimal, porque uno de cada tres números consecutivos contiene el factor primo 3 en su factorización, mientras que sólo uno de cada cinco contiene el factor primo 5 . Todos los demás factores primos, excepto 2, no son compartidos ni por diez ni por doce, por lo que no influyen en la probabilidad relativa de encontrar dígitos recurrentes (cualquier fracción irreducible que contenga cualquiera de estos otros factores en su denominador se repetirá en cualquier base).
Además, el factor primo 2 aparece dos veces en la factorización de doce, mientras que sólo una vez en la factorización de diez; lo que significa que la mayoría de las fracciones cuyos denominadores son potencias de dos tendrán una representación final más corta y conveniente en duodecimal que en decimal:
La longitud del período duodecimal de 1/ n es (en decimal)
La longitud del período duodecimal de 1/( n ésimo primo) es (en decimal)
Los primos más pequeños con período duodecimal n son (en decimal)
Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema numérico posicional (incluidos el decimal y el duodecimal) no terminan ni se repiten . La siguiente tabla proporciona los primeros dígitos de algunos números algebraicos y trascendentales importantes tanto en decimal como en duodecimal.
