En afinación y armonía musical , el Tonnetz (que en alemán significa 'red de tonos') es un diagrama reticular conceptual que representa el espacio tonal descrito por primera vez por Leonhard Euler en 1739. [1] Se pueden utilizar varias representaciones visuales del Tonnetz para mostrar las relaciones armónicas tradicionales en la música clásica europea.
El Tonnetz apareció originalmente en Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae de Leonhard Euler de 1739. El Tonnetz de Euler , representado a la izquierda, muestra las relaciones triádicas de la quinta perfecta y la tercera mayor: en la parte superior de la imagen está la nota F, y a la izquierda debajo está C (una quinta perfecta sobre F), y a la derecha está A (una tercera mayor sobre F). Gottfried Weber, Versuch einer geordneten Theorie der Tonsetzkunst , analiza las relaciones entre las tonalidades, presentándolas en una red análoga al Tonnetz de Euler , pero mostrando tonalidades en lugar de notas. [2] El propio Tonnetz fue redescubierto en 1858 por Ernst Naumann en su Harmoniesystem in dualer Entwickelung ., [3] y fue difundido en un tratado de 1866 de Arthur von Oettingen . Oettingen y el influyente musicólogo Hugo Riemann (que no debe confundirse con el matemático Bernhard Riemann ) exploraron la capacidad del espacio para trazar el movimiento armónico entre acordes y la modulación entre tonalidades. Interpretaciones similares del Tonnetz aparecieron en el trabajo de muchos teóricos musicales alemanes de finales del siglo XIX. [4]
Oettingen y Riemann concibieron que las relaciones en el diagrama se definían a través de la entonación justa , que utiliza intervalos puros. Se puede extender una de las filas horizontales del Tonnetz indefinidamente, para formar una secuencia interminable de quintas perfectas: FCGDAEBF♯-C♯-G♯-D♯-A♯-E♯-B♯-F𝄪-C𝄪-G𝄪- (etc.) Comenzando con F, después de 12 quintas perfectas, se llega a E♯. Las quintas perfectas en la entonación justa son ligeramente más grandes que las quintas comprometidas utilizadas en los sistemas de afinación de temperamento igual más comunes en la actualidad. Esto significa que cuando uno apila 12 quintas comenzando desde F, el E♯ al que llegamos no estará siete octavas por encima del F con el que comenzamos. El Tonnetz de Oettingen y Riemann se extendió así infinitamente en todas las direcciones sin repetir realmente ningún tono. En el siglo XX, compositores teóricos como Ben Johnston y James Tenney continuaron desarrollando teorías y aplicaciones que involucraban al Tonnetze recién entonado .
El atractivo de la Tonnetz para los teóricos alemanes del siglo XIX era que permitía representaciones espaciales de la distancia tonal y las relaciones tonales. Por ejemplo, si observamos la tríada de la menor en azul oscuro del gráfico que aparece al principio del artículo, su tríada mayor paralela (AC♯-E) es el triángulo que se encuentra justo debajo, que comparte los vértices A y E. La tríada mayor relativa de la menor, do mayor (CEG) es el triángulo adyacente superior derecho, que comparte los vértices C y E. La tríada dominante de la menor, mi mayor (EG♯-B) se encuentra en diagonal sobre el vértice E y no comparte otros vértices. Un punto importante es que cada vértice compartido entre un par de triángulos es una nota compartida entre acordes: cuantos más vértices compartan, más notas compartidas tendrá el acorde. Esto proporciona una visualización del principio de conducción de voces parsimoniosa, en el que los movimientos entre acordes se consideran más suaves cuando cambian menos notas. Este principio es especialmente importante al analizar la música de compositores de finales del siglo XIX como Wagner, que con frecuencia evitaba las relaciones tonales tradicionales. [4]
Investigaciones recientes de los teóricos musicales neoriemannianos David Lewin , Brian Hyer y otros han revivido el Tonnetz para explorar más a fondo las propiedades de las estructuras de tono. [4] Los teóricos musicales modernos generalmente construyen el Tonnetz usando temperamento igual [ 4] y usando clases de tono, que no hacen distinción entre transposiciones de octava de un tono. Bajo temperamento igual, la serie interminable de quintas ascendentes mencionadas anteriormente se convierte en un ciclo. Los teóricos neoriemannianos generalmente asumen una equivalencia enarmónica (en otras palabras, A♭ = G♯), y así el plano bidimensional del Tonnetz del siglo XIX gira sobre sí mismo en dos direcciones diferentes y es matemáticamente isomorfo a un toro .
Los teóricos neoriemannianos también han utilizado el Tonnetz para visualizar relaciones triádicas no tonales. Por ejemplo, la diagonal que sube y va hacia la izquierda desde C en el diagrama del comienzo del artículo forma una división de la octava en tres terceras mayores : CA♭-EC (el E es en realidad un F♭, y el C final un D♭♭). Richard Cohn sostiene que, si bien una secuencia de tríadas construidas sobre estas tres notas (C mayor, A♭ mayor y E mayor) no se puede describir adecuadamente utilizando los conceptos tradicionales de armonía funcional, este ciclo tiene una conducción de voces suave y otras propiedades de grupo importantes que se pueden observar fácilmente en el Tonnetz . [5]
La disposición de notas de la tabla armónica es una disposición de notas topológicamente equivalente a la de Tonnetz , y se utiliza en varios instrumentos musicales que permiten tocar acordes mayores y menores con un solo dedo.
El Tonnetz se puede superponer en el diseño de notas Wicki-Hayden , donde la segunda mayor se puede encontrar a la mitad de la tercera mayor.
El Tonnetz es el gráfico dual del diagrama de regiones de Schoenberg [6] y , por supuesto, viceversa . Las investigaciones sobre la cognición musical han demostrado que el cerebro humano utiliza un "diagrama de regiones" para procesar las relaciones tonales. [7]