Líneas oblicuas

Líneas que no están en el mismo plano

Paralelepípedo rectangular . La recta que pasa por el segmento AD y la recta que pasa por el segmento B ₁ B son rectas oblicuas porque no están en el mismo plano.

En geometría tridimensional , las líneas oblicuas son dos líneas que no se intersecan y no son paralelas . Un ejemplo simple de un par de líneas oblicuas es el par de líneas que pasan por los bordes opuestos de un tetraedro regular . Dos líneas que se encuentran en el mismo plano deben cruzarse entre sí o ser paralelas, por lo que las líneas oblicuas solo pueden existir en tres o más dimensiones . Dos líneas son oblicuas si y solo si no son coplanares .

Posición general

Si se eligen cuatro puntos al azar de manera uniforme dentro de un cubo unitario , es casi seguro que definirán un par de líneas oblicuas. Una vez elegidos los tres primeros puntos, el cuarto punto definirá una línea no oblicua si, y solo si, es coplanar con los tres primeros puntos. Sin embargo, el plano que pasa por los tres primeros puntos forma un subconjunto de medida cero del cubo, y la probabilidad de que el cuarto punto se encuentre en este plano es cero. Si no es así, las líneas definidas por los puntos serán oblicuas.

De manera similar, en el espacio tridimensional, una perturbación muy pequeña de dos líneas paralelas o que se intersecan casi con certeza las convertirá en líneas oblicuas. Por lo tanto, cuatro puntos cualesquiera en posición general siempre forman líneas oblicuas.

En este sentido, las líneas oblicuas son el caso "habitual" y las líneas paralelas o que se intersectan son casos especiales.

Fórmulas

PQ, la distancia más corta entre dos líneas oblicuas AB y CD es perpendicular tanto a AB como a CD

Prueba de asimetría

Si cada línea en un par de líneas oblicuas está definida por dos puntos por los que pasa, entonces estos cuatro puntos no deben ser coplanares, por lo que deben ser los vértices de un tetraedro de volumen distinto de cero . A la inversa, dos pares de puntos cualesquiera que definan un tetraedro de volumen distinto de cero también definen un par de líneas oblicuas. Por lo tanto, una prueba de si dos pares de puntos definen líneas oblicuas es aplicar la fórmula para el volumen de un tetraedro en términos de sus cuatro vértices. Denotando un punto como el vector 1×3 a cuyos tres elementos son los tres valores de coordenadas del punto, y denotando asimismo b , c y d para los otros puntos, podemos verificar si la línea que pasa por a y b es oblicua con respecto a la línea que pasa por c y d al ver si la fórmula del volumen del tetraedro da un resultado distinto de cero:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.}$

Puntos más cercanos

Expresando las dos rectas como vectores:

${\displaystyle {\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }$

${\displaystyle {\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }$

El producto vectorial de y es perpendicular a las líneas. ${\displaystyle \mathbf {d_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {d_{2}} }$

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }$

El plano formado por las traslaciones de la línea 2 a lo largo contiene el punto y es perpendicular a . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n} }$

Por lo tanto, el punto de intersección de la Línea 1 con el plano antes mencionado, que es también el punto de la Línea 1 más cercano a la Línea 2, viene dado por

${\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }$

De manera similar, el punto en la Línea 2 más cercano a la Línea 1 está dado por (donde ) ${\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }$

Distancia

Los puntos más cercanos forman el segmento de línea más corto que une la Línea 1 y la Línea 2: ${\displaystyle \mathbf {c_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {c_{2}} }$

${\displaystyle d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .}$

La distancia entre los puntos más cercanos en dos líneas oblicuas también puede expresarse utilizando otros vectores:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;}$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .}$

Aquí, el vector 1×3 x representa un punto arbitrario en la línea que pasa por un punto particular a, donde b representa la dirección de la línea y el valor del número real determina dónde está el punto en la línea, y de manera similar para un punto arbitrario y en la línea que pasa por un punto particular c en la dirección d . ${\displaystyle \lambda }$

El producto vectorial de b y d es perpendicular a las líneas, al igual que el vector unitario.

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}$

La distancia perpendicular entre las líneas es entonces ^[1]

${\displaystyle d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}$

(si | b × d | es cero las rectas son paralelas y no se puede utilizar este método).

Más de dos líneas

Configuraciones

Una configuración de líneas oblicuas es un conjunto de líneas en el que todos los pares son oblicuos. Se dice que dos configuraciones son isotópicas si es posible transformar continuamente una configuración en la otra, manteniendo a lo largo de la transformación la invariancia de que todos los pares de líneas permanecen oblicuos. Se ve fácilmente que dos configuraciones cualesquiera de dos líneas son isotópicas, y las configuraciones del mismo número de líneas en dimensiones superiores a tres son siempre isotópicas, pero existen múltiples configuraciones no isotópicas de tres o más líneas en tres dimensiones. ^[2] El número de configuraciones no isotópicas de n líneas en R ³ , comenzando en n = 1, es

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (secuencia A110887 en la OEIS ).

Superficies regladas

Una fibración del espacio proyectivo mediante líneas oblicuas sobre hiperboloides anidados .

Si se hace girar una línea L alrededor de otra línea M de forma oblicua pero no perpendicular a ella, la superficie de revolución barrida por L es un hiperboloide de una hoja . Por ejemplo, los tres hiperboloides visibles en la ilustración se pueden formar de esta manera girando una línea L alrededor de la línea vertical blanca central M. Las copias de L dentro de esta superficie forman un régulo ; el hiperboloide también contiene una segunda familia de líneas que también están oblicuas a M a la misma distancia que L de él pero con el ángulo opuesto que forma el régulo opuesto. Los dos régulos muestran el hiperboloide como una superficie reglada .

Una transformación afín de esta superficie reglada produce una superficie que, en general, tiene una sección transversal elíptica en lugar de la sección transversal circular producida al rotar L alrededor de L'; dichas superficies también se denominan hiperboloides de una hoja y, a su vez, están regidas por dos familias de líneas mutuamente oblicuas. Un tercer tipo de superficie reglada es el paraboloide hiperbólico . Al igual que el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico tiene dos familias de líneas oblicuas; en cada una de las dos familias, las líneas son paralelas a un plano común, aunque no entre sí. Tres líneas oblicuas cualesquiera en R ³ se encuentran exactamente en una superficie reglada de uno de estos tipos. ^[3]

Teorema de Gallucci

Si tres líneas oblicuas se cruzan con otras tres líneas oblicuas, cualquier transversal del primer conjunto de tres se cruza con cualquier transversal del segundo conjunto. ^{[4] [5]}

Planos oblicuos en dimensiones superiores

En el espacio de dimensiones superiores, un plano de dimensión k se denomina k -plano. Por lo tanto, una línea también puede denominarse 1-plano.

Generalizando el concepto de líneas oblicuas al espacio d -dimensional, un plano i y un plano j pueden ser oblicuos si i + j < d . Al igual que con las líneas en el espacio tridimensional, los planos oblicuos son aquellos que no son paralelos ni se intersecan.

En el d -espacio afín , dos planos de cualquier dimensión pueden ser paralelos. Sin embargo, en el espacio proyectivo , el paralelismo no existe; dos planos deben intersecarse o estar oblicuos. Sea I el conjunto de puntos de un i -plano, y sea J el conjunto de puntos de un j -plano. En el d -espacio proyectivo, si i + j ≥ d entonces la intersección de I y J debe contener un ( i + j − d )-plano. (Un 0 -plano es un punto).

En cualquier geometría, si I y J se intersecan en un k -plano, para k ≥ 0 , entonces los puntos de I ∪ J determinan un ( i + j − k )-plano.

Véase también

• Distancia entre dos líneas paralelas
• Teorema de Petersen-Morley

Referencias

1. Weisstein, Eric W. , "Distancia entre líneas", MathWorld
2. Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configuraciones de líneas oblicuas" (PDF) , Leningrad Math. J. (en ruso), 1 (4): 1027–1050Versión revisada en inglés: arXiv :math.GT/0611374
3. Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Chelsea, págs. 13-17, ISBN 0-8284-1087-9
4. Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), John Wiley & Sons , pág. 257
5. G. Gallucci (1906), "Studio della figura delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni", Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche , tercera serie, 12 : 49–79

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Líneas sesgadas", MathWorld