En geometría diferencial , las dos curvaturas principales en un punto determinado de una superficie son los valores máximo y mínimo de la curvatura expresados por los valores propios del operador de forma en ese punto. Estos miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones en ese punto.
En cada punto p de una superficie diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional se puede elegir un vector normal unitario . Un plano normal en p es aquel que contiene al vector normal y, por lo tanto, también contendrá una única dirección tangente a la superficie y cortará la superficie en una curva plana, llamada sección normal . Esta curva tendrá, en general, diferentes curvaturas para diferentes planos normales en p . Las curvaturas principales en p , denotadas k 1 y k 2 , son los valores máximo y mínimo de esta curvatura.
Aquí la curvatura de una curva es por definición el recíproco del radio del círculo osculador . La curvatura se considera positiva si la curva gira en la misma dirección que la normal elegida de la superficie, y negativa en caso contrario. Las direcciones en el plano normal donde la curvatura toma sus valores máximo y mínimo son siempre perpendiculares, si k 1 no es igual a k 2 , un resultado de Euler (1760), y se denominan direcciones principales . Desde una perspectiva moderna, este teorema se desprende del teorema espectral porque estas direcciones son como los ejes principales de un tensor simétrico —la segunda forma fundamental . Gaston Darboux realizó un análisis sistemático de las curvaturas principales y las direcciones principales , utilizando marcos de Darboux .
El producto k 1 k 2 de las dos curvaturas principales es la curvatura gaussiana , K , y el promedio ( k 1 + k 2 ) /2 es la curvatura media , H.
Si al menos una de las curvaturas principales es cero en cada punto, entonces la curvatura gaussiana será cero y la superficie será una superficie desarrollable . Para una superficie mínima , la curvatura media es cero en cada punto.
Sea M una superficie en el espacio euclidiano con segunda forma fundamental . Fijemos un punto p ∈ M y una base ortonormal X 1 , X 2 de vectores tangentes en p . Entonces las curvaturas principales son los valores propios de la matriz simétrica
Si se seleccionan X 1 y X 2 de modo que la matriz sea una matriz diagonal, entonces se denominan direcciones principales . Si la superficie está orientada , entonces a menudo se requiere que el par ( X 1 , X 2 ) esté orientado positivamente con respecto a la orientación dada.
Sin referencia a una base ortonormal particular, las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , y las direcciones principales son sus vectores propios .
Para las hipersuperficies en espacios euclidianos de dimensiones superiores, las curvaturas principales pueden definirse de manera directamente análoga. Las curvaturas principales son los valores propios de la matriz de la segunda forma fundamental en una base ortonormal del espacio tangente. Las direcciones principales son los vectores propios correspondientes.
De manera similar, si M es una hipersuperficie en una variedad de Riemann N , entonces las curvaturas principales son los valores propios de su segunda forma fundamental. Si k 1 , ..., k n son las n curvaturas principales en un punto p ∈ M y X 1 , ..., X n son vectores propios ortonormales correspondientes (direcciones principales), entonces la curvatura seccional de M en p está dada por
Para todos con .
Las líneas de curvatura o rectas de curvatura son curvas que siempre son tangentes a una dirección principal (son curvas integrales para los campos de direcciones principales). Habrá dos líneas de curvatura por cada punto no umbilical y las líneas se cruzarán en ángulos rectos.
En las proximidades de un ombligo, las líneas de curvatura forman típicamente una de tres configuraciones: estrella , limón y monstar (derivado de limón-estrella ). [2] Estos puntos también se denominan Umbilicos Darbouxianos (D 1 , D 2 , D 3 ) en honor a Gaston Darboux , el primero en hacer un estudio sistemático en el Vol. 4, p 455, de sus Leçons (1896).
En estas figuras, las curvas rojas son las líneas de curvatura para una familia de direcciones principales y las curvas azules para la otra.
Cuando una línea de curvatura tiene un extremo local de la misma curvatura principal, entonces la curva tiene un punto de cresta . Estos puntos de cresta forman curvas en la superficie llamadas crestas . Las curvas de cresta pasan por los ombligos. En el caso del patrón de estrella, 3 o 1 línea de cresta pasan por el ombligo; en el caso del patrón de estrella y limón, solo pasa una cresta. [3]
Las direcciones de curvatura principales junto con la normal de la superficie definen un marco de orientación 3D en un punto de la superficie. Por ejemplo, en el caso de una superficie cilíndrica, al tocarla físicamente u observarla visualmente, sabemos que a lo largo de una dirección específica la superficie es plana (paralela al eje del cilindro) y, por lo tanto, tomamos nota de la orientación de la superficie. La implicación de un marco de orientación de este tipo en cada punto de la superficie significa que cualquier rotación de las superficies a lo largo del tiempo se puede determinar simplemente considerando el cambio en los marcos de orientación correspondientes. Esto ha dado lugar a algoritmos de segmentación y estimación del movimiento de un solo punto de la superficie en la visión por computadora. [4]
![{\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bffd43b323463adccee7129a8191ca0ad70344b)
![{\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c25a532dc99d4e755b582b3e013b0c91c449144)
