junta apolínea

Fractal compuesto de círculos tangentes

Un ejemplo de junta apolínea

En matemáticas , una junta apolínea o red apolínea es un fractal generado a partir de un triple de círculos, cada uno tangente a los otros dos, y rellenando sucesivamente más círculos, cada uno tangente a otros tres. Lleva el nombre del matemático griego Apolonio de Perga . ^[1]

Construcción

Círculos mutuamente tangentes. Dados tres círculos mutuamente tangentes ( negro ), hay en general otros dos círculos mutuamente tangentes a ellos ( rojo ).

La construcción de la junta apolínea comienza con tres círculos , , y (negros en la figura), cada uno de ellos tangente a los otros dos, pero que no tienen un solo punto de triple tangencia. Estos círculos pueden ser de diferentes tamaños entre sí, y se permite que dos estén dentro del tercero, o que los tres estén uno fuera del otro. Como descubrió Apolonio, existen dos círculos más y (rojo) que son tangentes a los tres círculos originales; estos se llaman círculos apolíneos . Estos cinco círculos están separados entre sí por seis regiones triangulares curvas, cada una limitada por los arcos de tres círculos tangentes por pares. La construcción continúa añadiendo seis círculos más, uno en cada uno de estos seis triángulos curvos, tangentes a sus tres lados. Estos a su vez crean 18 triángulos curvos más, y la construcción continúa llenándolos nuevamente con círculos tangentes, hasta el infinito. ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle C_{5}}$

Continuándose etapa por etapa de esta manera, la construcción agrega nuevos círculos en la etapa , dando un total de círculos después de las etapas. En última instancia, este conjunto de círculos es una junta apolínea. En él, cada par de círculos tangentes tiene una cadena Pappus infinita de círculos tangentes a ambos círculos del par. ${\displaystyle 2\cdot 3^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3^{n+1}+2}$ ${\displaystyle n}$

En el caso límite (0,0,1,1), los dos círculos más grandes se reemplazan por líneas rectas paralelas. Esto produce una familia de círculos Ford .

El tamaño de cada nuevo círculo está determinado por el teorema de Descartes , que establece que, para cuatro círculos mutuamente tangentes, los radios de los círculos obedecen a la ecuación. Esta ecuación puede tener una solución con un radio negativo; esto significa que uno de los círculos (el de radio negativo) rodea a los otros tres. Uno o dos de los círculos iniciales de esta construcción, o los círculos resultantes de esta construcción, pueden degenerar en una línea recta, que puede considerarse como un círculo de radio infinito. Cuando hay dos rectas, deben ser paralelas, y se consideran tangentes en un punto del infinito . Cuando la junta incluye dos líneas en el eje y una unidad encima de ella, y un círculo de diámetro unitario tangente a ambas líneas centrado en el eje, entonces los círculos que son tangentes al eje son los círculos de Ford , importantes en número. teoría . ${\displaystyle r_{i}}$ $${\displaystyle \left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{4}}}\right)^{2}=2\left({\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

La junta apolínea tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,3057. ^{[2] [3]} Debido a que tiene una dimensión fraccionaria bien definida, aunque no es precisamente autosemejante , se puede considerar como un fractal .

Simetrías

Las transformaciones de Möbius del plano preservan las formas y tangencias de los círculos y, por tanto, preservan la estructura de una junta apolínea. Dos ternas cualesquiera de círculos mutuamente tangentes en una junta apolínea pueden mapearse entre sí mediante una transformación de Möbius, y dos juntas apolíneas cualesquiera pueden mapearse entre sí mediante una transformación de Möbius. En particular, para dos círculos tangentes cualesquiera en cualquier junta apolínea, una inversión en un círculo centrado en el punto de tangencia (un caso especial de transformación de Möbius) transformará estos dos círculos en dos líneas paralelas y transformará el resto de la junta. en la forma especial de una junta entre dos líneas paralelas. Las composiciones de estas inversiones se pueden utilizar para transformar dos puntos de tangencia cualesquiera entre sí. Las transformaciones de Möbius también son isometrías del plano hiperbólico , por lo que en geometría hiperbólica todas las juntas apolíneas son congruentes. Por lo tanto, en cierto sentido, sólo hay una junta apolínea, hasta la isometría (hiperbólica).

La junta apolínea es el conjunto límite de un grupo de transformaciones de Möbius conocido como grupo kleiniano . ^[4]

Para transformaciones de simetría euclidiana en lugar de transformaciones de Möbius, en general, la junta apolínea heredará las simetrías de su conjunto generador de tres círculos. Sin embargo, algunas ternas de círculos pueden generar juntas apolíneas con mayor simetría que la terna inicial; Esto sucede cuando la misma junta tiene un conjunto de círculos generadores diferente y más simétrico. Los casos particularmente simétricos incluyen la junta apolínea entre dos líneas paralelas (con simetría diédrica infinita ), la junta apolínea generada por tres círculos congruentes en un triángulo equilátero (con la simetría del triángulo) y la junta apolínea generada por dos círculos de radio 1. rodeado por un círculo de radio 2 (con dos ejes de simetría reflectante).

Empaquetaduras integrales del círculo apolíneo

• 
  Embalaje integral del círculo apolíneo definido por curvaturas circulares de (−1, 2, 2, 3)
• 
  Embalaje integral del círculo apolíneo definido por curvaturas circulares de (−3, 5, 8, 8)
• 
  Embalaje integral del círculo apolíneo definido por curvaturas circulares de (−12, 25, 25, 28)
• 
  Empaquetamiento circular apolíneo integral definido por curvaturas circulares de (−6, 10, 15, 19)
• 
  Embalaje integral del círculo apolíneo definido por curvaturas circulares de (−10, 18, 23, 27)

Si cuatro círculos mutuamente tangentes en una junta apolínea tienen una curvatura entera (la inversa de su radio), entonces todos los círculos de la junta tendrán una curvatura entera. ^[5] Dado que la ecuación que relaciona las curvaturas en una junta apolínea, integral o no, se deduce que se puede pasar de un cuádruple de curvaturas a otra mediante el salto de Vieta , tal como cuando se encuentra un nuevo número de Markov . Las primeras de estas juntas apolíneas integrales se enumeran en la siguiente tabla. La tabla enumera las curvaturas de los círculos más grandes de la junta. Sólo se necesitan las primeras tres curvaturas (de las cinco que se muestran en la tabla) para describir completamente cada junta; todas las demás curvaturas se pueden derivar de estas tres. $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd,\,}$$

Enumeración de empaquetaduras integrales del círculo apolíneo

Las curvaturas son una raíz cuádruple (la más pequeña en algún empaquetamiento circular integral) si . Son primitivos cuando . Definir un nuevo conjunto de variables mediante la ecuación matricial da un sistema que satisface la ecuación de Descartes precisamente cuando . Además, es primitivo precisamente cuando , y es raíz cuádruple precisamente cuando . ^[5] ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle a<0\leq b\leq c\leq d}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$ ${\displaystyle (x,d_{1},d_{2},m)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&1&1&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\d_{1}\\d_{2}\\m\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}}$ ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle \gcd(x,d_{1},d_{2})=1}$ ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle x<0\leq 2m\leq d_{1}\leq d_{2}}$

Esta relación se puede utilizar para encontrar todas las raíces primitivas cuádruples con una curvatura negativa determinada . Se sigue de y aquello , y por tanto de aquello . Por lo tanto, cualquier raíz cuádruple satisfará . Al iterar sobre todos los valores posibles de , y se pueden encontrar todas las raíces primitivas cuádruples. ^[6] El siguiente código Python demuestra este algoritmo, produciendo las raíces primitivas cuádruples enumeradas anteriormente. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2m\leq d_{1}}$ ${\displaystyle 2m\leq d_{2}}$ ${\displaystyle 4m^{2}\leq d_{1}d_{2}}$ ${\displaystyle 3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

importar  matematicasdef  get_primitive_bends ( n :  int ):  si  n  ==  0 :  rendimiento  0 ,  0 ,  1 ,  1  retorno  para  m  en el  rango ( math . ceil ( n  /  math . sqrt ( 3 )) ):  s  =  m ** 2  +  n ** 2  para  d1  en el  rango ( max ( 2  *  m ,  1 ),  math . floor ( math . sqrt ( s ))  +  1 ):  d2 ,  resto  =  divmod ( s ,  d1 )  si  resto  ==  0  y  math . mcd ( n ,  d1 ,  d2 )  ==  1 :  rendimiento  - n ,  d1  +  n ,  d2  +  n ,  d1  +  d2  +  n  -  2  *  mpara  n  en  rango ( 15 ):  para  curvas  en  get_primitive_bends ( n ):  imprimir ( curvas )

Las curvaturas que aparecen en un empaquetamiento circular apolíneo integral primitivo deben pertenecer a un conjunto de seis u ocho posibles clases de residuos módulo 24, y la evidencia numérica respalda que cualquier número entero suficientemente grande de estas clases de residuos también estaría presente como una curvatura dentro del empaquetamiento. ^[7] Se demostró que esta conjetura, conocida como conjetura local-global, era falsa en 2023. ^{[8] [9]}

Simetría de empaquetaduras circulares integrales apolíneas.

Existen múltiples tipos de simetría diédrica que pueden ocurrir con una junta dependiendo de la curvatura de los círculos.

Sin simetría

Si ninguna de las curvaturas se repite dentro de las primeras cinco, la junta no contiene simetría, lo que está representado por el grupo de _simetría C1 ; la junta descrita por las curvaturas (-10, 18, 23, 27) es un ejemplo.

D₁simetría

Siempre que dos de los cinco círculos más grandes de la junta tengan la misma curvatura, esa junta tendrá simetría D ₁ , que corresponde a una reflexión a lo largo de un diámetro del círculo delimitador, sin simetría rotacional.

D₂simetría

Si se repiten dos curvaturas diferentes dentro de las cinco primeras, la junta tendrá simetría D ₂ ; dicha simetría consta de dos reflexiones (perpendiculares entre sí) a lo largo de los diámetros del círculo delimitador, con una doble simetría rotacional de 180°. La junta descrita por las curvaturas (−1, 2, 2, 3) es la única junta apolínea (hasta un factor de escala) que posee simetría D ₂ .

D₃simetría

No existen juntas enteras con simetría D ₃ .

Si los tres círculos con la curvatura positiva más pequeña tienen la misma curvatura, la junta tendrá simetría D ₃ , que corresponde a tres reflexiones a lo largo de los diámetros del círculo delimitador (espaciados 120°), junto con una simetría rotacional triple de 120°. En este caso, la relación entre la curvatura del círculo delimitador y los tres círculos internos es 2 √ 3  − 3. Como esta relación no es racional, ningún empaquetamiento integral del círculo apolíneo posee esta simetría D ₃ , aunque muchos empaquetamientos se acercan.

Casi-D₃simetría

(-15, 32, 32, 33)

(-15, 32, 32, 33)

La figura de la izquierda es una junta apolínea integral que parece tener simetría D ₃ . La misma figura se muestra a la derecha, con etiquetas que indican las curvaturas de los círculos interiores, lo que ilustra que la junta en realidad posee sólo la simetría D ₁ común a muchas otras juntas apolíneas integrales.

La siguiente tabla enumera más de estas juntas apolíneas casi integrales D ₃ . La secuencia tiene algunas propiedades interesantes y la tabla enumera una factorización de las curvaturas, junto con el multiplicador necesario para pasar del conjunto anterior al actual. Los valores absolutos de las curvaturas de los discos "a" obedecen a la relación de recurrencia a ( n ) = 4 a ( n − 1 ) − a ( n − 2 ) (secuencia A001353 en la OEIS ), de la que se deduce que el multiplicador converge a √ 3  + 2 ≈ 3.732050807.

Curvaturas secuenciales

Juntas apolíneas anidadas

Para cualquier número entero n  > 0, existe una junta apolínea definida por las siguientes curvaturas:
(− n ,  n  + 1,  n ( n  + 1),  n ​​( n  + 1) + 1).
Por ejemplo, las juntas definidas por (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) y (−9, 10, 90, 91 ) todos siguen este patrón. Debido a que cada círculo interior definido por n  + 1 puede convertirse en el círculo delimitador (definido por − n ) en otra junta, estas juntas se pueden anidar . Esto se demuestra en la figura de la derecha, que contiene estas juntas secuenciales con n que va del 2 al 20.

Ver también

Embalaje de esferas apolíneas

• Red apolínea , un gráfico derivado de subconjuntos finitos de la junta apolínea
• Empaquetamiento de esferas apolíneas , una generalización tridimensional de la junta apolínea
• Triángulo de Sierpiński , un fractal autosemejante con una estructura combinatoria similar

Notas

1. Satija, II, La mariposa en el mundo de Iglesias Waseas: La historia del fractal cuántico más fascinante ( Bristol : IOP Publishing , 2016), p. 5.
2. Boyd, David W. (1973), "La dimensión residual del embalaje apolíneo", Mathematika , 20 (2): 170–174, doi :10.1112/S0025579300004745, MR  0493763
3. McMullen, Curtis T. (1998), "Dimensión de Hausdorff y dinámica conforme, III: Cálculo de la dimensión" (PDF) , American Journal of Mathematics , 120 (4): 691–721, doi :10.1353/ajm.1998.0031, MR  1637951, S2CID  15928775
4. Conteo de círculos y teoría ergódica de grupos kleinianos por Hee Oh Brown. Universidad Dic 2009
5. Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks y Catherine H. Yan; "Empaquetaduras del círculo apolíneo: teoría de números" J. Teoría de números, 100 (2003), 1-45
6. Bradford, Alden. "Revisando las juntas apolíneas" . Consultado el 7 de agosto de 2022 .
7. Fuchs, Elena; Sanden, Katherine (28 de noviembre de 2011). "Algunos experimentos con empaquetaduras de círculos apolíneos integrales". Matemáticas Experimentales . 20 (4): 380–399. arXiv : 1001.1406 . doi :10.1080/10586458.2011.565255. ISSN  1058-6458.
8. Verano La Haya; Clyde Kertzer; James Rickards; Katherine E. extraña. "La conjetura local-global sobre los empaquetamientos del círculo apolíneo es falsa". arXiv : 2307.02749 .
9. Levy, Max G. (10 de agosto de 2023). "Dos estudiantes desentrañan una conjetura matemática ampliamente aceptada". Revista Quanta . Consultado el 14 de agosto de 2023 .

Referencias

• Benoit B. Mandelbrot: La geometría fractal de la naturaleza , WH Freeman, 1982, ISBN 0-7167-1186-9 
• Paul D. Bourke: "Una introducción al fractal Apollony". Computers and Graphics, volumen 30, número 1, enero de 2006, páginas 134–136.
• David Mumford , Caroline Series , David Wright: Las perlas de Indra: La visión de Felix Klein , Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-35253-3 
• Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: más allá del teorema del círculo de Descartes , The American Mathematical Monthly, vol. 109, núm. 4 (abril de 2002), págs. 338–361, (arXiv:math.MG/0101066 v1 9 de enero de 2001)

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Junta apolínea". MundoMatemático .
• Alexander Bogomolny , Junta Apolínea , corte del nudo
• Una junta apolínea interactiva que se ejecuta en HTML5 puro en Wayback Machine (archivado el 2 de mayo de 2011)
• Un script de Matlab para trazar una junta apolínea 2D con n círculos idénticos Archivado el 7 de octubre de 2008 en Wayback Machine mediante inversión de círculos.
• Experimentos en línea con JSXGraph
• Junta apolínea de Michael Screiber, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Junta apolínea interactiva Demostración de una junta apolínea ejecutándose en Java
• Dana Mackenzie. Ciencias de la Computación: un Tisket, un Tasket, una junta apolínea. American Scientist, enero/febrero de 2010.
• "Dibujando en arena la obra de arte más grande del mundo", The Telegraph , 16 de diciembre de 2009. Artículo periodístico sobre una obra de arte en forma de junta apolínea parcial, con una circunferencia exterior de nueve millas.
• Juntas apolíneas dinámicas , Tartapelago de Giorgio Pietrocola, 2014. (en italiano)