Centro de Spiker

En geometría , el centro de Spieker es un punto especial asociado con un triángulo plano . Se define como el centro de masa del perímetro del triángulo. El centro de Spieker de un triángulo $△ ABC$ es el centro de gravedad de un marco de alambre homogéneo con la forma de $△ ABC$ . ^[1]^{[2] El punto recibe su nombre en honor al}geómetra alemán del siglo XIX Theodor Spieker . ^[3] El centro de Spieker es un centro de triángulo y aparece como el punto X (10) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling .

Ubicación

**Construcción del centro Spieker.**
  Triángulo $△ ABC$

  Triángulo medial $△ DEF$ de $△ ABC$

  Bisectrices de los ángulos $△ DEF$ ( concurrentes en el **centro de Spieker** $S$ )

  Círculo inscrito de $△ DEF$ ( círculo de Spieker de $△ ABC$ ; centrado en $S$ )

El siguiente resultado se puede utilizar para localizar el centro de Spieker de cualquier triángulo. ^[1]

El centro de Spieker del triángulo

△ ABC

es el incentro del triángulo medial de

△ ABC

Es decir, el centro de Spieker de $△ ABC$ es el centro del círculo inscrito en el triángulo medial de $△ ABC$ . Este círculo se conoce como círculo de Spieker .

El centro de Spieker también se encuentra en la intersección de las tres cuchillas del triángulo $△ ABC$ . Una cuchilla de un triángulo es un segmento de línea que divide en dos el perímetro del triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Cada cuchilla contiene el centro de masa del límite de $△ ABC$ , por lo que las tres cuchillas se encuentran en el centro de Spieker.

Para ver que el incentro del triángulo medial coincide con el punto de intersección de las cuchillas, considere un marco de alambre homogéneo en forma de triángulo $△ ABC$ que consiste en tres alambres en forma de segmentos de línea que tienen longitudes $a, b, c$ . El marco de alambre tiene el mismo centro de masa que un sistema de tres partículas de masas $a, b, c$ colocadas en los puntos medios $D, E, F$ de los lados $BC, CA, AB$ . El centro de masa de las partículas en $E$ y $F$ es el punto $P$ que divide el segmento $EF$ en la razón $c : b$ . La línea $DP$ es la bisectriz interna de $∠ D$ . El centro de masa del sistema de tres partículas se encuentra, por tanto, en la bisectriz interna de $∠ D$ . Argumentos similares muestran que el centro de masa del sistema de tres partículas se encuentra también en las bisectrices internas de $∠ E$ y $∠ F$ . De ello se deduce que el centro de masa del marco de alambre es el punto de coincidencia de las bisectrices internas de los ángulos del triángulo $△ DEF$ , que es el incentro del triángulo medial $△ DEF$ .

Propiedades

El centro de Spieker de un triángulo es el centro de división del triángulo.
  Triángulo $△ ABC$

  Bisectrices de los ángulos $△ ABC$ (concurrentes en el incentro $I$ )

  Cuchillas de $△ ABC$ (concurrentemente en el **centro Spieker** $S$ )

  Triángulo medial $△ DEF$ de $△ ABC$

  Círculo inscrito de $△ DEF$ (círculo de Spieker de $△ ABC$ ; centrado en $S$ )

Sea $S$ el centro de Spieker del triángulo $△ ABC$ .

Las coordenadas trilineales de $S$ son

bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).

^[4]

Las coordenadas baricéntricas de $S$ son

b+c:c+a:a+b.

^[4]

$S$ es el centro radical de los tres excírculos . ^[5]
$S$ es el centro de división del triángulo $△ ABC$ ^[1]
$S$ es colineal con el incentro ( $I$ ), el centroide ( $G$ ) y el punto de Nagel ( $N$ ) del triángulo $△ ABC$ . Además, ^[6]

IS=SM,\quad IG=2\cdot GS,\quad MG=2\cdot IG.

Así, en una línea numérica adecuadamente escalada y posicionada,

I = 0

G = 2

S = 3

M = 6

$S$ se encuentra sobre la hipérbola de Kiepert . $S$ es el punto de concurrencia de las rectas $AX, BY, CZ$ donde $△ XBC, △ YCA, △ ZAB$ son triángulos semejantes, isósceles y situados de forma similar construidos sobre los lados del triángulo $△ ABC$ como bases, que tienen el ángulo base común ^[7]

\theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].

Referencias

^ abc Honsberger, Ross (1995). Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . Asociación Matemática de Estados Unidos. págs. 3-4.
^ Kimberling, Clark. "Spieker center" . Consultado el 5 de mayo de 2012 .
^ Spieker, Theodor (1888). Lehrbuch der ebenen Geometrie . Potsdam, Alemania.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
^ ab Kimberling, Clark. "Enciclopedia de centros de triángulos" . Consultado el 5 de mayo de 2012 .
↑ Odenhal, Boris (2010), "Algunos centros de triángulos asociados a los círculos tangentes a los excírculos" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 35–40
^ Bogomolny, A. "Línea de Nagel de Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles" . Consultado el 5 de mayo de 2012 .
^ Weisstein, Eric W. "Híperbola de Kipert". MundoMatemático .