Invariante de Riemann

Los invariantes de Riemann son transformaciones matemáticas que se realizan sobre un sistema de ecuaciones de conservación para que sean más fáciles de resolver. Los invariantes de Riemann son constantes a lo largo de las curvas características de las ecuaciones diferenciales parciales, de donde obtienen el nombre de invariantes . Fueron obtenidos por primera vez por Bernhard Riemann en su trabajo sobre ondas planas en dinámica de gases. ^[1]

Teoría matemática

Consideremos el conjunto de ecuaciones de conservación :

${\displaystyle l_{i}\left(A_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

donde y son los elementos de las matrices y donde y son elementos de los vectores . Se preguntará si es posible reescribir esta ecuación a ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle l_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\left(\beta {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

Para ello se introducirán curvas en el plano definido por el campo vectorial . El término entre paréntesis se reescribirá en términos de una derivada total donde se parametrizan como ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x,t}$ ${\displaystyle x=X(\eta ),t=T(\eta )}$

${\displaystyle {\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+X'{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}}$

Comparando las dos últimas ecuaciones encontramos

${\displaystyle \alpha =X'(\eta ),\beta =T'(\eta )}$

que ahora se puede escribir en forma característica

${\displaystyle m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}+l_{j}b_{j}=0}$

donde debemos tener las condiciones

${\displaystyle l_{i}A_{ij}=m_{j}T'}$

${\displaystyle l_{i}a_{ij}=m_{j}X'}$

donde se puede eliminar para dar la condición necesaria ${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij}T')=0}$

Entonces, para una solución no trivial, el determinante es

${\displaystyle |A_{ij}X'-a_{ij}T'|=0}$

Para los invariantes de Riemann nos ocupamos del caso en el que la matriz es una matriz identidad para formar ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}=0}$

Observe que es homogéneo debido a que el vector es cero. En forma característica, el sistema es ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}=0}$ con ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda }$

Donde es el vector propio izquierdo de la matriz y son las velocidades características de los valores propios de la matriz que satisfacen ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda 's}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle |A-\lambda \delta _{ij}|=0}$

Para simplificar estas ecuaciones características podemos hacer las transformaciones tales que ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}}$

¿Qué forma?

${\displaystyle \mu l_{i}du_{i}=dr}$

Se puede multiplicar un factor de integración para ayudar a integrar esto. Por lo tanto, el sistema ahora tiene la forma característica ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0}$en ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda _{i}}$

que es equivalente al sistema diagonal ^[2]

${\displaystyle r_{t}^{k}+\lambda _{k}r_{x}^{k}=0,}$ ${\displaystyle k=1,...,N.}$

La solución de este sistema se puede dar mediante el método de la hodógrafa generalizada . ^{[3] [4]}

Ejemplo

Consideremos las ecuaciones de Euler unidimensionales escritas en términos de densidad y velocidad : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0}$

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0}$

Con la velocidad del sonido introducida debido a la suposición isentrópica, escriba este sistema en forma matricial. ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)}$

donde la matriz del análisis anterior requiere encontrar los valores propios y los vectores propios. Se encuentra que los valores propios satisfacen ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0}$

dar

${\displaystyle \lambda =u\pm c}$

y se encuentra que los vectores propios son

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\\{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\-{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right)}$

donde están los invariantes de Riemann

${\displaystyle r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

${\displaystyle r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

( y son las notaciones ampliamente utilizadas en dinámica de gases ). Para un gas perfecto con calores específicos constantes, existe la relación , donde es la relación de calores específicos , para dar los invariantes de Riemann ^{[5] [6]} ${\displaystyle J_{+}}$ ${\displaystyle J_{-}}$ ${\displaystyle c^{2}={\text{const}}\,\gamma \rho ^{\gamma -1}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

${\displaystyle J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

para dar las ecuaciones

${\displaystyle {\frac {\partial J_{+}}{\partial t}}+(u+c){\frac {\partial J_{+}}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{-}}{\partial t}}+(u-c){\frac {\partial J_{-}}{\partial x}}=0}$

En otras palabras,

${\displaystyle {\begin{aligned}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}}$

donde y son las curvas características. Esto se puede resolver mediante la transformación hodográfica . En el plano hodográfico, si todas las características se colapsan en una sola curva, entonces obtenemos ondas simples . Si la forma matricial del sistema de ecuaciones diferenciales parciales tiene la forma ${\displaystyle C_{+}}$ ${\displaystyle C_{-}}$

${\displaystyle A{\frac {\partial v}{\partial t}}+B{\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$

Entonces es posible multiplicar transversalmente por la matriz inversa siempre que el determinante de la matriz de no sea cero. ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Véase también

• Onda simple

Referencias

1. Riemann, Bernhard (1860). "Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite" (PDF) . Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . 8 . Consultado el 8 de agosto de 2012 .
2. Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Wiley . ISBN. 978-0-471-94090-6.
3. Kamchatnov, AM (2000). Ondas periódicas no lineales y sus modulaciones . World Scientific . ISBN 978-981-02-4407-1.
4. Tsarev, SP (1985). "Sobre corchetes de Poisson y sistemas hamiltonianos unidimensionales de tipo hidrodinámico" (PDF) . Matemáticas soviéticas - Doklady . 31 (3): 488–491. MR  2379468. Zbl  0605.35075. Archivado desde el original (PDF) el 2012-03-30 . Consultado el 20 de agosto de 2011 .
5. Zelʹdovich, IB, y Raĭzer, IP (1966). Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura (Vol. 1). Prensa académica.
6. Courant, R., & Friedrichs, KO 1948 Flujo supersónico y ondas de choque. Nueva York: Interscience.