Ecuación característica (cálculo)

Ecuación algebraica de la que depende la solución de una ecuación diferencial

En matemáticas , la ecuación característica (o ecuación auxiliar ^[1] ) es una ecuación algebraica de grado n de la que depende la solución de una ecuación diferencial ^[2] o ecuación en diferencias de orden n dada . ^{[3] [4]} La ecuación característica solo se puede formar cuando la ecuación diferencial o en diferencias es lineal y homogénea , y tiene coeficientes constantes . ^{[1] Una ecuación diferencial} de este tipo, con y como variable dependiente , superíndice ( n ) que denota ^la derivada n , y a _n , a _{n  − 1} , ..., a 1 _, a ₀ como constantes,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

tendrá una ecuación característica de la forma

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

cuyas soluciones r ₁ , r ₂ , ..., r _n son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general . ^{[1] [5] [6]} Análogamente, una ecuación diferencial lineal de la forma

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

tiene ecuación característica

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

Se analiza con más detalle en Recurrencia lineal con coeficientes constantes .

Las raíces características ( raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución se describe mediante la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para ecuaciones en diferencias, hay estabilidad si y solo si el módulo de cada raíz es menor que 1. Para ambos tipos de ecuación, se producen fluctuaciones persistentes si hay al menos un par de raíces complejas .

El método de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler , quien encontró que las soluciones dependían de una ecuación "característica" algebraica. ^[2] Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron consideradas posteriormente con mayor detalle por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge . ^{[2] [6]}

Derivación

Partiendo de una ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes constantes a _n , a _{n  − 1} , ..., a ₁ , a ₀ ,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,}$

Se puede observar que si y ( x ) = e ^rx , cada término sería un múltiplo constante de e ^rx . Esto resulta del hecho de que la derivada de la función exponencial e ^rx es un múltiplo de sí misma. Por lo tanto, y ′ = re ^rx , y ″ = r ² e ^rx , y y ^{( n )} = r ⁿ e ^rx son todos múltiplos. Esto sugiere que ciertos valores de r permitirán que los múltiplos de e ^rx sumen cero, resolviendo así la ecuación diferencial homogénea. ^[5] Para resolver r , se puede sustituir y = e ^rx y sus derivadas en la ecuación diferencial para obtener

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$

Como e ^rx nunca puede ser igual a cero, se puede dividir, obteniéndose la ecuación característica

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

Al resolver las raíces, r , en esta ecuación característica, se puede encontrar la solución general de la ecuación diferencial. ^{[1] [6]} Por ejemplo, si r tiene raíces iguales a 3, 11 y 40, entonces la solución general será , donde , , y son constantes arbitrarias que deben determinarse mediante las condiciones iniciales y/o de contorno. ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

Formación de la solución general

Resolviendo la ecuación característica para sus raíces, r ₁ , ..., r _n , se puede encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Las raíces pueden ser reales o complejas , así como distintas o repetidas. Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, h raíces repetidas o k raíces complejas correspondientes a soluciones generales de y _D ( x ) , y _{R 1} ( x ), ..., y _{R h} ( x ) , y y _{C 1} ( x ), ..., y _{C k} ( x ) , respectivamente, entonces la solución general de la ecuación diferencial es

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

Ejemplo

La ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes constantes

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

tiene la ecuación característica

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

Al factorizar la ecuación característica en ^{[ se necesita más explicación ]}

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0}$

Se puede ver que las soluciones para r son la raíz simple distinta r _​​1 = 3 y las raíces complejas dobles r _2,3,4,5 = 1 ±  i . Esto corresponde a la solución general de valor real

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

con constantes c ₁ , ..., c ₅ .

Raíces reales distintivas

El principio de superposición para ecuaciones lineales homogéneas dice que si u ₁ , ..., u _n son n soluciones linealmente independientes para una ecuación diferencial particular, entonces c ₁ u ₁ + ⋯ + c _n u _n también es una solución para todos los valores c ₁ , ..., c _n . ^{[1] [7]} Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas r ₁ , ..., r _n , entonces una solución general será de la forma

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$

Raíces reales repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz r ₁ que se repite k veces, entonces es claro que y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x} es al menos una solución. ^[1] Sin embargo, esta solución carece de soluciones linealmente independientes de las otras k  − 1 raíces. Como r ₁ tiene multiplicidad k , la ecuación diferencial puede factorizarse en ^[1]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

El hecho de que y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x} sea una solución permite suponer que la solución general puede ser de la forma y ( x ) = u ( x ) e ^{r ₁ x} , donde u ( x ) es una función a determinar. Sustituyendo ue ^{r ₁ x} se obtiene

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

cuando k  = 1. Aplicando este hecho k veces, se deduce que

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

Dividiendo e ^{r ₁ x} , se puede ver que

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

Por lo tanto, el caso general para u ( x ) es un polinomio de grado k  − 1 , de modo que u ( x ) = c ₁ + c ₂ x + c ₃ x ² + ⋯ + c _k x ^{k  −1} . ^[6] Como y ( x ) = ue ^{r ₁ x} , la parte de la solución general correspondiente a r ₁ es

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).}$

Raíces complejas

Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene una ecuación característica con raíces conjugadas complejas de la forma r ₁ = a + bi y r ₂ = a − bi , entonces la solución general es, en consecuencia, y ( x ) = c ₁ e ^{( a + bi  ) x} + c ₂ e ^{( a − bi  ) x} . Por la fórmula de Euler , que establece que e ^iθ = cos  θ + i sen  θ , esta solución puede reescribirse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

donde c ₁ y c ₂ son constantes que pueden ser no reales y que dependen de las condiciones iniciales. ^[6] (De hecho, dado que y ( x ) es real, c ₁ − c ₂ debe ser imaginario o cero y c ₁ + c ₂ debe ser real, para que ambos términos después del último signo igual sean reales.)

Por ejemplo, si c ₁ = c ₂ = ⁠1/2⁠ , entonces se formala solución particular y ₁ ( x ) = e ^ax cos  bx . De manera similar, si c ₁ = ⁠1/2 yo⁠ y c ₂ = − ⁠1/2 yo⁠ , entonces la solución independiente formada es y ₂ ( x ) = e ^ax sen  bx . Por lo tanto, por el principio de superposición para ecuaciones diferenciales homogéneas lineales , una ecuación diferencial de segundo orden que tenga raíces complejas r  =  a ± bi dará como resultado la siguiente solución general:

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)}$

Este análisis también se aplica a las partes de las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior cuya ecuación característica involucra raíces conjugadas complejas no reales.

Véase también

• Polinomio característico

Referencias

1. Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). "Capítulo 3". Ecuaciones diferenciales: cálculo y modelado . David Calvis. Upper Saddle River , Nueva Jersey : Pearson Education. págs. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
2. Smith, David Eugene. "Historia de las matemáticas modernas: ecuaciones diferenciales". Universidad del Sur de Florida .
3. Baumol, William J. (1970). Dinámica económica (3.ª ed.). pág. 172.
4. Chiang, Alpha (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). McGraw-Hill. pp. 578, 600. ISBN 9780070107809.
5. Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. "Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas lineales con coeficientes constantes". eFunda . Consultado el 1 de marzo de 2011 .
6. Cohen, Abraham (1906). Tratado elemental de ecuaciones diferenciales. DC Heath and Company .
7. Dawkins, Paul. "Terminología de ecuaciones diferenciales". Notas de matemáticas en línea de Paul . Consultado el 2 de marzo de 2011 .