Una teoría de calibre es un tipo de teoría en física . La palabra calibre significa una medida , un espesor, una distancia intermedia (como en las vías del ferrocarril ), o un número resultante de unidades por determinado parámetro (un número de bucles en una pulgada de tela o un número de bolas de plomo en una libra). de municiones ). [1] Las teorías modernas describen las fuerzas físicas en términos de campos , por ejemplo, el campo electromagnético , el campo gravitacional y campos que describen fuerzas entre las partículas elementales . Una característica general de estas teorías de campos es que los campos fundamentales no pueden medirse directamente; sin embargo, se pueden medir algunas cantidades asociadas, como cargas, energías y velocidades. Por ejemplo, supongamos que no puede medir el diámetro de una bola de plomo, pero puede determinar cuántas bolas de plomo, que son iguales en todos los sentidos, se necesitan para formar una libra. Usando el número de bolas, la densidad del plomo y la fórmula para calcular el volumen de una esfera a partir de su diámetro, se podría determinar indirectamente el diámetro de una sola bola de plomo.
En las teorías de campos, diferentes configuraciones de los campos no observables pueden dar como resultado cantidades observables idénticas . Una transformación de una configuración de campo a otra se denomina transformación de calibre ; [2] [3] la falta de cambio en las cantidades medibles, a pesar de que el campo se transforme, es una propiedad llamada invariancia de calibre . Por ejemplo, si pudiera medir el color de las bolas de plomo y descubrir que cuando cambia el color, todavía cabe el mismo número de bolas en una libra, la propiedad del "color" mostraría la invariancia del calibre . Dado que cualquier tipo de invariancia bajo una transformación de campo se considera una simetría , la invariancia de calibre a veces se denomina simetría de calibre . Generalmente, cualquier teoría que tenga la propiedad de invariancia de calibre se considera una teoría de calibre.
Por ejemplo, en electromagnetismo el campo eléctrico E y el campo magnético B son observables, mientras que los potenciales V ("voltaje") y A (el potencial vectorial ) no lo son. [4] Bajo una transformación de calibre en la que se agrega una constante a V , no se produce ningún cambio observable en E o B.
Con el advenimiento de la mecánica cuántica en la década de 1920, y con los sucesivos avances en la teoría cuántica de campos , la importancia de las transformaciones de calibre ha crecido constantemente. Las teorías de calibre restringen las leyes de la física, porque todos los cambios inducidos por una transformación de calibre tienen que cancelarse entre sí cuando se escriben en términos de cantidades observables. A lo largo del siglo XX, los físicos se dieron cuenta gradualmente de que todas las fuerzas ( interacciones fundamentales ) surgen de las limitaciones impuestas por las simetrías de calibre locales , en cuyo caso las transformaciones varían de un punto a otro en el espacio y el tiempo . La teoría cuántica de campos perturbativos (generalmente empleada para la teoría de la dispersión) describe las fuerzas en términos de partículas mediadoras de fuerzas llamadas bosones de calibre . La naturaleza de estas partículas está determinada por la naturaleza de las transformaciones de calibre. La culminación de estos esfuerzos es el Modelo Estándar , una teoría cuántica de campos que predice con precisión todas las interacciones fundamentales excepto la gravedad .
La primera teoría de campo que tenía simetría de calibre fue la formulación de la electrodinámica por Maxwell , en 1864-1865 (" Una teoría dinámica del campo electromagnético "). La importancia de esta simetría pasó desapercibida en las primeras formulaciones. De manera similar, Hilbert había deducido las ecuaciones de la relatividad general de Einstein postulando una simetría bajo cualquier cambio de coordenadas, justo cuando Einstein estaba completando su trabajo. [5] Más tarde, Hermann Weyl , inspirado por el éxito de la relatividad general de Einstein , conjeturó (incorrectamente, como se vio después) en 1919 que la invariancia bajo el cambio de escala o "ancho" (un término inspirado en los diversos anchos de vía de los ferrocarriles) podría También será una simetría local del electromagnetismo. [6] [7] : 5, 12 Aunque la elección del calibre por parte de Weyl fue incorrecta, el nombre "calibre" se apegó al enfoque. Después del desarrollo de la mecánica cuántica , Weyl, Fock y London modificaron su elección de calibre reemplazando el factor de escala con un cambio de fase de onda y aplicándolo con éxito al electromagnetismo. [8] La simetría de calibre fue generalizada matemáticamente en 1954 por Chen Ning Yang y Robert Mills en un intento de describir las fuerzas nucleares fuertes . Esta idea, denominada teoría de Yang-Mills , encontró posteriormente aplicación en la teoría cuántica de campos de la fuerza débil , y su unificación con el electromagnetismo en la teoría electrodébil .
La importancia de las teorías de calibre para la física surge de su tremendo éxito al proporcionar un marco unificado para describir el comportamiento mecánico-cuántico del electromagnetismo , la fuerza débil y la fuerza fuerte . Esta teoría de calibre, conocida como Modelo Estándar , describe con precisión predicciones experimentales sobre tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza.
Históricamente, el primer ejemplo de simetría de calibre que se descubrió fue el electromagnetismo clásico . [9] Un campo eléctrico estático se puede describir en términos de un potencial eléctrico (voltaje ) que se define en cada punto del espacio, y en el trabajo práctico es convencional tomar la Tierra como referencia física que define el nivel cero de el potencial o tierra . Pero sólo las diferencias de potencial son físicamente mensurables, razón por la cual un voltímetro debe tener dos sondas y sólo puede informar la diferencia de voltaje entre ellas. Por lo tanto, se podría optar por definir todas las diferencias de voltaje en relación con algún otro estándar, en lugar de con la Tierra, lo que resultaría en la adición de una compensación constante. [10] Si el potencial es una solución a las ecuaciones de Maxwell entonces, después de esta transformación de calibre, el nuevo potencial también es una solución a las ecuaciones de Maxwell y ningún experimento puede distinguir entre estas dos soluciones. En otras palabras, las leyes de la física que gobiernan la electricidad y el magnetismo (es decir, las ecuaciones de Maxwell) son invariantes bajo la transformación de calibre. [11] Las ecuaciones de Maxwell tienen una simetría de calibre.
Generalizando de la electricidad estática al electromagnetismo, tenemos un segundo potencial, el potencial vectorial magnético A , que también puede sufrir transformaciones de calibre. Estas transformaciones pueden ser locales. Es decir, en lugar de sumar una constante a V , se puede agregar una función que tome diferentes valores en diferentes puntos del espacio y el tiempo. Si A también se cambia de ciertas maneras correspondientes, entonces se obtienen los mismos campos E (eléctrico) y B (magnético). La relación matemática detallada entre los campos E y B y los potenciales V y A se proporciona en el artículo Fijación de calibre , junto con la declaración precisa de la naturaleza de la transformación de calibre. El punto relevante aquí es que los campos siguen siendo los mismos bajo la transformación de calibre y, por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell aún se satisfacen.
La simetría de calibre está estrechamente relacionada con la conservación de la carga . Supongamos que existiera algún proceso mediante el cual se pudiera violar brevemente la conservación de la carga creando una carga q en un cierto punto del espacio, 1, moviéndola a algún otro punto 2, y luego destruyéndola. Podríamos imaginar que este proceso fuera consistente con la conservación de la energía. Podríamos plantear una regla que estableciera que crear la carga requirió un aporte de energía E 1 = qV 1 y destruirla liberó E 2 = qV 2 , lo cual parecería natural ya que qV mide la energía extra almacenada en el campo eléctrico debido a la existencia de una carga en un punto determinado. Fuera del intervalo durante el cual existe la partícula, se cumpliría la conservación de la energía, porque la energía neta liberada por la creación y destrucción de la partícula, qV 2 - qV 1 , sería igual al trabajo realizado al mover la partícula de 1 a 2, qV 2 - qV 1 . Pero aunque este escenario salva la conservación de la energía, viola la simetría de calibre. La simetría de calibre requiere que las leyes de la física sean invariantes bajo la transformación , lo que implica que ningún experimento debería poder medir el potencial absoluto, sin referencia a algún estándar externo, como una tierra eléctrica. Pero las reglas propuestas E 1 = qV 1 y E 2 = qV 2 para las energías de creación y destrucción permitirían a un experimentador determinar el potencial absoluto, simplemente comparando la entrada de energía requerida para crear la carga q en un punto particular del espacio. en el caso de que el potencial sea y respectivamente. La conclusión es que si se mantiene la simetría de calibre y se conserva la energía, entonces se debe conservar la carga. [12]
Como se analizó anteriormente, las transformaciones de calibre para la relatividad general clásica (es decir, la mecánica no cuántica) son transformaciones de coordenadas arbitrarias. [13] Técnicamente, las transformaciones deben ser invertibles, y tanto la transformación como su inversa deben ser suaves, en el sentido de ser diferenciables un número arbitrario de veces.
Algunas simetrías globales bajo cambios de coordenadas son anteriores tanto a la relatividad general como al concepto de calibre. Por ejemplo, Galileo y Newton introdujeron la noción de invariancia de traducción [ ¿cuándo? ] , un avance del concepto aristotélico de que diferentes lugares en el espacio, como la tierra versus los cielos, obedecían diferentes reglas físicas.
Supongamos, por ejemplo, que un observador examina las propiedades de un átomo de hidrógeno en la Tierra, el otro, en la Luna (o en cualquier otro lugar del universo), descubrirá que sus átomos de hidrógeno presentan propiedades completamente idénticas. Una vez más, si un observador hubiera examinado un átomo de hidrógeno hoy y el otro hace 100 años (o en cualquier otro momento del pasado o del futuro), los dos experimentos volverían a producir resultados completamente idénticos. La invariancia de las propiedades de un átomo de hidrógeno con respecto al tiempo y lugar donde se investigaron dichas propiedades se llama invariancia de traducción.
Recordando a nuestros dos observadores de diferentes edades: el tiempo en sus experimentos se desplaza 100 años. Si el tiempo en que el observador mayor hizo el experimento fue t , el tiempo del experimento moderno es t +100 años. Ambos observadores descubren las mismas leyes de la física. Dado que la luz procedente de los átomos de hidrógeno de galaxias distantes puede llegar a la Tierra después de haber viajado a través del espacio durante miles de millones de años, en realidad se pueden hacer tales observaciones cubriendo períodos de tiempo que se remontan casi hasta el Big Bang , y muestran que las leyes de La física siempre ha sido la misma.
En otras palabras, si en teoría cambiamos el tiempo t a t +100 años (o incluso cualquier otro cambio de tiempo), las predicciones teóricas no cambian. [14]
En la relatividad general de Einstein , coordenadas como x , y , z y t no sólo son "relativas" en el sentido global de traslaciones como , rotaciones, etc., sino que se vuelven completamente arbitrarias, de modo que, por ejemplo, se puede definir una nueva coordenada temporal de acuerdo con alguna regla arbitraria como , donde tiene dimensiones de tiempo y, sin embargo, las ecuaciones de Einstein tendrán la misma forma. [13] [15]
La invariancia de la forma de una ecuación bajo una transformación de coordenadas arbitraria se suele denominar covarianza general , y las ecuaciones con esta propiedad se denominan escritas en forma covariante. La covarianza general es un caso especial de invarianza de calibre.
Las ecuaciones de Maxwell también se pueden expresar en una forma generalmente covariante, que es tan invariante bajo transformación de coordenadas general como la ecuación de campo de Einstein.
Hasta el advenimiento de la mecánica cuántica, el único ejemplo bien conocido de simetría de calibre era el electromagnetismo, y el significado general del concepto no se entendía completamente. Por ejemplo, no estaba claro si eran los campos E y B o los potenciales V y A las cantidades fundamentales; si es lo primero, entonces las transformaciones de calibre podrían considerarse nada más que un truco matemático.
En mecánica cuántica, una partícula como un electrón también se describe como onda. Por ejemplo, si el experimento de la doble rendija se realiza con electrones, se observa un patrón de interferencia en forma de onda. El electrón tiene la mayor probabilidad de ser detectado en lugares donde las partes de la onda que pasan a través de las dos rendijas están en fase entre sí, lo que resulta en una interferencia constructiva . La frecuencia de la onda electrónica está relacionada con la energía cinética de una partícula electrónica individual mediante la relación mecánico-cuántica E = hf . Si no hay campos eléctricos o magnéticos presentes en este experimento, entonces la energía del electrón es constante y, por ejemplo, habrá una alta probabilidad de detectar el electrón a lo largo del eje central del experimento, donde por simetría las dos partes de la onda está en fase.
Pero supongamos ahora que los electrones del experimento están sujetos a campos eléctricos o magnéticos. Por ejemplo, si se impusiera un campo eléctrico en un lado del eje pero no en el otro, los resultados del experimento se verían afectados. La parte de la onda del electrón que pasa por ese lado oscila a una velocidad diferente, ya que a su energía se le ha añadido − eV , donde − e es la carga del electrón y V el potencial eléctrico. Los resultados del experimento serán diferentes, porque las relaciones de fase entre las dos partes de la onda electrónica han cambiado y, por lo tanto, las ubicaciones de la interferencia constructiva y destructiva se desplazarán hacia un lado o hacia el otro. Lo que aquí se produce es el potencial eléctrico, no el campo eléctrico, y esto es una manifestación del hecho de que son los potenciales y no los campos los que tienen una importancia fundamental en la mecánica cuántica.
Incluso es posible que haya casos en los que los resultados de un experimento difieran cuando se cambian los potenciales, incluso si ninguna partícula cargada se expone nunca a un campo diferente. Un ejemplo de ello es el efecto Aharonov-Bohm , que se muestra en la figura. [16] En este ejemplo, encender el solenoide solo provoca que exista un campo magnético B dentro del solenoide. Pero el solenoide ha sido colocado de manera que el electrón no pueda pasar a través de su interior. Si uno creyera que los campos eran las cantidades fundamentales, entonces esperaría que los resultados del experimento no cambiaran. En realidad, los resultados son diferentes, porque al encender el solenoide cambió el potencial del vector A en la región por la que pasan los electrones. Ahora que se ha establecido que son los potenciales V y A los fundamentales, y no los campos E y B , podemos ver que las transformaciones de calibre, que cambian V y A , tienen un significado físico real, en lugar de ser meramente matemáticos. artefactos.
Tenga en cuenta que en estos experimentos, la única cantidad que afecta el resultado es la diferencia de fase entre las dos partes de la onda del electrón. Supongamos que imaginamos las dos partes de la onda del electrón como pequeños relojes, cada uno con una sola manecilla que gira en círculo, siguiendo su propia fase. Aunque esta caricatura ignora algunos detalles técnicos, conserva los fenómenos físicos que son importantes aquí. [17] Si ambos relojes se aceleran en la misma cantidad, la relación de fase entre ellos no cambia y los resultados de los experimentos son los mismos. No sólo eso, sino que ni siquiera es necesario cambiar la velocidad de cada reloj en una cantidad fija . Podríamos cambiar el ángulo de la manecilla de cada reloj en una cantidad variable θ, donde θ podría depender tanto de la posición en el espacio como en el tiempo. Esto no tendría ningún efecto sobre el resultado del experimento, ya que la observación final de la ubicación del electrón ocurre en un solo lugar y momento, de modo que el cambio de fase en el "reloj" de cada electrón sería el mismo, y los dos efectos se cancelaría. Este es otro ejemplo de transformación de calibre: es local y no cambia los resultados de los experimentos.
En resumen, la simetría de calibre alcanza toda su importancia en el contexto de la mecánica cuántica. En la aplicación de la mecánica cuántica al electromagnetismo, es decir, la electrodinámica cuántica , la simetría de calibre se aplica tanto a las ondas electromagnéticas como a las ondas de electrones. De hecho, estas dos simetrías de calibre están íntimamente relacionadas. Si, por ejemplo, se aplica una transformación de calibre θ a las ondas de electrones, entonces también se debe aplicar una transformación correspondiente a los potenciales que describen las ondas electromagnéticas. [18] Se requiere simetría de calibre para hacer de la electrodinámica cuántica una teoría renormalizable , es decir, una en la que las predicciones calculadas de todas las cantidades físicamente mensurables sean finitas.
La descripción de los electrones en la subsección anterior como pequeños relojes es, en efecto, una declaración de las reglas matemáticas según las cuales se deben sumar y restar las fases de los electrones: deben tratarse como números ordinarios, excepto en el caso en que Si el resultado del cálculo queda fuera del rango de 0≤θ<360°, lo obligamos a "envolverse" dentro del rango permitido, que cubre un círculo. Otra forma de decirlo es que un ángulo de fase de, digamos, 5° se considera completamente equivalente a un ángulo de 365°. Los experimentos han verificado esta afirmación comprobable sobre los patrones de interferencia formados por ondas de electrones. Excepto por la propiedad "envolvente", las propiedades algebraicas de esta estructura matemática son exactamente las mismas que las de los números reales ordinarios.
En terminología matemática, las fases de electrones forman un grupo abeliano bajo suma, llamado grupo circular o U (1). "Abeliano" significa que la suma conmuta , de modo que θ + φ = φ + θ. Grupo significa que la suma asocia y tiene un elemento de identidad , es decir, "0". Además, para cada fase existe una inversa tal que la suma de una fase y su inversa es 0. Otros ejemplos de grupos abelianos son los números enteros bajo suma, 0 y negación, y las fracciones distintas de cero bajo producto, 1 y recíproco.
Como forma de visualizar la elección de un calibre, considere si es posible saber si un cilindro ha sido torcido. Si el cilindro no tiene golpes, marcas o rayones, no podemos saberlo. Sin embargo, podríamos dibujar una curva arbitraria a lo largo del cilindro, definida por alguna función θ( x ), donde x mide la distancia a lo largo del eje del cilindro. Una vez realizada esta elección arbitraria (la elección del calibre), es posible detectarla si alguien gira posteriormente el cilindro.
En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills propusieron generalizar estas ideas a grupos no conmutativos. Un grupo de calibres no conmutativo puede describir un campo que, a diferencia del campo electromagnético, interactúa consigo mismo. Por ejemplo, la relatividad general afirma que los campos gravitacionales tienen energía y la relatividad especial concluye que la energía es equivalente a la masa. Por tanto, un campo gravitacional induce otro campo gravitacional. Las fuerzas nucleares también tienen esta propiedad de interacción consigo misma.
Sorprendentemente, la simetría de calibre puede dar una explicación más profunda de la existencia de interacciones, como las interacciones eléctricas y nucleares. Esto surge de un tipo de simetría de calibre relacionada con el hecho de que todas las partículas de un tipo determinado son experimentalmente indistinguibles entre sí. Imaginemos que Alice y Betty son gemelas idénticas, marcadas al nacer con pulseras que dicen A y B. Como las niñas son idénticas, nadie podría saber si las habían cambiado al nacer; las etiquetas A y B son arbitrarias y pueden intercambiarse. Semejante intercambio permanente de identidades es como una simetría global. También existe una simetría de calibre local correspondiente, que describe el hecho de que de un momento a otro, Alice y Betty podían intercambiar roles mientras nadie miraba, y nadie sería capaz de saberlo. Si observamos que el jarrón favorito de mamá está roto, sólo podemos inferir que la culpa es de uno de los gemelos o del otro, pero no podemos decir si la culpa es 100% de Alice y 0% de Betty, o viceversa. Si Alice y Betty son en realidad partículas de mecánica cuántica y no personas, entonces también tienen propiedades ondulatorias, incluida la propiedad de superposición , que permite sumar, restar y mezclar ondas arbitrariamente. De ello se deduce que ni siquiera estamos restringidos a completar intercambios de identidad. Por ejemplo, si observamos que existe una cierta cantidad de energía en un determinado lugar del espacio, no existe ningún experimento que pueda decirnos si esa energía es 100% A y 0% B, 0% A y 100% B, o 20 % A y 80 % B, o alguna otra mezcla. El hecho de que la simetría sea local significa que ni siquiera podemos contar con que estas proporciones permanezcan fijas mientras las partículas se propagan por el espacio. Los detalles de cómo esto se representa matemáticamente dependen de cuestiones técnicas relacionadas con los espines de las partículas, pero para nuestros propósitos actuales consideramos una partícula sin espín, para la cual resulta que la mezcla puede especificarse mediante alguna elección arbitraria de calibre θ( x ), donde un ángulo θ = 0° representa 100% A y 0% B, θ = 90° significa 0% A y 100% B, y los ángulos intermedios representan mezclas.
Según los principios de la mecánica cuántica, las partículas en realidad no tienen trayectorias a través del espacio. El movimiento sólo puede describirse en términos de ondas, y el momento p de una partícula individual está relacionado con su longitud de onda λ por p = h / λ . En términos de mediciones empíricas, la longitud de onda sólo puede determinarse observando un cambio en la onda entre un punto en el espacio y otro punto cercano (matemáticamente, por diferenciación ). Una onda con una longitud de onda más corta oscila más rápidamente y, por tanto, cambia más rápidamente entre puntos cercanos. Ahora supongamos que fijamos arbitrariamente un medidor en un punto del espacio, diciendo que la energía en ese lugar es 20% A y 80% B. Luego medimos las dos ondas en algún otro punto cercano para determinar sus longitudes de onda. Pero hay dos razones completamente diferentes por las que las olas podrían haber cambiado. Podrían haber cambiado porque oscilaban con una determinada longitud de onda, o podrían haber cambiado porque la función de calibre cambió de una mezcla de 20 a 80 a, digamos, 21 a 79. Si ignoramos la segunda posibilidad, la teoría resultante no funciona; Aparecerán extrañas discrepancias en el impulso, violando el principio de conservación del impulso. Hay que cambiar algo en la teoría.
Nuevamente hay cuestiones técnicas relacionadas con el espín, pero en varios casos importantes, incluidas las partículas cargadas eléctricamente y las partículas que interactúan mediante fuerzas nucleares, la solución al problema es imputar realidad física a la función de calibre θ( x ). Decimos que si la función θ oscila, representa un nuevo tipo de onda mecánico-cuántica, y esta nueva onda tiene su propio momento p = h / λ , lo que soluciona las discrepancias que de otro modo habrían roto la conservación del momento. . En el contexto del electromagnetismo, las partículas A y B serían partículas cargadas como los electrones, y la onda de la mecánica cuántica representada por θ sería el campo electromagnético. (Aquí ignoramos los problemas técnicos planteados por el hecho de que los electrones en realidad tienen espín 1/2, no cero. Esta simplificación excesiva es la razón por la que el campo de calibre θ resulta ser un escalar, mientras que el campo electromagnético en realidad está representado por un vector que consta de V y A. ) El resultado es que tenemos una explicación para la presencia de interacciones electromagnéticas: si intentamos construir una teoría simétrica de calibre de partículas idénticas que no interactúan, el resultado no es autoconsistente, y Sólo se puede reparar añadiendo campos eléctricos y magnéticos que hagan que las partículas interactúen.
Aunque la función θ( x ) describe una onda, las leyes de la mecánica cuántica requieren que también tenga propiedades de partícula. En el caso del electromagnetismo, la partícula correspondiente a las ondas electromagnéticas es el fotón. En general, este tipo de partículas se denominan bosones de calibre , donde el término "bosón" se refiere a una partícula con espín entero. En las versiones más simples de la teoría, los bosones de calibre no tienen masa, pero también es posible construir versiones en las que sí tienen masa. Este es el caso de los bosones de calibre que llevan la interacción débil: la fuerza responsable de la desintegración nuclear.
Estos libros están destinados a lectores en general y emplean el mínimo de matemáticas.
