Interpolación

Método para estimar nuevos datos dentro de puntos de datos conocidos.

En el campo matemático del análisis numérico , la interpolación es un tipo de estimación , un método para construir (encontrar) nuevos puntos de datos basados ​​en el rango de un conjunto discreto de puntos de datos conocidos. ^{[1] [2]}

En ingeniería y ciencia , a menudo se tiene una serie de puntos de datos, obtenidos mediante muestreo o experimentación , que representan los valores de una función para un número limitado de valores de la variable independiente . A menudo es necesario interpolar ; es decir, estimar el valor de esa función para un valor intermedio de la variable independiente.

Un problema estrechamente relacionado es la aproximación de una función complicada mediante una función simple. Supongamos que se conoce la fórmula de alguna función dada, pero es demasiado complicada para evaluarla de manera eficiente. Se pueden interpolar algunos puntos de datos de la función original para producir una función más simple que aún se acerque bastante a la original. La ganancia resultante en simplicidad puede compensar la pérdida por error de interpolación y proporcionar un mejor rendimiento en el proceso de cálculo.

Una interpolación de un conjunto finito de puntos en un epitrocoide . Los puntos en rojo están conectados por curvas spline interpoladas en azul deducidas únicamente de los puntos rojos. Las curvas interpoladas tienen fórmulas polinomiales mucho más simples que la de la curva epitrocoide original.

Ejemplo

Esta tabla proporciona algunos valores de una función desconocida . ${\displaystyle f(x)}$

Gráfico de los puntos de datos como se indica en la tabla.

La interpolación proporciona un medio para estimar la función en puntos intermedios, como ${\displaystyle x=2.5.}$

Describimos algunos métodos de interpolación, que se diferencian en propiedades tales como: precisión, costo, número de puntos de datos necesarios y suavidad de la función de interpolación resultante .

Interpolación constante por partes

Interpolación constante por partes o interpolación del vecino más cercano

El método de interpolación más simple es localizar el valor de datos más cercano y asignar el mismo valor. En problemas simples, es poco probable que se utilice este método, ya que la interpolación lineal (ver más abajo) es casi tan fácil, pero en la interpolación multivariada de dimensiones superiores , esta podría ser una opción favorable por su velocidad y simplicidad.

Interpolación linear

Gráfico de los datos con interpolación lineal superpuesta.

Uno de los métodos más simples es la interpolación lineal (a veces conocida como lerp). Considere el ejemplo anterior de estimación de f (2.5). Dado que 2,5 está a medio camino entre 2 y 3, es razonable tomar f (2,5) a medio camino entre f (2) = 0,9093 y f (3) = 0,1411, lo que da como resultado 0,5252.

Generalmente, la interpolación lineal toma dos puntos de datos, digamos ( x _a , y _a ) y ( x _b , y _b ), y el interpolador viene dado por:

${\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ at the point }}\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

Esta ecuación anterior establece que la pendiente de la nueva línea entre y es la misma que la pendiente de la línea entre y ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$

La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa. Otra desventaja es que el interpolante no es diferenciable en el punto x _k .

La siguiente estimación del error muestra que la interpolación lineal no es muy precisa. Denotemos la función que queremos interpolar por g , y supongamos que x se encuentra entre x _a y x _b y que g es dos veces diferenciable de forma continua. Entonces el error de interpolación lineal es

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}$

En palabras, el error es proporcional al cuadrado de la distancia entre los puntos de datos. El error en algunos otros métodos, incluida la interpolación polinomial y la interpolación spline (descrita a continuación), es proporcional a potencias más altas de la distancia entre los puntos de datos. Estos métodos también producen interpolantes más suaves.

Interpolación polinomial

Gráfico de los datos con interpolación polinómica aplicada.

La interpolación polinomial es una generalización de la interpolación lineal. Tenga en cuenta que la interpolación lineal es una función lineal . Ahora reemplazamos este interpolante con un polinomio de grado superior .

Consideremos nuevamente el problema planteado anteriormente. El siguiente polinomio de sexto grado pasa por los siete puntos:

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

Sustituyendo x = 2,5, encontramos que f (2,5) = ~0,59678.

Generalmente, si tenemos n puntos de datos, hay exactamente un polinomio de grado como máximo n −1 que pasa por todos los puntos de datos. El error de interpolación es proporcional a la distancia entre los puntos de datos a la potencia n . Además, el interpolante es un polinomio y, por tanto, infinitamente diferenciable. Entonces vemos que la interpolación polinomial supera la mayoría de los problemas de la interpolación lineal.

Sin embargo, la interpolación polinomial también tiene algunas desventajas. Calcular el polinomio de interpolación es computacionalmente costoso (ver complejidad computacional ) en comparación con la interpolación lineal. Además, la interpolación polinomial puede presentar artefactos oscilatorios, especialmente en los puntos finales (ver fenómeno de Runge ).

La interpolación polinomial puede estimar máximos y mínimos locales que están fuera del rango de las muestras, a diferencia de la interpolación lineal. Por ejemplo, el interpolante anterior tiene un máximo local en x ≈ 1,566, f ( x ) ≈ 1,003 y un mínimo local en x ≈ 4,708, f ( x ) ≈ −1,003. Sin embargo, estos máximos y mínimos pueden exceder el rango teórico de la función; por ejemplo, una función que siempre es positiva puede tener una interpolante con valores negativos, y cuya inversa por tanto contiene asíntotas verticales falsas .

De manera más general, la forma de la curva resultante, especialmente para valores muy altos o bajos de la variable independiente, puede ser contraria al sentido común; es decir, a lo que se sabe sobre el sistema experimental que ha generado los puntos de datos. Estas desventajas se pueden reducir utilizando interpolación spline o restringiendo la atención a los polinomios de Chebyshev .

interpolación spline

Gráfico de los datos con interpolación spline aplicada

La interpolación lineal utiliza una función lineal para cada uno de los intervalos [ x _k , x _k+1 ]. La interpolación spline utiliza polinomios de bajo grado en cada uno de los intervalos y elige las piezas del polinomio de manera que encajen suavemente entre sí. La función resultante se llama spline.

Por ejemplo, el spline cúbico natural es cúbico por partes y dos veces continuamente diferenciable. Además, su segunda derivada es cero en los puntos finales. La spline cúbica natural que interpola los puntos de la tabla anterior viene dada por

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}$

En este caso obtenemos f (2,5) = 0,5972.

Al igual que la interpolación polinomial, la interpolación spline incurre en un error menor que la interpolación lineal, mientras que el interpolador es más suave y más fácil de evaluar que los polinomios de alto grado utilizados en la interpolación polinomial. Sin embargo, la naturaleza global de las funciones básicas conduce a un mal condicionamiento. Esto se mitiga por completo mediante el uso de splines de soporte compacto, como los que se implementan en Boost.Math y se analizan en Kress. ^[3]

Interpolación mimética

Dependiendo de la discretización subyacente de los campos, pueden ser necesarios diferentes interpoladores. A diferencia de otros métodos de interpolación, que estiman funciones en puntos objetivo, la interpolación mimética evalúa la integral de campos en líneas, áreas o volúmenes objetivo, dependiendo del tipo de campo (escalar, vectorial, pseudovectorial o pseudoescalar).

Una característica clave de la interpolación mimética es que se satisfacen las identidades del cálculo vectorial , incluido el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia . Como resultado, la interpolación mimética conserva las integrales de línea, área y volumen. ^[4] La conservación de las integrales de línea podría ser deseable al interpolar el campo eléctrico , por ejemplo, ya que la integral de línea proporciona la diferencia de potencial eléctrico en los puntos finales de la ruta de integración. ^[5] La interpolación mimética asegura que el error de estimar la integral de línea de un campo eléctrico sea el mismo que el error obtenido al interpolar el potencial en los puntos finales del camino de integración, independientemente de la longitud del camino de integración.

La interpolación lineal , bilineal y trilineal también se considera mimética, incluso si son los valores del campo los que se conservan (no la integral del campo). Además de la interpolación lineal, la interpolación ponderada por área puede considerarse uno de los primeros métodos de interpolación mimética desarrollados. ^[6]

Aproximación de funciones

La interpolación es una forma común de aproximar funciones. Dada una función con un conjunto de puntos , se puede formar una función tal que for (es decir, que interpola en estos puntos). En general, un interpolante no tiene por qué ser una buena aproximación, pero existen condiciones bien conocidas y a menudo razonables en las que lo será. Por ejemplo, si (cuatro veces diferenciable continuamente), entonces la interpolación spline cúbica tiene un límite de error dado por donde y es una constante. ^[7] ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$ ${\displaystyle s:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x_{i})=s(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in C^{4}([a,b])}$ ${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}}$ ${\displaystyle h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|}$ ${\displaystyle C}$

A través de procesos gaussianos

El proceso gaussiano es una poderosa herramienta de interpolación no lineal. Muchas herramientas de interpolación populares son en realidad equivalentes a procesos gaussianos particulares. Los procesos gaussianos se pueden utilizar no sólo para ajustar un interpolante que pase exactamente por los puntos de datos dados sino también para la regresión; es decir, para ajustar una curva a través de datos ruidosos. En la comunidad de geoestadística, la regresión del proceso gaussiano también se conoce como Kriging .

Otras formas

Se pueden construir otras formas de interpolación eligiendo una clase diferente de interpoladores. Por ejemplo, la interpolación racional es la interpolación mediante funciones racionales utilizando la aproximante de Padé , y la interpolación trigonométrica es la interpolación mediante polinomios trigonométricos utilizando series de Fourier . Otra posibilidad es utilizar wavelets .

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon se puede utilizar si el número de puntos de datos es infinito o si la función a interpolar tiene soporte compacto.

En ocasiones, no sólo conocemos el valor de la función que queremos interpolar, en algunos puntos, sino también su derivada. Esto conduce a problemas de interpolación de Hermite .

Cuando cada punto de datos es en sí mismo una función, puede resultar útil ver el problema de interpolación como un problema de advección parcial entre cada punto de datos. Esta idea conduce al problema de interpolación de desplazamiento utilizado en la teoría del transporte .

En dimensiones superiores

Comparación de algunas interpolaciones unidimensionales y bidimensionales.
Los puntos negro y rojo / amarillo / verde / azul corresponden al punto interpolado y a las muestras vecinas, respectivamente.
Sus alturas sobre el suelo corresponden a sus valores.

La interpolación multivariada es la interpolación de funciones de más de una variable. Los métodos incluyen la interpolación bilineal y la interpolación bicúbica en dos dimensiones, y la interpolación trilineal en tres dimensiones. Se pueden aplicar a datos cuadriculados o dispersos. La interpolación mimética se generaliza a espacios dimensionales donde . ^{[8] [9]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$

• 
  Vecino más cercano
• 
  bilineal
• 
  bicúbico

En el procesamiento de señales digitales

En el dominio del procesamiento de señales digitales, el término interpolación se refiere al proceso de convertir una señal digital muestreada (como una señal de audio muestreada) a una de una frecuencia de muestreo más alta ( Upsampling ) utilizando varias técnicas de filtrado digital (por ejemplo, convolución con una señal de impulso de frecuencia limitada). En esta aplicación existe un requisito específico de que el contenido armónico de la señal original se preserve sin crear contenido armónico alias de la señal original por encima del límite Nyquist original de la señal (es decir, por encima de fs/2 de la frecuencia de muestreo de la señal original). . Una discusión temprana y bastante elemental sobre este tema se puede encontrar en el libro Multirate Digital Signal Processing de Rabiner y Crochiere . ^[10]

Conceptos relacionados

El término extrapolación se utiliza para encontrar puntos de datos fuera del rango de puntos de datos conocidos.

En los problemas de ajuste de curvas , se relaja la restricción de que el interpolador debe pasar exactamente por los puntos de datos. Sólo es necesario acercarse a los puntos de datos lo más cerca posible (dentro de algunas otras limitaciones). Esto requiere parametrizar los interpolantes potenciales y tener alguna forma de medir el error. En el caso más simple esto conduce a una aproximación de mínimos cuadrados .

La teoría de la aproximación estudia cómo encontrar la mejor aproximación a una función dada mediante otra función de alguna clase predeterminada, y qué tan buena es esta aproximación. Esto claramente produce un límite en qué tan bien el interpolante puede aproximarse a la función desconocida.

Generalización

Si consideramos una variable en un espacio topológico y la función se asigna a un espacio de Banach , entonces el problema se trata como "interpolación de operadores". ^[11] Los resultados clásicos sobre la interpolación de operadores son el teorema de Riesz-Thorin y el teorema de Marcinkiewicz . También hay muchos otros resultados posteriores. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ver también

• Coordenadas baricéntricas : para interpolar dentro de un triángulo o tetraedro
• Fórmula de interpolación de Brahmagupta
• Interpolación fractal
• Imputación (estadísticas)
• interpolación de Lagrange
• Datos perdidos
• Fórmulas de Newton-Cotes
• Interpolación de función de base radial
• Aproximación racional simple

Referencias

1. Sheppard, William Fleetwood (1911). "Interpolación"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Enciclopedia Británica . vol. 14 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 706–710.
2. Steffensen, JF (2006). Interpolación (Segunda ed.). Mineola, Nueva York ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC  867770894.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Kress, Rainer (1998). Análisis numérico. ISBN 9781461205999.
4. Pletzer, Alejandro; Hayek, Wolfgang (1 de enero de 2019). "Interpolación mimética de campos vectoriales en rejillas C/D de Arakawa". Revisión meteorológica mensual . 147 (1): 3–16. Código Bib : 2019MWRv..147....3P. doi :10.1175/MWR-D-18-0146.1. ISSN  1520-0493. S2CID  125214770.
5. Popa, Ari; Tong, Yiying; Desbrun, Mathieu; Marsden, Jerrold E. (2015), Chang, Dong Eui; Holm, Darryl D.; Patricio, Jorge; Ratiu, Tudor (eds.), "Electrodinámica computacional geométrica con integradores variacionales y formas diferenciales discretas", Geometría, mecánica y dinámica , Fields Institute Communications, Nueva York, NY: Springer New York, vol. 73, págs. 437–475, arXiv : 0707.4470 , doi : 10.1007/978-1-4939-2441-7_19, ISBN 978-1-4939-2440-0, S2CID  15194760 , consultado el 15 de junio de 2022
6. Jones, Felipe (1999). "Esquemas de reasignación conservadores de primer y segundo orden para cuadrículas en coordenadas esféricas". Revisión meteorológica mensual . 127 (9): 2204–2210. Código Bib : 1999MWRv..127.2204J. doi : 10.1175/1520-0493(1999)127<2204:FASOCR>2.0.CO;2 . S2CID  122744293.
7. Salón, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976). "Límites de error óptimos para la interpolación spline cúbica". Revista de teoría de la aproximación . 16 (2): 105–122. doi : 10.1016/0021-9045(76)90040-X .
8. Whitney, Hassler (1957). Teoría de la integración geométrica . Libros de Dover sobre matemáticas. ISBN 978-0486445830.
9. Pletzer, Alejandro; Fillmore, David (2015). "Interpolación conservadora de datos de caras y bordes en cuadrículas estructuradas de n dimensiones utilizando formas diferenciales". Revista de Física Computacional . 302 : 21–40. Código Bib : 2015JCoPh.302...21P. doi : 10.1016/j.jcp.2015.08.029 .
10. RE Crochiere y LR Rabiner. (1983). Procesamiento de señales digitales multivelocidad. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice – Hall.
11. Colin Bennett, Robert C. Sharpley, Interpolación de operadores , Academic Press 1988

enlaces externos

• Herramientas en línea para interpolación lineal, cuadrática, spline cúbica y polinómica con visualización y código fuente JavaScript .
• Tutoriales de Sol - Trucos de interpolación
• Interpolación B-Spline cúbica con soporte compacto en Boost.Math ^{[ enlace muerto permanente ]}
• Interpolación racional baricéntrica en Boost.Math
• Interpolación mediante la transformada de Chebyshev en Boost.Math