La integral gaussiana , también conocida como integral de Euler-Poisson , es la integral de la función gaussiana sobre toda la recta real. La integral, que lleva el nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss , es
Abraham de Moivre descubrió originalmente este tipo de integral en 1733, mientras que Gauss publicó la integral precisa en 1809. [1] La integral tiene una amplia gama de aplicaciones. Por ejemplo, con un ligero cambio de variables se utiliza para calcular la constante de normalización de la distribución normal . La misma integral con límites finitos está estrechamente relacionada tanto con la función de error como con la función de distribución acumulativa de la distribución normal . En física este tipo de integral aparece frecuentemente, por ejemplo, en mecánica cuántica , para encontrar la densidad de probabilidad del estado fundamental del oscilador armónico. Esta integral también se utiliza en la formulación de integral de trayectoria, para encontrar el propagador del oscilador armónico, y en mecánica estadística , para encontrar su función de partición .
La comparación de estos dos cálculos produce la integral, aunque se debe tener cuidado con las integrales impropias involucradas.
donde el factor de r es el determinante jacobiano que aparece debido a la transformación a coordenadas polares ( r dr dθ es la medida estándar en el plano, expresada en coordenadas polares Wikilibros: Cálculo/Integración polar#Generalización), y la sustitución implica tomar s = − r 2 , entonces ds = −2 r dr .
Combinando estos rendimientos
de manera
prueba completa
Para justificar las integrales dobles impropias e igualar las dos expresiones, comenzamos con una función aproximada:
Entonces podemos calcular
simplemente tomando el límite
Tomando el cuadrado de los rendimientos
Usando el teorema de Fubini , la doble integral anterior puede verse como una integral de área
tomada sobre un cuadrado con vértices {(− a , a ), ( a , a ), ( a , − a ), (− a , − a )} en el plano xy .
Dado que la función exponencial es mayor que 0 para todos los números reales, se deduce que la integral tomada sobre el círculo circunstante del cuadrado debe ser menor que , y de manera similar, la integral tomada sobre el círculo circunstante del cuadrado debe ser mayor que . Las integrales sobre los dos discos se pueden calcular fácilmente cambiando de coordenadas cartesianas a coordenadas polares :
Una técnica diferente, que se remonta a Laplace (1812), [3] es la siguiente. Dejar
Dado que los límites de s cuando y → ±∞ dependen del signo de x , se simplifica el cálculo al utilizar el hecho de que e − x 2 es una función par y, por lo tanto, la integral sobre todos los números reales es solo el doble de la integral de cero a infinito. Eso es,
Por lo tanto, en el rango de integración, x ≥ 0 y las variables y y s tienen los mismos límites. Esto produce:
Luego, usando el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración :
Por lo tanto , como se esperaba.
PorEl método de Laplace
En la aproximación de Laplace, tratamos sólo con términos de hasta segundo orden en la expansión de Taylor, por lo que consideramos .
De hecho, dado que para todos , tenemos los límites exactos: entonces podemos hacer el límite en el límite de aproximación de Laplace:
Eso es,
Por sustitución trigonométrica, calculamos exactamente esos dos límites: y
Al tomar la raíz cuadrada de la fórmula de Wallis , tenemos el límite inferior deseado. De manera similar, podemos obtener el límite superior deseado. Por el contrario, si primero calculamos la integral con uno de los otros métodos anteriores, obtendríamos una prueba de la fórmula de Wallis.
Así, después del cambio de variable , esto se convierte en la integral de Euler
¿Dónde está la función gamma ? Esto muestra por qué el factorial de un semientero es un múltiplo racional de . De manera más general,
que se puede obtener sustituyendo el integrando de la función gamma para obtener .
Este formulario es útil para calcular las expectativas de algunas distribuciones de probabilidad continua relacionadas con la distribución normal, como la distribución log-normal , por ejemplo.
forma compleja
y, de manera más general, para cualquier matriz simétrica definida positiva .
norte-generalización dimensional y funcional
Supongamos que A es una matriz de precisión n × n simétrica definida positiva (por lo tanto, invertible) , que es la matriz inversa de la matriz de covarianza . Entonces,
Además,
donde σ es una permutación de {1,…, 2 N } y el factor adicional en el lado derecho es la suma de todos los pares combinatorios de {1,…, 2 N } de N copias de A −1 .
Alternativamente, [4]
para alguna función analítica f , siempre que satisfaga algunos límites apropiados en su crecimiento y algunos otros criterios técnicos. (Funciona para algunas funciones y falla para otras. Los polinomios están bien). El operador exponencial sobre un diferencial se entiende como una serie de potencias .
Si bien las integrales funcionales no tienen una definición rigurosa (o incluso una computacional no rigurosa en la mayoría de los casos), podemos definir una integral funcional gaussiana en analogía con el caso de dimensión finita. [ cita necesaria ] Sin embargo, todavía existe el problema de que es infinito y, además, el determinante funcional también sería infinito en general. Esto se puede solucionar si solo consideramos las proporciones:
En la notación de DeWitt , la ecuación parece idéntica al caso de dimensión finita.
norte-dimensional con término lineal
Si A es nuevamente una matriz simétrica definida positiva, entonces (asumiendo que todos son vectores columna)
También se podría integrar por partes y encontrar una relación de recurrencia para resolver esto.
Polinomios de orden superior
La aplicación de un cambio lineal de base muestra que la integral de la exponencial de un polinomio homogéneo en n variables puede depender sólo de SL( n ) -invariantes del polinomio. Uno de esos invariantes es el discriminante , cuyos ceros marcan las singularidades de la integral. Sin embargo, la integral también puede depender de otras invariantes. [5]
Los exponenciales de otros polinomios pares se pueden resolver numéricamente usando series. Estos pueden interpretarse como cálculos formales cuando no hay convergencia. Por ejemplo, la solución a la integral del exponencial de un polinomio cuártico es [ cita necesaria ]
El requisito de n + p = 0 mod 2 se debe a que la integral de −∞ a 0 aporta un factor de (−1) n + p /2 a cada término, mientras que la integral de 0 a +∞ aporta un factor de 1/2 a cada término. Estas integrales aparecen en temas como la teoría cuántica de campos .
^ Stahl, Saul (abril de 2006). «La Evolución de la Distribución Normal» (PDF) . MAA.org . Consultado el 25 de mayo de 2018 .
^ Cereza, GW (1985). "Integración en términos finitos con funciones especiales: la función de error". Revista de Computación Simbólica . 1 (3): 283–302. doi : 10.1016/S0747-7171(85)80037-7 .
^ ab Lee, Peter M. "La integral de probabilidad" (PDF) .
^ "Referencia para la integral gaussiana multidimensional". Intercambio de pila . 30 de marzo de 2012.
^ Morózov, A.; Shakirov, Sh. (2009). "Introducción a los discriminantes integrales". Revista de Física de Altas Energías . 2009 (12): 002. arXiv : 0903.2595 . Código Bib : 2009JHEP...12..002M. doi :10.1088/1126-6708/2009/12/002.