Integral de Henstock-Kurzweil

Generalización de la integral de Riemann

En matemáticas , la integral de Henstock-Kurzweil o integral de Riemann generalizada o integral de calibre —también conocida como integral de Denjoy (estrecha) ( pronunciada [dɑ̃ʒwa] ), integral de Luzin o integral de Perron , pero que no debe confundirse con la integral de Denjoy amplia más general— es una de varias definiciones no equivalentes de la integral de una función . Es una generalización de la integral de Riemann y, en algunas situaciones, es más general que la integral de Lebesgue . En particular, una función es integrable según el método de Lebesgue en un subconjunto de si y solo si la función y su valor absoluto son integrables según el método de Henstock-Kurzweil. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Esta integral fue definida por primera vez por Arnaud Denjoy (1912). Denjoy estaba interesado en una definición que permitiera integrar funciones como:

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).}$$

Esta función tiene una singularidad en 0 y no es integrable según el método de Lebesgue. Sin embargo, parece natural calcular su integral excepto en el intervalo y luego sea . ${\displaystyle [-\varepsilon ,\delta ]}$ ${\displaystyle \varepsilon ,\delta \rightarrow 0}$

En un intento de crear una teoría general, Denjoy utilizó la inducción transfinita sobre los posibles tipos de singularidades, lo que complicó bastante la definición. Otras definiciones fueron dadas por Nikolai Luzin (utilizando variaciones sobre las nociones de continuidad absoluta ) y por Oskar Perron , que estaba interesado en las funciones mayores y menores continuas . Llevó un tiempo entender que las integrales de Perron y Denjoy son en realidad idénticas.

Más tarde, en 1957, el matemático checo Jaroslav Kurzweil descubrió una nueva definición de esta integral, elegantemente similar en naturaleza a la definición original de Riemann , que Kurzweil llamó la integral de calibre . En 1961, Ralph Henstock introdujo de forma independiente una integral similar que extendió la teoría, citando sus investigaciones de las extensiones de Ward a la integral de Perron. ^[1] Debido a estas dos importantes contribuciones, ahora se conoce comúnmente como la integral de Henstock-Kurzweil . La simplicidad de la definición de Kurzweil hizo que algunos educadores defendieran que esta integral debería reemplazar a la integral de Riemann en los cursos introductorios de cálculo . ^[2]

Definición

Siguiendo a Bartle (2001), dada una partición etiquetada de , es decir, junto con la etiqueta de cada subintervalo definida como un punto, definimos la suma de Riemann para una función como donde Esta es la suma de la longitud de cada subintervalo ( ) multiplicada por la función evaluada en la etiqueta de ese subintervalo ( ) . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b}$$ $${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta u_{i}.}$$ ${\displaystyle \Delta u_{i}:=u_{i}-u_{i-1}.}$ ${\displaystyle \Delta u_{i}}$ ${\displaystyle f(t_{i})}$

Dada una función positiva que llamamos calibre , decimos que una partición etiquetada P es -buena si $${\displaystyle \delta \colon [a,b]\to (0,\infty ),}$$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle (\forall i\in \{1,\dots ,n\})\ (\ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]).}$$

Ahora definimos un número I como la integral de Henstock-Kurzweil de f si para cada ε > 0 existe un calibre tal que siempre que P es -fino, tenemos ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \left\vert I-\sum _{P}f\right\vert <\varepsilon .}$$

Si existe tal I , decimos que f es integrable mediante Henstock-Kurzweil en . ${\displaystyle [a,b]}$

El teorema de Cousin establece que para cada calibre , existe una partición fina P , por lo que esta condición no se puede satisfacer en vacío . La integral de Riemann puede considerarse como el caso especial en el que solo permitimos calibres constantes . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Propiedades

Sea cualquier función. ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$

Dado , es Henstock–Kurzweil integrable en si y solo si es Henstock–Kurzweil integrable tanto en como ; en cuyo caso (Bartle 2001, 3.7), ${\displaystyle a<c<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,c]}$ ${\displaystyle [c,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$$

Las integrales de Henstock-Kurzweil son lineales : dadas funciones integrables y y números reales y , la expresión es integrable (Bartle 2001, 3.1); por ejemplo, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Si f es integrable según Riemann o Lebesgue, entonces también es integrable según Henstock-Kurzweil, y el cálculo de esa integral da el mismo resultado con las tres formulaciones. El importante teorema de Hake (Bartle 2001, 12.8) establece que $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$$

siempre que exista cualquiera de los lados de la ecuación, y de la misma manera simétricamente para el límite de integración inferior. Esto significa que si es " integrable de manera impropia según Henstock-Kurzweil", entonces es integrable de manera apropiada según Henstock-Kurzweil; en particular, integrales impropias de Riemann o Lebesgue de tipos como ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx}$$

también son integrales propias de Henstock-Kurzweil. Estudiar una "integral impropia de Henstock-Kurzweil" con límites finitos no tendría sentido. Sin embargo, sí tiene sentido considerar integrales impropias de Henstock-Kurzweil con límites infinitos como $${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Para muchos tipos de funciones, la integral de Henstock-Kurzweil no es más general que la integral de Lebesgue. Por ejemplo, si f está acotada con soporte compacto , las siguientes son equivalentes:

• f es integrable mediante Henstock-Kurzweil,
• f es integrable en Lebesgue,
• f es medible según Lebesgue .

En general, toda función integrable de Henstock-Kurzweil es medible y es integrable según Lebesgue si y solo si tanto y son integrables según Henstock-Kurzweil. Esto significa que la integral de Henstock-Kurzweil puede considerarse como una " versión no absolutamente convergente de la integral de Lebesgue". También implica que la integral de Henstock-Kurzweil satisface versiones apropiadas del teorema de convergencia monótona (sin requerir que las funciones sean no negativas) y el teorema de convergencia dominada (donde la condición de dominancia se relaja a g ( x ) ≤ f _n ( x ) ≤ h ( x ) para algún g , h integrable ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$

Si es diferenciable en todas partes (o con un número contable de excepciones), la derivada es integrable de Henstock-Kurzweil, y su integral indefinida de Henstock-Kurzweil es . (Obsérvese que no necesita ser integrable de Lebesgue). En otras palabras, obtenemos una versión más simple y satisfactoria del segundo teorema fundamental del cálculo : cada función diferenciable es, hasta una constante, la integral de su derivada: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$ $${\displaystyle F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.}$$

Por el contrario , el teorema de diferenciación de Lebesgue sigue siendo válido para la integral de Henstock-Kurzweil: si es Henstock-Kurzweil integrable en , y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt,}$$

entonces casi en todas partes en (en particular, es diferenciable en casi todas partes). ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$

El espacio de todas las funciones integrables mediante Henstock-Kurzweil a menudo está dotado de la norma de Alexiewicz , con respecto a la cual está en forma de barril pero es incompleto .

Utilidad

La integral de calibre tiene una utilidad mayor en comparación con la integral de Riemann, ya que se puede calcular la integral de calibre de cualquier función que tenga un valor constante c, excepto posiblemente en un número contable de puntos . Consideremos, por ejemplo, la función por partes que es igual a uno menos la función de Dirichlet en el intervalo. ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C=\{c_{i}:i\in \mathbb {N} \}}$ $${\displaystyle f(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and rational,}}\\1,&{\text{if }}t\in [0,1]{\text{ and irrational}}\end{cases}}}$$

Esta función es imposible de integrar utilizando una integral de Riemann porque es imposible hacer intervalos lo suficientemente pequeños para encapsular los valores cambiantes de f ( x ) con la naturaleza de mapeo de las particiones etiquetadas finas. ${\displaystyle [u_{i-1},u_{i}]}$ ${\displaystyle \delta }$

El valor del tipo de integral descrito anteriormente es igual a , donde c es el valor constante de la función, y a, b son los puntos finales de la función. Para demostrar esto, sea dado y sea una partición etiquetada con etiquetas e intervalos de con etiquetas y sea la función por partes descrita anteriormente. Considere que donde representa la longitud del intervalo . Nótese que esta equivalencia se establece porque la suma de las diferencias consecutivas en longitud de todos los intervalos es igual a la longitud del intervalo (o ). ${\displaystyle c(b-a)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle D=\{(z_{j},J_{j}):1\leq j\leq n\}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle f(t)}$ $${\displaystyle \left|\sum f(z_{j})l(J_{j})-1(1-0)\right|=\left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|}$$ ${\displaystyle l(J_{j})}$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle (1-0)}$

Por la definición de la integral de calibre, queremos demostrar que la ecuación anterior es menor que cualquier valor dado . Esto produce dos casos: ${\displaystyle \varepsilon }$

Caso 1: ${\displaystyle z_{j}\notin C}$ (Todas las etiquetas de son irracionales ): ${\displaystyle D}$

Si ninguna de las etiquetas de la partición etiquetada es racional , entonces siempre será 1 según la definición de , es decir . Si este término es cero, entonces para cualquier longitud de intervalo, la siguiente desigualdad será verdadera: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(z_{j})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(z_{j})-1=0}$ $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \varepsilon ,}$$

Entonces, para este caso, 1 es la integral de . ${\displaystyle f(t)}$

Caso 2: ${\displaystyle z_{k}=c_{k}}$ (Alguna etiqueta de es racional): ${\displaystyle D}$

Si una etiqueta de es racional, entonces la función evaluada en ese punto será 0, lo cual es un problema. Como sabemos que es -fina, la desigualdad se cumple porque la longitud de cualquier intervalo es más corta que su cobertura por la definición de ser -fina. Si podemos construir un indicador a partir del lado derecho de la desigualdad, entonces podemos demostrar que se cumplen los criterios para que exista una integral. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq \left|\sum [f(z_{j})-1]l(\delta (c_{k}))\right|}$$ ${\displaystyle J_{j}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Para ello, dejemos y ajustemos nuestros calibres de cobertura , lo que hace ${\displaystyle \gamma _{k}=\varepsilon /[f(c_{k})-c]2^{k+2}}$ ${\displaystyle \delta (c_{k})=(c_{k}-\gamma _{k},c_{k}+\gamma _{k})}$ $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-c]l(J_{j})\right|<\varepsilon /2^{k+1}.}$$

De esto tenemos que $${\displaystyle \left|\sum [f(z_{j})-1]l(J_{j})\right|\leq 2\sum \varepsilon /2^{k+1}=\varepsilon }$$

Porque como serie geométrica . Esto indica que para este caso, 1 es la integral de . $${\displaystyle 2\sum 1/2^{k+1}=1}$$ ${\displaystyle f(t)}$

Dado que los casos 1 y 2 son exhaustivos, esto demuestra que la integral de es 1 y se cumplen todas las propiedades de la sección anterior. ${\displaystyle f(t)}$

Integral de McShane

La integral de Lebesgue en una línea también se puede presentar de manera similar.

Si tomamos la definición de la integral de Henstock-Kurzweil de arriba y eliminamos la condición

$${\displaystyle t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}],}$$

Entonces obtenemos una definición de la integral de McShane , que es equivalente a la integral de Lebesgue. Nótese que la condición

$${\displaystyle \forall i\ \ [u_{i-1},u_{i}]\subset [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})]}$$

Todavía se aplica, y técnicamente también requerimos que se defina. ${\textstyle t_{i}\in [a,b]}$ ${\textstyle f(t_{i})}$

Véase también

• Integral de Pfeffer
• Valor principal de Cauchy
• Integral de partes finitas de Hadamard

Referencias

Notas al pie

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias generalizadas en espacios abstractos y aplicaciones. Everaldo M. Bonotto, Marcia Federson, Jacqueline G. Mesquita. Hoboken, NJ. 2021. pp. 1–3. ISBN 978-1-119-65502-2.OCLC 1269499134  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link)
2. "Carta abierta a los autores de libros de cálculo" . Consultado el 27 de febrero de 2014 .

General

• Bartle, Robert G. (2001). Una teoría moderna de la integración . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 32. American Mathematical Society. ISBN. 978-0-8218-0845-0.
• Una teoría de integración moderna en el siglo XXI
• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (1999). Introducción al análisis real (3.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4.
• Čelidze, VG; Džvaršeǐšvili, AG (1989). La teoría de la integral de Denjoy y algunas aplicaciones . Serie en análisis real. Vol. 3. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-0021-3.
• Das, AG (2008). Las integrales de Riemann, Lebesgue y Riemann generalizada . Editores Narosa. ISBN 978-81-7319-933-2.
• Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Henstock, Ralph (1988). Lecciones sobre la teoría de la integración . Serie sobre análisis real. Vol. 1. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9971-5-0450-2.
• Kurzweil, Jaroslav (2000). Integración de Henstock-Kurzweil: su relación con los espacios vectoriales topológicos . Serie de análisis real. Vol. 7. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4207-7.
• Kurzweil, Jaroslav (2002). Integración entre la integral de Lebesgue y la integral de Henstock-Kurzweil: su relación con los espacios vectoriales localmente convexos . Series in Real Analysis. Vol. 8. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-238-046-3.
• Líder, Solomon (2001). La integral de Kurzweil–Henstock y sus diferenciales . Serie Matemáticas puras y aplicadas. CRC. ISBN 978-0-8247-0535-0.
• Lee, Peng-Yee (1989). Conferencias de Lanzhou sobre integración de Henstock . Serie de análisis real. Vol. 2. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9971-5-0891-3.
• Lee, Peng-Yee; Výborný, Rudolf (2000). Integral: un enfoque sencillo según Kurzweil y Henstock . Serie de conferencias de la Sociedad Matemática Australiana. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77968-5.
• McLeod, Robert M. (1980). La integral generalizada de Riemann . Carus Mathematical Monographs. Vol. 20. Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 978-0-88385-021-3.
• Swartz, Charles W. (2001). Introducción a las integrales de calibre . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4239-8.
• Swartz, Charles W.; Kurtz, Douglas S. (2004). Teorías de la integración: las integrales de Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil y McShane . Serie de análisis real. Vol. 9. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-256-611-9.

Enlaces externos

Los siguientes son recursos adicionales en la web para obtener más información:

• "Integral de Kurzweil-Henstock", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Introducción a la integral de calibre
• Una sugerencia abierta: reemplazar la integral de Riemann con la integral de calibre en los libros de texto de cálculo firmados por Bartle, Henstock, Kurzweil, Schechter, Schwabik y Výborný