Límite de una función

Punto al que convergen las funciones en el análisis

Aunque la función ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ no está definida en cero, a medida que x se acerca cada vez más a cero, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ se vuelve arbitrariamente cercana a 1. En otras palabras, el límite de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}},}$ cuando x se acerca a cero, es igual a 1.

En matemáticas , el límite de una función es un concepto fundamental en cálculo y análisis relacionado con el comportamiento de esa función cerca de una entrada particular que puede o no estar en el dominio de la función.

A continuación se ofrecen definiciones formales, ideadas por primera vez a principios del siglo XIX. De manera informal, una función f asigna una salida f ( x ) a cada entrada x . Decimos que la función tiene un límite L en una entrada p , si f ( x ) se acerca cada vez más a L a medida que x se acerca cada vez más a p . Más específicamente, el valor de salida puede hacerse arbitrariamente cercano a L si la entrada de f se toma suficientemente cerca de p . Por otro lado, si algunas entradas muy cercanas a p se toman como salidas que se mantienen a una distancia fija entre sí, entonces decimos que el límite no existe .

El concepto de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno . En particular, las numerosas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: a grandes rasgos, una función es continua si todos sus límites coinciden con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de derivada : en el cálculo de una variable, este es el valor límite de la pendiente de las rectas secantes respecto del gráfico de una función.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del cálculo de los siglos XVII y XVIII, la idea moderna del límite de una función se remonta a Bolzano , quien, en 1817, introdujo los fundamentos de la técnica épsilon-delta (véase la definición de límite (ε, δ) más abajo) para definir funciones continuas. Sin embargo, su trabajo no fue conocido durante su vida. ^[1]

En su libro de 1821 Cours d'analyse , Augustin-Louis Cauchy analizó cantidades variables, infinitesimales y límites, y definió la continuidad de diciendo que un cambio infinitesimal en x necesariamente produce un cambio infinitesimal en y , mientras que Grabiner afirma que utilizó una definición épsilon-delta rigurosa en las demostraciones. ^[2] En 1861, Weierstrass introdujo por primera vez la definición épsilon-delta de límite en la forma en que se escribe habitualmente hoy. ^[3] También introdujo las notaciones y ^[4] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle \lim }$ ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$

La notación moderna de colocar la flecha debajo del símbolo de límite se debe a Hardy , que se introduce en su libro Un curso de matemáticas puras en 1908. ^[5]

Motivación

Imaginemos a una persona que camina sobre un paisaje representado por el gráfico y = f ( x ) . Su posición horizontal está dada por x , de forma muy similar a la posición dada por un mapa del terreno o por un sistema de posicionamiento global . Su altitud está dada por la coordenada y . Supongamos que camina hacia una posición x = p , a medida que se acerca cada vez más a este punto, notará que su altitud se acerca a un valor específico L . Si se le preguntara sobre la altitud correspondiente a x = p , respondería diciendo y = L .

¿Qué significa entonces decir que su altitud se está acercando a L ? Significa que su altitud se acerca cada vez más a L , salvo por un posible pequeño error de precisión. Por ejemplo, supongamos que fijamos un objetivo de precisión particular para nuestro viajero: debe llegar a diez metros de L. Nos informa que, de hecho, puede llegar a diez metros verticales de L , argumentando que mientras esté a cincuenta metros horizontales de p , su altitud siempre estará a diez metros de L.

El objetivo de precisión cambia entonces: ¿pueden llegar a un metro vertical? Sí, suponiendo que pueden moverse a cinco metros horizontales de p , su altitud siempre se mantendrá a un metro de la altitud objetivo L . Resumiendo el concepto mencionado anteriormente, podemos decir que la altitud del viajero se acerca a L a medida que su posición horizontal se acerca a p , de modo que para decir que para cada objetivo de precisión objetivo, por pequeño que sea, hay algún vecindario de p donde todas (no solo algunas) altitudes corresponden a todas las posiciones horizontales, excepto quizás la posición horizontal p en sí, en ese vecindario cumplen ese objetivo de precisión.

La declaración informal inicial puede explicarse ahora:

El límite de una función f ( x ) cuando x tiende a p es un número L con la siguiente propiedad: dada cualquier distancia objetivo desde L , hay una distancia desde p dentro de la cual los valores de f ( x ) permanecen dentro de la distancia objetivo.

De hecho, esta afirmación explícita se acerca bastante a la definición formal del límite de una función, con valores en un espacio topológico .

Más específicamente, decir que

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

es decir que f ( x ) se puede hacer tan cercana a L como se desee, haciendo que x sea lo suficientemente cercana, pero no igual, a  p .

Las siguientes definiciones, conocidas como ( ε , δ ) -definiciones, son las definiciones generalmente aceptadas para el límite de una función en varios contextos.

Funciones de una sola variable

( ε , δ )-definición de límite

Para las f , a y b representadas , podemos asegurar que el valor f ( x ) esté dentro de un intervalo arbitrariamente pequeño ( b – ε, b + ε) restringiendo x a un intervalo suficientemente pequeño ( a – δ, a + δ). Por lo tanto, f ( x ) → b cuando x → a .

Supongamos que hay una función definida en la recta real y hay dos números reales p y L. Se diría que el límite de f , cuando x tiende a p , es L y se escribe ^[6] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

o alternativamente, digamos que f ( x ) tiende a L cuando x tiende a p , y se escribe:

$${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$

si se cumple la siguiente propiedad: para cada real ε > 0 , existe un real δ > 0 tal que para todo real x , 0 < | x − p | < δ implica | f ( x ) − L | < ε . ^[6] Simbólicamente, $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, podemos decir que debido a que para cada real ε > 0 , podemos tomar δ = ε /4 , de modo que para todo real x , si 0 < | x − 2 | < δ , entonces | 4 x + 1 − 9 | < ε . $${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$

Una definición más general se aplica a las funciones definidas en subconjuntos de la recta real. Sea S un subconjunto de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Sea una función de valor real . Sea p un punto tal que existe algún intervalo abierto ( a , b ) que contiene a p con Se dice entonces que el límite de f cuando x tiende a p es L , si: ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$

Para cada real ε > 0 , existe un real δ > 0 tal que para todo x ∈ ( a , b ) , 0 < | x − p | < δ implica que | f ( x ) − L | < ε .

O, simbólicamente: $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, podemos decir que debido a que para cada real ε > 0 , podemos tomar δ = ε , de modo que para todo real x ≥ −3 , si 0 < | x − 1 | < δ , entonces | f ( x ) − 2 | < ε . En este ejemplo, S = [−3, ∞) contiene intervalos abiertos alrededor del punto 1 (por ejemplo, el intervalo (0, 2)). $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$

Aquí, nótese que el valor del límite no depende de que f esté definida en p , ni del valor f ( p ) —si está definido. Por ejemplo, sea porque para cada ε > 0 , podemos tomar δ = ε /2 , de modo que para todo real x ≠ 1 , si 0 < | x − 1 | < δ , entonces | f ( x ) − 3 | < ε . Nótese que aquí f (1) no está definida. ${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$

De hecho, puede existir un límite en el que sea igual a donde int S es el interior de S , e iso S ^c son los puntos aislados del complemento de S . En nuestro ejemplo anterior donde Vemos, específicamente, que esta definición de límite permite que exista un límite en 1, pero no en 0 o 2. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$ ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$ ${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$

Las letras ε y δ pueden entenderse como "error" y "distancia". De hecho, Cauchy utilizó ε como abreviatura de "error" en algunos de sus trabajos, ^[2] aunque en su definición de continuidad, utilizó un infinitesimal en lugar de ε o δ (véase Curso de análisis ). En estos términos, el error ( ε ) en la medición del valor en el límite puede hacerse tan pequeño como se desee, reduciendo la distancia ( δ ) al punto límite. Como se analiza a continuación, esta definición también funciona para funciones en un contexto más general. La idea de que δ y ε representan distancias ayuda a sugerir estas generalizaciones. ${\displaystyle \alpha }$

Existencia y límites unilaterales

El límite cuando difiere de aquel cuando Por lo tanto, el límite cuando x → x ₀ no existe. ${\displaystyle x\to x_{0}^{+}}$ ${\displaystyle x\to x_{0}^{-}.}$

Alternativamente, x puede aproximarse a p desde arriba (derecha) o desde abajo (izquierda), en cuyo caso los límites pueden escribirse como

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

o

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

Las primeras tres funciones tienen puntos para los cuales el límite no existe, mientras que la función no está definida en , pero su límite sí existe. $${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

respectivamente. Si estos límites existen en p y son iguales allí, entonces esto puede denominarse límite de f ( x ) en p . ^[7] Si los límites unilaterales existen en p , pero son desiguales, entonces no hay límite en p (es decir, el límite en p no existe). Si ninguno de los límites unilaterales existe en p , entonces el límite en p tampoco existe.

Una definición formal es la siguiente: el límite de f cuando x tiende a p desde arriba es L si:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < x − p < δ , tenemos | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

El límite de f cuando x tiende a p desde abajo es L si:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < p − x < δ , tenemos | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Si el límite no existe, entonces la oscilación de f en p es distinta de cero.

Definición más general utilizando puntos límite y subconjuntos

Los límites también pueden definirse aproximándose desde subconjuntos del dominio.

En general: ^[8] Sea una función de valor real definida en algún Sea p un punto límite de algún —es decir, p es el límite de alguna secuencia de elementos de T distinta de p . Entonces decimos que el límite de f , cuando x tiende a p a partir de valores en T , es L , escrito si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\subset S}$ $${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ T , 0 < | x − p | < δ implica que | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Nótese que T puede ser cualquier subconjunto de S , el dominio de f . Y el límite puede depender de la selección de T . Esta generalización incluye como casos especiales los límites de un intervalo, así como los límites zurdos de funciones de valores reales (p. ej., tomando T como un intervalo abierto de la forma (–∞, a ) ), y los límites diestros (p. ej., tomando T como un intervalo abierto de la forma ( a , ∞) ). También extiende la noción de límites unilaterales a los puntos finales incluidos de intervalos (semi)cerrados, de modo que la función raíz cuadrada puede tener límite 0 cuando x se acerca a 0 desde arriba: ya que para cada ε > 0 , podemos tomar δ = ε tal que para todo x ≥ 0 , si 0 < | x − 0 | < δ , entonces | f ( x ) − 0 | < ε . ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$

Esta definición permite definir un límite en puntos límite del dominio S , si se elige un subconjunto adecuado T que tenga el mismo punto límite.

En particular, la definición bilateral anterior funciona en el que es un subconjunto de los puntos límite de S. ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$

Por ejemplo, supongamos que la definición bilateral anterior funcionaría en pero no funcionaría en 0 o 2, que son puntos límite de S. ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$ ${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$

Límites eliminados y no eliminados

La definición de límite dada aquí no depende de cómo (o si) f se define en p . Bartle ^[9] se refiere a esto como un límite eliminado , porque excluye el valor de f en p . El límite no eliminado correspondiente depende del valor de f en p , si p está en el dominio de f . Sea una función de valor real. El límite no eliminado de f , cuando x se acerca a p , es L si ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ S , | x − p | < δ implica | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

La definición es la misma, excepto que el entorno | x − p | < δ ahora incluye el punto p , en contraste con el entorno eliminado 0 < | x − p | < δ . Esto hace que la definición de un límite no eliminado sea menos general. Una de las ventajas de trabajar con límites no eliminados es que permiten enunciar el teorema sobre límites de composiciones sin ninguna restricción sobre las funciones (excepto la existencia de sus límites no eliminados). ^[10]

Bartle ^[9] señala que, si bien por "límite" algunos autores se refieren a este límite no eliminado, los límites eliminados son los más populares. ^[11]

Ejemplos

Inexistencia de límite(s) unilateral(es)

Función sin límite en una discontinuidad esencial

La función no tiene límite en x ₀ = 1 (el límite izquierdo no existe debido a la naturaleza oscilatoria de la función seno, y el límite derecho no existe debido al comportamiento asintótico de la función recíproca, ver imagen), pero tiene un límite en cada otra coordenada x . $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

La función (también conocida como función de Dirichlet ) no tiene límite en ninguna coordenada x . $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

No igualdad de límites unilaterales

La función tiene un límite en cada coordenada x distinta de cero (el límite es igual a 1 para x negativa y a 2 para x positiva ). El límite en x = 0 no existe (el límite de la izquierda es igual a 1, mientras que el de la derecha es igual a 2). $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}$$

Límites en un solo punto

Las funciones y ambas tienen un límite en x = 0 y es igual a 0. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

Límites en un número contable de puntos

La función tiene un límite en cualquier coordenada x de la forma donde n es cualquier entero. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,}$

Límites que involucran el infinito

Límites en el infinito

El límite de esta función en el infinito existe

Sea una función definida en El límite de f cuando x tiende al infinito es L , denotado ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

significa que:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que siempre que + x > c , tenemos | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

De manera similar, el límite de f cuando x tiende a menos infinito es L , denotado

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

significa que:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que siempre que x < − c , tenemos | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Por ejemplo, debido a que para cada ε > 0 , podemos tomar c = 3/ ε tal que para todo x real , si x > c , entonces | f ( x ) − 4 | < ε . $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$

Otro ejemplo es que debido a que para cada ε > 0 , podemos tomar c = max{1, −ln( ε )} tal que para todo x real , si x < − c , entonces | f ( x ) − 0 | < ε . $${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$

Límites infinitos

Para una función cuyos valores crecen sin límite, la función diverge y el límite habitual no existe. Sin embargo, en este caso se pueden introducir límites con valores infinitos.

Sea una función definida en El enunciado el límite de f cuando x tiende a p es infinito , denotado ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

significa que:

Para cada N > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < | x − p | < δ , tenemos f ( x ) > N .

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

La afirmación de que el límite de f cuando x tiende a p es menos infinito , denotado

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

significa que:

Para cada N > 0 , existe un δ > 0 tal que siempre que 0 < | x − p | < δ , tenemos f ( x ) < − N .

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

Por ejemplo, debido a que para cada N > 0 , podemos tomar tal que para todo real x > 0 , si 0 < x − 1 < δ , entonces f ( x ) > N . $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$ ${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$

Estas ideas se pueden utilizar juntas para producir definiciones para diferentes combinaciones, como

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$o ${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

Por ejemplo, debido a que para cada N > 0 , podemos tomar δ = e ^{− N} tal que para todo real x > 0 , si 0 < x − 0 < δ , entonces f ( x ) < − N . $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$

Los límites que implican infinito están relacionados con el concepto de asíntotas .

Estas nociones de límite intentan proporcionar una interpretación espacial métrica a los límites en el infinito. De hecho, son coherentes con la definición de límite en el espacio topológico si

• Se define que un vecindario de −∞ contiene un intervalo [−∞, c ) para algún ⁠ ⁠ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• un vecindario de ∞ se define para contener un intervalo ( c , ∞] donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$ y
• un vecindario de ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ se define de la manera normal del espacio métrico ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

En este caso, ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ es un espacio topológico y cualquier función de la forma con está sujeta a la definición topológica de un límite. Nótese que con esta definición topológica, es fácil definir límites infinitos en puntos finitos, que no han sido definidos anteriormente en el sentido métrico. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$

Notación alternativa

Muchos autores ^[12] permiten que la línea real extendida proyectivamente se use como una forma de incluir valores infinitos así como la línea real extendida . Con esta notación, la línea real extendida se da como ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ y la línea real extendida proyectivamente es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ donde un entorno de ∞ es un conjunto de la forma La ventaja es que solo se necesitan tres definiciones de límites (izquierdo, derecho y central) para cubrir todos los casos. Como se presentó anteriormente, para una explicación completamente rigurosa, necesitaríamos considerar 15 casos separados para cada combinación de infinitos (cinco direcciones: −∞, izquierda, central, derecha y +∞; tres límites: −∞, finito o +∞). También hay dificultades notables. Por ejemplo, cuando se trabaja con la línea real extendida, no posee un límite central (que es normal): ${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ ${\displaystyle x^{-1}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

Por el contrario, cuando se trabaja con la línea real proyectiva, los infinitos (como el 0) no tienen signo, por lo que el límite central sí existe en ese contexto:

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

De hecho, se utilizan una gran cantidad de sistemas formales conflictivos. En ciertas aplicaciones de la diferenciación e integración numérica , por ejemplo, es conveniente tener ceros con signo . Una razón sencilla tiene que ver con el inverso de , es decir, es conveniente que se considere verdadero. Dichos ceros pueden considerarse una aproximación a los infinitesimales . ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$

Límites en el infinito para funciones racionales

Asíntota horizontal respecto a y = 4

Hay tres reglas básicas para evaluar límites en el infinito para una función racional (donde p y q son polinomios): ${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$

• Si el grado de p es mayor que el grado de q , entonces el límite es infinito positivo o negativo dependiendo de los signos de los coeficientes principales;
• Si los grados de p y q son iguales, el límite es el coeficiente principal de p dividido por el coeficiente principal de q ;
• Si el grado de p es menor que el grado de q , el límite es 0.

Si existe el límite en el infinito, representa una asíntota horizontal en y = L. Los polinomios no tienen asíntotas horizontales; sin embargo, dichas asíntotas pueden ocurrir con funciones racionales.

Funciones de más de una variable

Límites ordinarios

Al observar que | x − p | representa una distancia , la definición de un límite se puede extender a funciones de más de una variable. En el caso de una función definida en definimos el límite de la siguiente manera: el límite de f cuando ( x , y ) tiende a ( p , q ) es L , escrito ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

Si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que tengamos | f ( x , y ) − L | < ε , ^[13] ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$

o formalmente: $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

Aquí está la distancia euclidiana entre ( x , y ) y ( p , q ) . (De hecho, esto puede reemplazarse por cualquier norma | | ( x , y ) − ( p , q ) | | , y extenderse a cualquier número de variables). ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

Por ejemplo, podemos decir que para cada ε > 0 , podemos tomar tal que para todo real x ≠ 0 y real y ≠ 0 , si entonces | f ( x , y ) − 0 | < ε . $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$ ${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$ ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$

De manera similar al caso de una sola variable, el valor de f en ( p , q ) no importa en esta definición de límite.

Para que exista un límite multivariable de este tipo, esta definición requiere que el valor de f se acerque a L a lo largo de cada camino posible que se acerque a ( p , q ) . ^[14] En el ejemplo anterior, la función satisface esta condición. Esto se puede ver considerando las coordenadas polares que dan Aquí θ = θ ( r ) es una función de r que controla la forma del camino a lo largo del cual f se aproxima a ( p , q ) . Dado que cos θ está acotado entre [−1, 1], por el teorema del sándwich , este límite tiende a 0. $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$ $${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$

Por el contrario, la función no tiene límite en (0, 0) . Tomando el camino ( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0) , obtenemos mientras que tomando el camino ( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0) , obtenemos $${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

Como los dos valores no concuerdan, f no tiende a un único valor cuando ( x , y ) se acerca a (0, 0) .

Límites múltiples

Aunque se utiliza con menos frecuencia, existe otro tipo de límite para una función multivariable, conocido como límite múltiple . Para una función de dos variables, este es el límite doble . ^[15] Sea definido en decimos que el límite doble de f cuando x tiende a p e y tiende a q es L , escrito ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

Si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que 0 < | x − p | < δ y 0 < | y − q | < δ , tenemos | f ( x , y ) − L | < ε . ^[15]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Para que exista un límite doble de este tipo, esta definición requiere que el valor de f se acerque a L a lo largo de cada camino posible que se acerque a ( p , q ) , excluyendo las dos líneas x = p e y = q . Como resultado, el límite múltiple es una noción más débil que el límite ordinario: si el límite ordinario existe y es igual a L , entonces el límite múltiple existe y también es igual a L . Lo inverso no es cierto: la existencia de los límites múltiples no implica la existencia del límite ordinario. Consideremos el ejemplo donde pero no existe. $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$ $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$

Si el dominio de f está restringido a entonces las dos definiciones de límites coinciden. ^[15] ${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$

Límites múltiples en el infinito

El concepto de límite múltiple puede extenderse al límite en el infinito, de manera similar al de una función de una sola variable. Porque decimos que el límite doble de f cuando x e y tienden al infinito es L , escrito ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

Si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que x > c e y > c , tenemos | f ( x , y ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Decimos que el límite doble de f cuando x e y tienden a menos infinito es L , escrito $${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

Si se cumple la siguiente condición:

Para cada ε > 0 , existe un c > 0 tal que x en S e y en T , siempre que x < − c e y < − c , tenemos | f ( x , y ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Límites puntuales y límites uniformes

Sea En lugar de tomar el límite cuando ( x , y ) → ( p , q ) , podemos considerar tomar el límite de una sola variable, digamos, x → p , para obtener una función de una sola variable de y , es decir De hecho, este proceso de limitación se puede realizar de dos maneras distintas. La primera se llama límite puntual . Decimos que el límite puntual de f cuando x tiende a p es g , denotado o ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

Alternativamente, podemos decir que f tiende a g puntualmente a medida que x se acerca a p , denotado o $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$ $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Este límite existe si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 y cada y fijo en T , existe un δ ( ε , y ) > 0 tal que para todo x en S , siempre que 0 < | x − p | < δ , tenemos | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε . ^[16]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Aquí, δ = δ ( ε , y ) es una función tanto de ε como de y . Cada δ se elige para un punto específico de y . Por lo tanto, decimos que el límite es puntual en y . Por ejemplo, tiene un límite puntual de función cero constante porque para cada y fija , el límite es claramente 0. Este argumento falla si y no es fija: si y está muy cerca de π /2 , el valor de la fracción puede desviarse de 0. $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$

Esto nos lleva a otra definición de límite, a saber, el límite uniforme . Decimos que el límite uniforme de f en T cuando x tiende a p es g , denotado como $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

Alternativamente, podemos decir que f tiende a g uniformemente en T a medida que x se acerca a p , denotado o $${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$ $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Este límite existe si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 , existe un δ ( ε ) > 0 tal que para todo x en S e y en T , siempre que 0 < | x − p | < δ , tenemos | f ( x , y ) − g ( y ) | < ε . ^[16]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Aquí, δ = δ ( ε ) es una función solo de ε pero no de y . En otras palabras, δ es uniformemente aplicable a todas las y en T . Por lo tanto, decimos que el límite es uniforme en y . Por ejemplo, tiene un límite uniforme de función cero constante porque para todas las y reales , cos y está acotado entre [−1, 1] . Por lo tanto, no importa cómo se comporte y , podemos usar el teorema del sándwich para mostrar que el límite es 0. $${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$

Límites iterados

Podemos considerar tomar el límite de una sola variable, digamos, x → p , para obtener una función de una sola variable de y , es decir y luego tomar el límite en la otra variable, es decir y → q , para obtener un número L . Simbólicamente, ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

Este límite se conoce como límite iterado de la función multivariable. ^[17] El orden de tomar los límites puede afectar el resultado, es decir,

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$en general.

Una condición suficiente de igualdad la da el teorema de Moore-Osgood , que requiere que el límite sea uniforme en T. ^[18] ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$

Funciones en espacios métricos

Supóngase que M y N son subconjuntos de los espacios métricos A y B , respectivamente, y f  : M → N está definida entre M y N , con x ∈ M , p un punto límite de M y L ∈ N . Se dice que el límite de f cuando x tiende a p es L y se escribe

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$$

si se cumple la siguiente propiedad:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todos los puntos x ∈ M , 0 < d _A ( x , p ) < δ implica d _B ( f ( x ), L ) < ε . ^[19]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).}$$

Nuevamente, tenga en cuenta que p no necesita estar en el dominio de f , ni L necesita estar en el rango de f , e incluso si f ( p ) está definido, no necesita ser igual a L .

Métrica euclidiana

El límite en el espacio euclidiano es una generalización directa de los límites a funciones vectoriales . Por ejemplo, podemos considerar una función tal que Entonces, bajo la métrica euclidiana habitual , si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$ $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S e y en T , implica ^[20] ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$ ${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

En este ejemplo, la función en cuestión es una función vectorial de dimensión finita. En este caso, el teorema del límite para funciones vectoriales establece que si existe el límite de cada componente, entonces el límite de una función vectorial es igual al vector con cada componente tomado como límite: ^[20] $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

Métrica de Manhattan

También se podrían considerar otros espacios además del espacio euclidiano. Un ejemplo sería el espacio de Manhattan. Consideremos que: Entonces, bajo la métrica de Manhattan , si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S , 0 < | x − p | < δ implica | f ₁ − L ₁ | + | f ₂ − L ₂ | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

Dado que también se trata de una función vectorial de dimensión finita, también se aplica el teorema del límite enunciado anteriormente. ^[21]

Métrica uniforme

Finalmente, discutiremos el límite en el espacio de funciones , que tiene infinitas dimensiones. Consideremos una función f ( x , y ) en el espacio de funciones Queremos averiguar, cuando x se acerca a p , cómo f ( x , y ) tenderá a otra función g ( y ) , que está en el espacio de funciones La "cercanía" en este espacio de funciones puede medirse bajo la métrica uniforme . ^[22] Entonces, diremos que el límite uniforme de f en T cuando x se acerca a p es g y escribiremos o ${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

Si se cumple lo siguiente:

Para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que para todo x en S , 0 < | x − p | < δ implica ${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

De hecho, se puede ver que esta definición es equivalente a la del límite uniforme de una función multivariable introducida en la sección anterior.

Funciones en espacios topológicos

Supóngase que X e Y son espacios topológicos con Y un espacio de Hausdorff . Sea p un punto límite de Ω ⊆ X y L ∈ Y. Para una función f  : Ω → Y , se dice que el límite de f cuando x tiende a p es L , escrito

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

si se cumple la siguiente propiedad:

Para cada entorno abierto V de L , existe un entorno abierto U de p tal que f ( U ∩ Ω − { p }) ⊆ V .

Esta última parte de la definición también puede expresarse como "existe un vecindario abierto perforado U de p tal que f ( U ∩ Ω) ⊆ V ".

El dominio de f no necesita contener a p . Si lo hace, entonces el valor de f en p es irrelevante para la definición del límite. En particular, si el dominio de f es X − { p } (o todo X ), entonces el límite de f cuando x → p existe y es igual a L si, para todos los subconjuntos Ω de X con punto límite p , el límite de la restricción de f a Ω existe y es igual a L . A veces, este criterio se utiliza para establecer la inexistencia del límite bilateral de una función en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al mostrar que los límites unilaterales no existen o no concuerdan. Tal punto de vista es fundamental en el campo de la topología general , donde los límites y la continuidad en un punto se definen en términos de familias especiales de subconjuntos, llamadas filtros , o secuencias generalizadas conocidas como redes .

Alternativamente, el requisito de que Y sea un espacio de Hausdorff puede flexibilizarse hasta el supuesto de que Y sea un espacio topológico general, pero entonces el límite de una función puede no ser único. En particular, ya no se puede hablar del límite de una función en un punto, sino más bien de un límite o del conjunto de límites en un punto.

Una función es continua en un punto límite p de y en su dominio si y sólo si f ( p ) es el (o, en el caso general, un ) límite de f ( x ) cuando x tiende a p .

Existe otro tipo de límite de una función, a saber, el límite secuencial . Sea f  : X → Y una aplicación de un espacio topológico X en un espacio de Hausdorff Y , p ∈ X un punto límite de X y L ∈ Y . El límite secuencial de f cuando x tiende a p es L si

Para cada secuencia ( x _n ) en X − { p } que converge a p , la secuencia f ( x _n ) converge a L .

Si L es el límite (en el sentido anterior) de f cuando x tiende a p , entonces también es un límite secuencial, aunque no es necesario que se cumpla la inversa en general. Si además X es metrizable , entonces L es el límite secuencial de f cuando x tiende a p si y solo si es el límite (en el sentido anterior) de f cuando x tiende a p .

Otras caracterizaciones

En términos de secuencias

Para funciones en la recta real, una forma de definir el límite de una función es en términos del límite de sucesiones. (Esta definición se atribuye generalmente a Eduard Heine .) En este contexto: si, y solo si, para todas las sucesiones x _n (con x _n no igual a a para todo n ) que convergen a a la sucesión f ( x _n ) converge a L . Sierpiński demostró en 1916 que probar la equivalencia de esta definición y la definición anterior, requiere y es equivalente a una forma débil del axioma de elección . Nótese que definir lo que significa que una sucesión x _n converja a a requiere el método épsilon, delta . $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

De manera similar a la definición de Weierstrass, una definición más general de Heine se aplica a funciones definidas en subconjuntos de la recta real. Sea f una función de valor real con el dominio Dm ( f ) . Sea a el límite de una secuencia de elementos de Dm ( f ) \ { a }. Entonces el límite (en este sentido) de f es L cuando x tiende a p si para cada secuencia x _n ∈ Dm ( f ) \ { a } (de modo que para todo n , x _n no es igual a a ) que converge a a , la secuencia f ( x _n ) converge a L . Esto es lo mismo que la definición de un límite secuencial en la sección precedente obtenida al considerar el subconjunto Dm ( f ) de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ como un espacio métrico con la métrica inducida.

En cálculo no estándar

En el cálculo no estándar, el límite de una función se define por: si y solo si para todo es infinitesimal siempre que x − a sea infinitesimal. Aquí están los números hiperreales y f* es la extensión natural de f a los números reales no estándar. Keisler demostró que tal definición hiperreal de límite reduce la complejidad del cuantificador en dos cuantificadores. ^[23] Por otro lado, Hrbacek escribe que para que las definiciones sean válidas para todos los números hiperreales deben estar fundamentadas implícitamente en el método ε-δ, y afirma que, desde el punto de vista pedagógico, la esperanza de que el cálculo no estándar pueda realizarse sin métodos ε-δ no puede realizarse en su totalidad. ^[24] Bŀaszczyk et al. detallan la utilidad de la microcontinuidad para desarrollar una definición transparente de continuidad uniforme, y caracterizan la crítica de Hrbacek como un "lamento dudoso". ^[25] $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$ ${\displaystyle f^{*}(x)-L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$

En términos de cercanía

En el congreso internacional de matemáticas de 1908, F. Riesz introdujo una forma alternativa de definir límites y continuidad en el concepto llamado "proximidad". ^[26] Un punto x se define como cercano a un conjunto si para cada r > 0 hay un punto a ∈ A tal que | x − a | < r . En este contexto, el si y solo si para todo L está cerca de f ( A ) siempre que a esté cerca de A . Aquí f ( A ) es el conjunto Esta definición también se puede extender a espacios métricos y topológicos. ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{f(x)|x\in A\}.}$

Relación con la continuidad

La noción de límite de una función está muy relacionada con el concepto de continuidad. Se dice que una función f es continua en c si está definida en c y su valor en c es igual al límite de f cuando x tiende a c :

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$Hemos asumido aquí que c es un punto límite del dominio de f .

Propiedades

Si una función f tiene un valor real, entonces el límite de f en p es L si y solo si tanto el límite derecho como el límite izquierdo de f en p existen y son iguales a L. ^[27]

La función f es continua en p si y solo si el límite de f ( x ) cuando x tiende a p existe y es igual a f ( p ) . Si f  : M → N es una función entre los espacios métricos M y N , entonces es equivalente que f transforme toda sucesión en M que converge hacia p en una sucesión en N que converge hacia f ( p ) .

Si N es un espacio vectorial normado , entonces la operación límite es lineal en el siguiente sentido: si el límite de f ( x ) cuando x tiende a p es L y el límite de g ( x ) cuando x tiende a p es P , entonces el límite de f ( x ) + g( x ) cuando x tiende a p es L + P . Si a es un escalar del cuerpo base , entonces el límite de af ( x ) cuando x tiende a p es aL .

Si f y g son funciones de valor real (o de valor complejo), entonces tomar el límite de una operación en f ( x ) y g ( x ) (por ejemplo, f + g , f − g , f × g , f / g , f ^g ) bajo ciertas condiciones es compatible con la operación de límites de f ( x ) y g ( x ) . Este hecho a menudo se llama teorema del límite algebraico . La condición principal necesaria para aplicar las siguientes reglas es que existan los límites en los lados derechos de las ecuaciones (en otras palabras, estos límites son valores finitos incluyendo 0). Además, la identidad para la división requiere que el denominador en el lado derecho sea distinto de cero (la división por 0 no está definida), y la identidad para la exponenciación requiere que la base sea positiva, o cero mientras que el exponente es positivo (finito).

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}}$$

Estas reglas también son válidas para límites unilaterales, incluso cuando p es ∞ o −∞. En cada regla anterior, cuando uno de los límites de la derecha es ∞ o −∞, el límite de la izquierda a veces puede determinarse mediante las siguientes reglas.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}$$

(ver también Línea de números reales extendida ).

En otros casos, el límite por la izquierda puede seguir existiendo, aunque el lado derecho, llamado forma indeterminada , no permite determinar el resultado. Esto depende de las funciones f y g . Estas formas indeterminadas son:

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}$$

Véase también la regla de L'Hôpital a continuación y la forma indeterminada .

Límites de composiciones de funciones

En general, de saber que y no se sigue que Sin embargo, esta "regla de la cadena" se cumple si se cumple una de las siguientes condiciones adicionales : ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c.}$

• f ( b ) = c (es decir, f es continua en b ), o
• g no toma el valor b cerca de a (es decir, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x − a | < δ entonces | g ( x ) − b | > 0 ).

Como ejemplo de este fenómeno, considere la siguiente función que viola ambas restricciones adicionales:

$${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

Dado que el valor en f (0) es una discontinuidad removible , para todo a . Por lo tanto, la regla de la cadena ingenua sugeriría que el límite de f ( f ( x )) es 0. Sin embargo, es el caso de que y por lo tanto para todo a . $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$$ $${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$$

Límites del interés especial

Funciones racionales

Para n un entero no negativo y constantes y ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$$

Esto se puede demostrar dividiendo tanto el numerador como el denominador por x ⁿ . Si el numerador es un polinomio de grado superior, el límite no existe. Si el denominador es de grado superior, el límite es 0.

Funciones trigonométricas

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}}$$

Funciones exponenciales

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}}$$

Funciones logarítmicas

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}$$

La regla del Hospital

Esta regla utiliza derivadas para hallar límites de formas indeterminadas 0/0 o ±∞/∞ , y sólo se aplica a tales casos. Otras formas indeterminadas pueden manipularse para obtener esta forma. Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ) , definidas sobre un intervalo abierto I que contiene el punto límite deseado c , entonces si:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ o y ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle f}$y son diferenciables sobre y ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I\setminus \{c\},}$
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$Para todos y ${\displaystyle x\in I\setminus \{c\},}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}}$ existe,

entonces: $${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$$

Normalmente la primera condición es la más importante.

Por ejemplo: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

Sumas e integrales

Especificar un límite infinito en una suma o integral es una forma abreviada común de especificar un límite.

Una forma corta de escribir el límite es Un ejemplo importante de límites de sumas como estos son las series . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$ ${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i).}$

Una forma corta de escribir el límite es ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.}$

Una forma corta de escribir el límite es ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.}$

Véase también

• Notación O grande  : describe el comportamiento límite de una función
• Regla de L'Hôpital  – Regla matemática para evaluar ciertos límites
• Lista de límites
• Límite de una sucesión  – Valor al que tiende una sucesión infinita
• Punto límite  – Punto de agrupación en un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Límite superior y límite inferior  – Límites de una secuenciaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Red (matemáticas)  : una generalización de una secuencia de puntos
• Cálculo no estándar  : aplicación moderna de los infinitesimalesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de compresión  : método para hallar límites en cálculo
• Límite subsiguiente  : El límite de alguna subsecuencia

Notas

1. Felscher, Walter (2000), "Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta", American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi :10.2307/2695743, JSTOR  2695743
2. Grabiner, Judith V. (1983), "¿Quién te dio la épsilon? Cauchy y los orígenes del cálculo riguroso", American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, doi :10.2307/2975545, JSTOR  2975545, recopilado en Who Gave You the Epsilon?, ISBN 978-0-88385-569-0, págs. 5-13. También disponible en: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf 
3. Sinkevich, GI (2017), "Historia epsylontyki", Antiquitates Mathematicae , 10 , Universidad de Cornell, arXiv : 1502.06942 , doi : 10.14708/am.v10i0.805
4. Burton, David M. (1997), La historia de las matemáticas: una introducción (tercera edición), Nueva York: McGraw–Hill, págs. 558–559, ISBN 978-0-07-009465-9
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6. Swokowski, Earl W. (1979), Cálculo con geometría analítica (2.ª ed.), Taylor & Francis, pág. 58, ISBN 978-0-87150-268-1
7. Swokowski (1979), págs. 72-73.
8. (Bartle y Sherbert 2000)
9. Bartle (1967)
10. Hubbard (2015)
11. Por ejemplo, Apostol (1974), Courant (1924), Hardy (1921), Rudin (1964), Whittaker y Watson (1904) entienden que "límite" significa el límite eliminado.
12. Por ejemplo, Límite en Enciclopedia de Matemáticas
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Referencias

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Enlaces externos

• MacTutor Historia de Weierstrass.
• Historia de Bolzano con MacTutor
• Cálculo visual de Lawrence S. Husch, Universidad de Tennessee (2001)