Marco de referencia inercial

Concepto fundamental de la mecánica clásica.

En física clásica y relatividad especial , un sistema de referencia inercial (también llamado espacio inercial o sistema de referencia galileano ) es un sistema de referencia que no sufre ninguna aceleración . Es un marco en el que se percibe que un objeto físico aislado (un objeto sobre el que actúa una fuerza neta nula ) se mueve con una velocidad constante o, de manera equivalente, es un marco de referencia en el que se cumple la primera ley del movimiento de Newton . ^[1] Todos los marcos inerciales están en un estado de movimiento rectilíneo constante (movimiento en línea recta) entre sí; es decir, un acelerómetro en movimiento con cualquiera de ellos detectaría aceleración cero.

Las mediciones de objetos en movimiento (pero no sujetos a fuerzas) en un sistema inercial se pueden convertir en mediciones en otro mediante una simple transformación: la transformación galileana en la física newtoniana o utilizando la transformación de Lorentz (combinada con una traslación) en la relatividad especial ^{[ 2]} cuando la velocidad relativa de los fotogramas es superior a aproximadamente el 10% de la velocidad de la luz .

En un marco de referencia no inercial , visto desde la perspectiva de la física clásica y la relatividad especial, las interacciones entre los constituyentes fundamentales del universo observable (la física de un sistema ) varían dependiendo de la aceleración de ese marco con respecto a un marco inercial. Visto desde esta perspectiva y debido al fenómeno de la inercia, las fuerzas físicas "habituales" entre dos cuerpos deben complementarse con fuerzas de inercia aparentemente sin origen . ^{[3] [4]} Visto desde la perspectiva de la teoría de la relatividad general, las fuerzas de inercia que aparecen (las causas externas suplementarias) se atribuyen al movimiento geodésico en el espacio-tiempo .

En la mecánica clásica, por ejemplo, una pelota que se deja caer hacia el suelo no se mueve exactamente hacia abajo porque la Tierra está girando. Esto significa que el marco de referencia de un observador en la Tierra no es inercial. En consecuencia, se debe tener en cuenta el efecto Coriolis , una fuerza aparente , para predecir el pequeño movimiento horizontal respectivo. Otro ejemplo de fuerza aparente que aparece en sistemas de referencia giratorios se refiere al efecto centrífugo , la fuerza centrífuga.

Introducción

El movimiento de un cuerpo sólo puede describirse en relación con otra cosa: otros cuerpos, observadores o un conjunto de coordenadas espacio-temporales. Estos se llaman marcos de referencia . Según el primer postulado de la relatividad especial , todas las leyes físicas toman su forma más simple en un sistema inercial, y existen múltiples sistemas inerciales interrelacionados mediante traslación uniforme :^[5]

Principio especial de la relatividad: si se elige un sistema de coordenadas K de modo que, en relación con él, las leyes físicas se cumplan en su forma más simple, las mismas leyes se aplicarán en relación con cualquier otro sistema de coordenadas K' que se mueva en traslación uniforme relativamente. a k.

—  Albert Einstein: El fundamento de la teoría general de la relatividad , Sección A, §1

Esta simplicidad se manifiesta en que los marcos inerciales tienen una física autónoma sin necesidad de causas externas, mientras que la física en marcos no inerciales tiene causas externas. ^[6] El principio de simplicidad se puede utilizar dentro de la física newtoniana así como en la relatividad especial: ^{[7] [8]}

Las leyes de la mecánica newtoniana no siempre se cumplen en su forma más simple... Si, por ejemplo, se coloca a un observador sobre un disco que gira con respecto a la Tierra, sentirá una "fuerza" que lo empuja hacia la periferia. del disco, que no es causado por ninguna interacción con otros cuerpos. En este caso, la aceleración no es consecuencia de la fuerza habitual, sino de la llamada fuerza de inercia. Las leyes de Newton se cumplen en su forma más simple sólo en una familia de sistemas de referencia, llamados sistemas inerciales. Este hecho representa la esencia del principio de relatividad de Galileo:
   las leyes de la mecánica tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales.

—  Milutin Blagojević: Gravitación y simetrías de calibre , pag. 4

Sin embargo, se entiende que esta definición de marcos inerciales se aplica en el ámbito newtoniano e ignora los efectos relativistas.

En términos prácticos, la equivalencia de los sistemas de referencia inerciales significa que los científicos dentro de una caja que se mueve con una velocidad absoluta constante no pueden determinar esta velocidad mediante ningún experimento. De lo contrario, las diferencias establecerían un marco de referencia estándar absoluto. ^{[9] [10]} Según esta definición, complementada con la constancia de la velocidad de la luz, los sistemas de referencia inerciales se transforman entre sí según el grupo de transformaciones de simetría de Poincaré, del cual las transformaciones de Lorentz son un subgrupo. ^[11] En la mecánica newtoniana, los marcos de referencia inerciales están relacionados por el grupo de simetrías de Galileo.

El marco de referencia inercial de Newton

espacio absoluto

Newton postuló un espacio absoluto considerado bien aproximado por un sistema de referencia estacionario con respecto a las estrellas fijas . Un sistema inercial era entonces uno en traslación uniforme con respecto al espacio absoluto. Sin embargo, algunos "relativistas", ^[12] incluso en la época de Newton, sintieron que el espacio absoluto era un defecto de la formulación y debía ser reemplazado.

La expresión marco de referencia inercial ( en alemán : Inertialsystem ) fue acuñada por Ludwig Lange en 1885, para sustituir las definiciones de Newton de "espacio y tiempo absolutos" por una definición más operativa . ^{[13] [14]} Traducido por Harald Iro, Lange propuso la siguiente definición: ^[15]

Un sistema de referencia en el que un punto de masa lanzado desde el mismo punto en tres direcciones diferentes (no coplanares) sigue trayectorias rectilíneas cada vez que se lanza, se denomina sistema inercial.

Blagojević explica la insuficiencia de la noción de "espacio absoluto" en la mecánica newtoniana: ^[16]

• La existencia del espacio absoluto contradice la lógica interna de la mecánica clásica ya que, según el principio de relatividad de Galileo, no se puede distinguir ninguno de los sistemas inerciales.
• El espacio absoluto no explica las fuerzas de inercia ya que están relacionadas con la aceleración con respecto a cualquiera de los sistemas inerciales.
• El espacio absoluto actúa sobre los objetos físicos induciendo su resistencia a la aceleración, pero no se puede actuar sobre él.

—  Milutin Blagojević: Gravitación y simetrías de calibre , pag. 5

La utilidad de las definiciones operativas llegó mucho más lejos en la teoría especial de la relatividad. ^[17] DiSalle proporciona algunos antecedentes históricos, incluida la definición de Lange, quien dice en resumen: ^[18]

La pregunta original, "¿en relación con qué marco de referencia se mantienen las leyes del movimiento?" se revela que está planteado incorrectamente. Porque las leyes del movimiento determinan esencialmente una clase de sistemas de referencia y (en principio) un procedimiento para construirlos.

—  Robert DiSalle Espacio y tiempo: marcos inerciales

Mecánica newtoniana

Las teorías clásicas que utilizan la transformación galileana postulan la equivalencia de todos los sistemas de referencia inerciales. Algunas teorías pueden incluso postular la existencia de un marco privilegiado que proporciona espacio y tiempo absolutos . La transformación galileana transforma coordenadas de un sistema de referencia inercial, a otro, mediante simple suma o resta de coordenadas: ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} ^{\prime }}$

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}-\mathbf {v} t}$

${\displaystyle t^{\prime }=t-t_{0}}$

donde r ₀ y t ₀ representan cambios en el origen del espacio y el tiempo, y v es la velocidad relativa de los dos sistemas de referencia inerciales. Bajo transformaciones galileanas, el tiempo t ₂ − t ₁ entre dos eventos es el mismo para todos los sistemas de referencia y la distancia entre dos eventos simultáneos (o, equivalentemente, la longitud de cualquier objeto, | r ₂ − r ₁ |) también es la mismo.

Figura 1: Dos marcos de referencia que se mueven con velocidad relativa . El marco S' tiene una rotación arbitraria pero fija con respecto al marco S. Ambos son sistemas inerciales siempre que un cuerpo no sujeto a fuerzas parezca moverse en línea recta. Si ese movimiento se ve en un cuadro, también aparecerá así en el otro. ${\displaystyle {\stackrel {\vec {v}}{}}}$

Dentro del ámbito de la mecánica newtoniana, un sistema de referencia inercial , o sistema de referencia inercial, es aquel en el que la primera ley del movimiento de Newton es válida. ^[19] Sin embargo, el principio de relatividad especial generaliza la noción de sistema inercial para incluir todas las leyes físicas, no simplemente la primera ley de Newton.

Newton consideró que la primera ley era válida en cualquier sistema de referencia que estuviera en movimiento uniforme con respecto a las estrellas fijas; ^[20] es decir, ni gira ni acelera en relación con las estrellas. ^[21] Hoy en día se abandona la noción de " espacio absoluto ", y un sistema inercial en el campo de la mecánica clásica se define como: ^{[22] [23]}

Un sistema de referencia inercial es aquel en el que el movimiento de una partícula no sujeta a fuerzas es rectilíneo y con velocidad constante.

Por lo tanto, con respecto a un sistema inercial, un objeto o cuerpo acelera sólo cuando se aplica una fuerza física, y (siguiendo la primera ley del movimiento de Newton ), en ausencia de una fuerza neta, un cuerpo en reposo permanecerá en reposo y un Un cuerpo en movimiento continuará moviéndose uniformemente, es decir, en línea recta y con rapidez constante . Los marcos inerciales newtonianos se transforman entre sí según el grupo de simetrías galileano .

Si se interpreta que esta regla dice que el movimiento en línea recta es una indicación de fuerza neta cero, la regla no identifica sistemas de referencia inerciales porque el movimiento en línea recta se puede observar en una variedad de sistemas. Si se interpreta que la regla define un marco inercial, entonces es crucial poder determinar cuándo se aplica una fuerza neta cero. El problema fue resumido por Einstein: ^[24]

La debilidad del principio de inercia reside en que implica un argumento en círculo: una masa se mueve sin aceleración si está suficientemente lejos de otros cuerpos; Sabemos que está suficientemente lejos de otros cuerpos sólo por el hecho de que se mueve sin aceleración.

—  Albert Einstein: El significado de la relatividad , pag. 58

Hay varios enfoques para este tema. Un enfoque es argumentar que todas las fuerzas reales disminuyen con la distancia desde sus fuentes de una manera conocida, por lo que sólo se necesita que un cuerpo esté lo suficientemente lejos de todas las fuentes para garantizar que no haya ninguna fuerza presente. ^[25] Un posible problema con este enfoque es la visión históricamente longeva de que el universo distante podría afectar las cosas ( principio de Mach ). Otro enfoque es identificar todas las fuentes reales de fuerzas reales y dar cuenta de ellas. Un posible problema con este enfoque es que la posibilidad de pasar por alto algo, o dar cuenta inapropiada de su influencia, quizás, nuevamente, se deba al principio de Mach y a una comprensión incompleta del universo. Un tercer enfoque consiste en observar la forma en que las fuerzas se transforman cuando se desplazan los marcos de referencia. Las fuerzas ficticias, aquellas que surgen debido a la aceleración de un marco, desaparecen en marcos inerciales y tienen reglas de transformación complicadas en los casos generales. Sobre la base de la universalidad de las leyes físicas y la necesidad de marcos en los que las leyes se expresen de la manera más simple, los marcos inerciales se distinguen por la ausencia de tales fuerzas ficticias.

El propio Newton enunció un principio de relatividad en uno de sus corolarios a las leyes del movimiento: ^{[26] [27]}

Los movimientos de los cuerpos incluidos en un espacio dado son los mismos entre sí, ya sea que ese espacio esté en reposo o se mueva uniformemente hacia adelante en línea recta.

—  Isaac Newton: Principia , Corolario V, p. 88 en la traducción de Andrew Motte

Este principio difiere del principio especial en dos aspectos: en primer lugar, se limita a la mecánica y, en segundo lugar, no menciona la simplicidad. Comparte con el principio especial la invariancia de la forma de la descripción entre sistemas de referencia que se traducen mutuamente. ^[28] El papel de las fuerzas ficticias en la clasificación de los marcos de referencia se analiza más adelante.

Observaciones

Es importante señalar algunas suposiciones hechas anteriormente sobre los diversos marcos de referencia inerciales. Newton, por ejemplo, empleó el tiempo universal, como se explica en el siguiente ejemplo. Supongamos que posee dos relojes y que ambos marcan exactamente al mismo ritmo. Los sincronizas para que ambos muestren exactamente la misma hora. Los dos relojes ahora están separados y un reloj está en un tren que se mueve rápidamente, viajando a velocidad constante hacia el otro. Según Newton, estos dos relojes seguirán marcando al mismo ritmo y ambos mostrarán la misma hora. Newton dice que el ritmo del tiempo medido en un marco de referencia debería ser el mismo que el ritmo del tiempo en otro. Es decir, existe un tiempo "universal" y todos los demás tiempos en todos los demás marcos de referencia correrán al mismo ritmo que este tiempo universal, independientemente de su posición y velocidad. Este concepto de tiempo y simultaneidad fue posteriormente generalizado por Einstein en su teoría especial de la relatividad (1905), donde desarrolló transformaciones entre sistemas de referencia inerciales basadas en la naturaleza universal de las leyes físicas y su economía de expresión ( transformaciones de Lorentz ).

Los marcos de referencia son especialmente importantes en la relatividad especial , porque cuando un marco de referencia se mueve a una fracción significativa de la velocidad de la luz, entonces el flujo de tiempo en ese marco será diferente de otro marco que se mueve a una velocidad menor. En la relatividad especial, la velocidad afecta a casi todo, incluso a las dimensiones físicas; pero sólo medido por un observador externo. Se considera que la velocidad de la luz es la única constante verdadera entre sistemas de referencia en movimiento.

La definición de sistema de referencia inercial también puede extenderse más allá del espacio euclidiano tridimensional. Newton asumió un espacio euclidiano, pero la relatividad general utiliza una geometría más general. Como ejemplo de por qué esto es importante, considere la geometría de un elipsoide. En esta geometría, una partícula "libre" se define como aquella que está en reposo o que viaja a velocidad constante en una trayectoria geodésica . Dos partículas libres pueden comenzar en el mismo punto de la superficie y viajar con la misma velocidad constante en diferentes direcciones. Después de un tiempo, las dos partículas chocan en el lado opuesto del elipsoide. Ambas partículas "libres" viajaron con una velocidad constante, satisfaciendo la definición de que no actuaban fuerzas. No se produjo ninguna aceleración, por lo que la primera ley de Newton se cumplió. Esto significa que las partículas estaban en sistemas de referencia inerciales. Como no actuaba ninguna fuerza, fue la geometría de la situación la que provocó que las dos partículas volvieran a encontrarse. De manera similar, ahora es común describir ^[29] la existencia de una geometría de cuatro dimensiones conocida como espaciotiempo . En esta imagen, la curvatura de este espacio 4D es responsable de la forma en que dos cuerpos con masa se juntan incluso si no actúan fuerzas. Esta curvatura del espacio-tiempo reemplaza la fuerza conocida como gravedad en la mecánica newtoniana y la relatividad especial.

Relatividad especial

La teoría de la relatividad especial de Einstein , al igual que la mecánica newtoniana, postula la equivalencia de todos los sistemas de referencia inerciales. Sin embargo, debido a que la relatividad especial postula que la velocidad de la luz en el espacio libre es invariante , la transformación entre marcos inerciales es la transformación de Lorentz , no la transformación de Galileo que se utiliza en la mecánica newtoniana. La invariancia de la velocidad de la luz conduce a fenómenos contrarios a la intuición, como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud , y la relatividad de la simultaneidad , que han sido ampliamente verificados experimentalmente. ^[30] La transformación de Lorentz se reduce a la transformación de Galileo cuando la velocidad de la luz se acerca al infinito o cuando la velocidad relativa entre fotogramas se acerca a cero. ^[31]

Marcos no inerciales

Aquí se considera la relación entre los marcos de referencia observacionales inerciales y no inerciales. La diferencia básica entre estos marcos es la necesidad de fuerzas ficticias en los marcos no inerciales, como se describe a continuación.

Relatividad general

La relatividad general se basa en el principio de equivalencia: ^{[32] [33]}

No hay ningún experimento que los observadores puedan realizar para distinguir si surge una aceleración debido a una fuerza gravitacional o porque su sistema de referencia se está acelerando.

—  Douglas C. Giancoli, Física para científicos e ingenieros con física moderna , p. 155.

Esta idea fue introducida en el artículo de Einstein de 1907 "Principio de relatividad y gravitación" y posteriormente desarrollada en 1911. ^[34] El apoyo a este principio se encuentra en el experimento de Eötvös , que determina si la relación entre la masa inercial y la gravitacional es la misma para todos cuerpos, independientemente de su tamaño o composición. Hasta la fecha no se han encontrado diferencias en algunas partes de 10 ¹¹ . ^[35] Para una discusión sobre las sutilezas del experimento de Eötvös, como la distribución de masa local alrededor del sitio experimental (incluida una broma sobre la masa del propio Eötvös), consulte Franklin. ^[36]

La teoría general de Einstein modifica la distinción entre efectos nominalmente "inerciales" y "no inerciales" reemplazando el espacio "plano" de Minkowski de la relatividad especial con una métrica que produce una curvatura distinta de cero. En la relatividad general, el principio de inercia se reemplaza por el principio del movimiento geodésico , según el cual los objetos se mueven de una manera dictada por la curvatura del espacio-tiempo. Como consecuencia de esta curvatura, en la relatividad general no es un hecho que los objetos inerciales que se mueven a una velocidad particular entre sí continuarán haciéndolo. Este fenómeno de desviación geodésica significa que los marcos de referencia inerciales no existen globalmente como ocurre en la mecánica newtoniana y la relatividad especial.

Sin embargo, la teoría general se reduce a la teoría especial sobre regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, donde los efectos de curvatura se vuelven menos importantes y los argumentos anteriores del marco inercial pueden volver a entrar en juego. ^{[37] [38]} En consecuencia, la relatividad especial moderna ahora se describe a veces sólo como una "teoría local". ^[39] "Local" puede abarcar, por ejemplo, toda la Vía Láctea: el astrónomo Karl Schwarzschild observó el movimiento de pares de estrellas que orbitan entre sí. Descubrió que las dos órbitas de las estrellas de tal sistema se encuentran en un plano, y el perihelio de las órbitas de las dos estrellas permanece apuntando en la misma dirección con respecto al Sistema Solar . Schwarzschild señaló que esto se observa invariablemente: la dirección del momento angular de todos los sistemas estelares dobles observados permanece fija con respecto a la dirección del momento angular del Sistema Solar. Estas observaciones le permitieron concluir que los marcos inerciales dentro de la galaxia no giran entre sí y que el espacio de la Vía Láctea es aproximadamente galileano o minkowskiano. ^[40]

Marcos inerciales y rotación.

En un sistema inercial, se cumple la primera ley de Newton , la ley de inercia : cualquier movimiento libre tiene una magnitud y dirección constantes. ^[41] La segunda ley de Newton para una partícula toma la forma:

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \ ,}$

siendo F la fuerza neta (un vector ), m la masa de una partícula y a la aceleración de la partícula (también un vector) que sería medida por un observador en reposo en el marco. La fuerza F es la suma vectorial de todas las fuerzas "reales" sobre la partícula, como las fuerzas de contacto , las fuerzas electromagnéticas, gravitacionales y nucleares.

Por el contrario, la segunda ley de Newton en un sistema de referencia giratorio (un sistema de referencia no inercial ), que gira a una velocidad angular Ω alrededor de un eje, toma la forma:

${\displaystyle \mathbf {F} '=m\mathbf {a} \ ,}$

que se ve igual que en un sistema inercial, pero ahora la fuerza F ′ es la resultante no solo de F , sino también de términos adicionales (el párrafo que sigue a esta ecuación presenta los puntos principales sin matemáticas detalladas):

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -2m\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} _{B}-m\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} _{B})-m{\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ ,}$

donde la rotación angular del marco se expresa mediante el vector Ω que apunta en la dirección del eje de rotación, y con magnitud igual a la velocidad angular de rotación Ω , el símbolo × denota el producto vectorial vectorial , el vector x _B ubica el cuerpo y El vector v _B es la velocidad del cuerpo según un observador en rotación (diferente de la velocidad vista por el observador inercial).

Los términos adicionales en la fuerza F ′ son las fuerzas "ficticias" para este marco, cuyas causas son externas al sistema en el marco. El primer término extra es la fuerza de Coriolis , el segundo la fuerza centrífuga y el tercero la fuerza de Euler . Todos estos términos tienen estas propiedades: desaparecen cuando Ω = 0; es decir, son cero para un sistema inercial (que, por supuesto, no gira); adquieren una magnitud y dirección diferente en cada sistema giratorio, dependiendo de su valor particular de Ω ; son omnipresentes en el marco giratorio (afectan a todas las partículas, independientemente de las circunstancias); y no tienen ninguna fuente aparente en fuentes físicas identificables, en particular, la materia . Además, las fuerzas ficticias no disminuyen con la distancia (a diferencia, por ejemplo, de las fuerzas nucleares o eléctricas ). Por ejemplo, la fuerza centrífuga que parece emanar del eje de rotación en un marco giratorio aumenta con la distancia al eje.

Todos los observadores coinciden en las fuerzas reales, F ; sólo los observadores no inerciales necesitan fuerzas ficticias. Las leyes de la física en el sistema inercial son más simples porque no existen fuerzas innecesarias.

En la época de Newton se invocaba a las estrellas fijas como marco de referencia, supuestamente en reposo con respecto al espacio absoluto . En sistemas de referencia que estaban en reposo con respecto a las estrellas fijas o en traslación uniforme con respecto a estas estrellas, se suponía que se cumplían las leyes del movimiento de Newton . Por el contrario, en cuadros que se aceleran con respecto a las estrellas fijas, un caso importante son los cuadros que giran con respecto a las estrellas fijas, las leyes del movimiento no se cumplen en su forma más simple, sino que tuvieron que complementarse con la adición de fuerzas ficticias , por ejemplo. Por ejemplo, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga . Newton ideó dos experimentos para demostrar cómo se podían descubrir estas fuerzas, revelando así al observador que no estaban en un sistema inercial: el ejemplo de la tensión en la cuerda que une dos esferas que giran alrededor de su centro de gravedad, y el ejemplo de la curvatura de la superficie del agua en un cubo giratorio . En ambos casos, la aplicación de la segunda ley de Newton no funcionaría para el observador en rotación sin invocar fuerzas centrífugas y de Coriolis para explicar sus observaciones (tensión en el caso de las esferas; superficie de agua parabólica en el caso del cubo en rotación).

Como ahora se sabe, las estrellas fijas no lo son. Los que residen en la Vía Láctea giran con la galaxia, exhibiendo movimientos propios . Aquellos que están fuera de nuestra galaxia (como las nebulosas que alguna vez se confundieron con estrellas) también participan en su propio movimiento, en parte debido a la expansión del universo y en parte debido a velocidades peculiares . ^[42] Por ejemplo, la galaxia de Andrómeda está en curso de colisión con la Vía Láctea a una velocidad de 117 km/s. ^[43] El concepto de marcos de referencia inerciales ya no está ligado ni a las estrellas fijas ni al espacio absoluto. Más bien, la identificación de un sistema inercial se basa en la simplicidad de las leyes de la física en el sistema. John Stachel escribió: una vez que se abandonaba la existencia de un marco de referencia privilegiado (el marco del éter), no había razón para detenerse en la relatividad de los marcos inerciales. La respuesta convencional a tales dudas era que las leyes de la naturaleza tomaban una forma más simple en los sistemas de referencia inerciales porque en estos sistemas no era necesario introducir fuerzas de inercia al escribir la ley del movimiento de Newton. ^[44]

En la práctica, aunque no es un requisito, utilizar un marco de referencia basado en estrellas fijas como si fuera un marco de referencia inercial introduce muy poca discrepancia. Por ejemplo, la aceleración centrífuga de la Tierra debido a su rotación alrededor del Sol es aproximadamente treinta millones de veces mayor que la del Sol alrededor del centro galáctico. ^[45]

Para ilustrarlo mejor, considere la pregunta: "¿Rota el Universo?" Una respuesta podría explicar la forma de la Vía Láctea utilizando las leyes de la física, ^[46] aunque otras observaciones podrían ser más definitivas; es decir, proporcionar mayores discrepancias o menor incertidumbre de medición , como la anisotropía de la radiación de fondo de microondas o la nucleosíntesis del Big Bang . ^{[47] [48]} La planitud de la Vía Láctea depende de su velocidad de rotación en un marco de referencia inercial. Si su aparente tasa de rotación se atribuye enteramente a la rotación en un sistema inercial, se predice una "planicidad" diferente que si se supone que parte de esta rotación se debe en realidad a la rotación del universo y no debería incluirse en la rotación del universo. la propia galaxia. Basado en las leyes de la física, se establece un modelo en el que un parámetro es la velocidad de rotación del Universo. Si las leyes de la física concuerdan más exactamente con las observaciones en un modelo con rotación que sin ella, nos inclinamos a seleccionar el valor de mejor ajuste para la rotación, sujeto a todas las demás observaciones experimentales pertinentes. Si ningún valor del parámetro de rotación tiene éxito y la teoría no está dentro del error de observación, se considera una modificación de la ley física; por ejemplo, se invoca la materia oscura para explicar la curva de rotación galáctica . Hasta ahora, las observaciones muestran que cualquier rotación del universo es muy lenta, no más rápida que una vez cada6 × 10 ¹³ años (10 ⁻¹³  rad/año), ^[49] y persiste el debate sobre si hay alguna rotación. Sin embargo, si se encontrara rotación, la interpretación de las observaciones en un marco vinculado al universo tendría que corregirse por las fuerzas ficticias inherentes a dicha rotación en la física clásica y la relatividad especial, o interpretarse como la curvatura del espacio-tiempo y el movimiento de la materia a lo largo. Las geodésicas en la relatividad general. ^[50]

Cuando los efectos cuánticos son importantes, surgen complicaciones conceptuales adicionales en los marcos de referencia cuánticos .

Marcos imprimados

Un marco de referencia acelerado a menudo se define como el marco "preparado", y todas las variables que dependen de ese marco se anotan con números primos, por ejemplo, x′ , y′ , a′ .

El vector desde el origen de un sistema de referencia inercial hasta el origen de un sistema de referencia acelerado se denomina comúnmente R. Dado un punto de interés que existe en ambos marcos, el vector desde el origen inercial hasta el punto se llama r y el vector desde el origen acelerado hasta el punto se llama r′ . De la geometría de la situación.

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {R} +\mathbf {r} '.}$

Tomando la primera y segunda derivada de esto con respecto al tiempo

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} +\mathbf {v} ',}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} +\mathbf {a} '.}$

donde V y A son la velocidad y aceleración del sistema acelerado con respecto al sistema inercial y v y a son la velocidad y aceleración del punto de interés con respecto al sistema inercial.

Estas ecuaciones permiten transformaciones entre los dos sistemas de coordenadas; por ejemplo, la segunda ley de Newton se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m\mathbf {A} +m\mathbf {a} '.}$

Cuando hay un movimiento acelerado debido a que se ejerce una fuerza, se produce una manifestación de inercia. Si un coche eléctrico diseñado para recargar su sistema de batería al desacelerar se cambia a frenado, las baterías se recargan, lo que ilustra la fuerza física de la manifestación de la inercia. Sin embargo, la manifestación de la inercia no impide la aceleración (o desaceleración), ya que la manifestación de la inercia ocurre en respuesta al cambio de velocidad debido a una fuerza. Visto desde la perspectiva de un marco de referencia giratorio, la manifestación de la inercia parece ejercer una fuerza (ya sea en dirección centrífuga o en una dirección ortogonal al movimiento de un objeto, el efecto Coriolis ).

Un tipo común de marco de referencia acelerado es un marco que gira y se traslada (un ejemplo es un marco de referencia adjunto a un CD que se reproduce mientras se lleva el reproductor). Esta disposición conduce a la ecuación (ver Fuerza ficticia para una derivación):

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')+\mathbf {A} _{0},}$

o, para resolver la aceleración en el marco acelerado,

${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} -{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')-\mathbf {A} _{0}.}$

Multiplicando por la masa m se obtiene

${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} _{\mathrm {physical} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {centripetal} }-m\mathbf {A} _{0},}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }=-m{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '}$( fuerza de Euler ),

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '}$( Fuerza Coriolis ),

${\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')=m(\omega ^{2}\mathbf {r} '-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} '){\boldsymbol {\omega }})}$( fuerza centrífuga ).

Separación de marcos de referencia no inerciales e inerciales

Teoría

Figura 2: Dos esferas atadas con una cuerda y girando a una velocidad angular ω. Debido a la rotación, la cuerda que une las esferas está bajo tensión.

Figura 3: Vista explosionada de esferas giratorias en un marco de referencia inercial que muestra las fuerzas centrípetas sobre las esferas proporcionadas por la tensión en la cuerda de atar.

Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales se pueden distinguir por la ausencia o presencia de fuerzas ficticias , como se explicará en breve. ^{[3] [4]}

El efecto de estar en el marco no inercial es requerir que el observador introduzca una fuerza ficticia en sus cálculos...

—  Sidney Borowitz y Lawrence A Bornstein en Una visión contemporánea de la física elemental , p. 138

La presencia de fuerzas ficticias indica que las leyes físicas no son las leyes más simples disponibles, por lo que, en términos del principio especial de la relatividad, un marco donde están presentes fuerzas ficticias no es un marco inercial: ^[51]

Las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial difieren de las ecuaciones en un sistema inercial por términos adicionales llamados fuerzas de inercia. Esto nos permite detectar experimentalmente la naturaleza no inercial de un sistema.

—  VI Arnol'd : Métodos matemáticos de la mecánica clásica Segunda edición, p. 129

Los cuerpos en sistemas de referencia no inerciales están sujetos a las llamadas fuerzas ficticias (pseudofuerzas); es decir, fuerzas que resultan de la aceleración del propio sistema de referencia y no de ninguna fuerza física que actúe sobre el cuerpo. Ejemplos de fuerzas ficticias son la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis en sistemas de referencia giratorios .

¿Cómo entonces separar las fuerzas "ficticias" de las fuerzas "reales"? Es difícil aplicar la definición newtoniana de sistema inercial sin esta separación. Por ejemplo, considere un objeto estacionario en un sistema inercial. Al estar en reposo no se aplica ninguna fuerza neta. Pero en un marco que gira alrededor de un eje fijo, el objeto parece moverse en círculo y está sujeto a una fuerza centrípeta. ¿Cómo se puede decidir que el sistema giratorio es un sistema no inercial? Hay dos enfoques para esta resolución: un enfoque es buscar el origen de las fuerzas ficticias (la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga). Se encontrará que no hay fuentes para estas fuerzas, ni portadores de fuerzas asociados , ni cuerpos originadores. ^[52] Un segundo enfoque consiste en examinar una variedad de marcos de referencia. Para cualquier sistema inercial, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga desaparecen, por lo que la aplicación del principio de relatividad especial identificaría estos sistemas donde las fuerzas desaparecen como si compartieran las mismas y más simples leyes físicas y, por lo tanto, dictaminaría que el sistema giratorio no es un sistema. sistema inercial.

Newton examinó este problema él mismo utilizando esferas giratorias, como se muestra en las Figuras 2 y 3. Señaló que si las esferas no giran, la tensión en la cuerda de atar se mide como cero en cada marco de referencia. ^[53] Si las esferas solo parecen girar (es decir, estamos observando esferas estacionarias desde un marco giratorio), la tensión cero en la cuerda se explica observando que la fuerza centrípeta es suministrada por las fuerzas centrífuga y de Coriolis en combinación. , por lo que no se necesita tensión. Si las esferas realmente están girando, la tensión observada es exactamente la fuerza centrípeta requerida por el movimiento circular. Así, la medición de la tensión en la cuerda identifica el marco inercial: es aquel en el que la tensión en la cuerda proporciona exactamente la fuerza centrípeta demandada por el movimiento tal como se observa en ese marco, y no un valor diferente. Es decir, el marco inercial es aquel en el que las fuerzas ficticias se desvanecen.

Hasta aquí las fuerzas ficticias debidas a la rotación. Sin embargo, para la aceleración lineal , Newton expresó la idea de que las aceleraciones en línea recta son indetectables en común: ^[27]

Si los cuerpos, de cualquier manera que se muevan entre sí, son impulsados ​​en la dirección de líneas paralelas por fuerzas acelerantes iguales, continuarán moviéndose entre sí, de la misma manera que si no hubieran sido impulsados ​​por tales fuerzas.

—  Isaac Newton: Principia Corolario VI, p. 89, en traducción de Andrew Motte

Este principio generaliza la noción de marco inercial. Por ejemplo, un observador confinado en un ascensor en caída libre afirmará que él mismo es un sistema inercial válido, incluso si está acelerando bajo la gravedad, siempre y cuando no tenga conocimiento de nada fuera del ascensor. Entonces, estrictamente hablando, el marco inercial es un concepto relativo. Teniendo esto en cuenta, los marcos inerciales pueden definirse colectivamente como un conjunto de marcos que están estacionarios o se mueven a velocidad constante entre sí, de modo que un único marco inercial se define como un elemento de este conjunto.

Para que estas ideas se apliquen, todo lo observado en el marco tiene que estar sujeto a una línea base, una aceleración común compartida por el propio marco. Esa situación se aplicaría, por ejemplo, al ejemplo del ascensor, donde todos los objetos están sujetos a la misma aceleración gravitacional y el propio ascensor acelera a la misma velocidad.

Aplicaciones

Los sistemas de navegación inercial utilizaban un grupo de giroscopios y acelerómetros para determinar las aceleraciones relativas al espacio inercial. Después de que un giroscopio gira en una orientación particular en el espacio inercial, la ley de conservación del momento angular requiere que mantenga esa orientación siempre que no se le apliquen fuerzas externas. ^{[54] : 59} Tres giroscopios ortogonales establecen un marco de referencia inercial, y los aceleradores miden la aceleración relativa a ese marco. Las aceleraciones, junto con un reloj, se pueden utilizar para calcular el cambio de posición. Por lo tanto, la navegación inercial es una forma de navegación a estima que no requiere entrada externa y, por lo tanto, no puede ser obstaculizada por ninguna fuente de señal externa o interna. ^[55]

Un girocompás , empleado para la navegación de embarcaciones marítimas, encuentra el norte geométrico. Lo hace, no detectando el campo magnético de la Tierra, sino utilizando el espacio inercial como referencia. La carcasa exterior del dispositivo girocompás se sujeta de forma que quede alineada con la plomada local. Cuando se gira la rueda giroscópica dentro del dispositivo giroscópico, la forma en que se suspende la rueda giroscópica hace que la rueda giroscópica alinee gradualmente su eje de giro con el eje de la Tierra. La alineación con el eje de la Tierra es la única dirección en la que el eje de giro del giroscopio puede permanecer estacionario con respecto a la Tierra y no ser necesario cambiar de dirección con respecto al espacio inercial. Después de girar, un girocompás puede alcanzar la dirección de alineación con el eje de la Tierra en tan solo un cuarto de hora. ^[56]

Ejemplos

Ejemplo sencillo

Figura 1: Dos automóviles que se mueven a velocidades diferentes pero constantes observadas desde un marco inercial estacionario S adjunto a la carretera y un marco inercial móvil S′ adjunto al primer automóvil.

Consideremos una situación común en la vida cotidiana. Dos automóviles viajan por una carretera y ambos se mueven a velocidad constante. Ver Figura 1. En un momento determinado, están separados por 200 metros. El auto de adelante viaja a 22 metros por segundo y el auto de atrás viaja a 30 metros por segundo. Si queremos saber cuánto tiempo le tomará al segundo automóvil alcanzar al primero, hay tres "marcos de referencia" obvios que podemos elegir. ^[57]

Primero pudimos observar los dos coches desde el costado de la carretera. Definimos nuestro "marco de referencia" S de la siguiente manera. Nos situamos a un lado de la carretera y ponemos en marcha un cronómetro en el momento exacto en que nos pasa el segundo coche, que resulta ser cuando están a una distancia d = 200 m de distancia. Como ninguno de los autos está acelerando, podemos determinar sus posiciones mediante las siguientes fórmulas, donde es la posición en metros del auto uno después del tiempo t en segundos y es la posición del auto dos después del tiempo t . ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

${\displaystyle x_{1}(t)=d+v_{1}t=200+22t,\quad x_{2}(t)=v_{2}t=30t.}$

Observe que estas fórmulas predicen que en t = 0 s el primer automóvil está a 200 m de la carretera y el segundo está justo a nuestro lado, como se esperaba. Queremos encontrar el momento en el que . Por lo tanto, establecemos y resolvemos para , es decir: ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle 200+22t=30t,}$

${\displaystyle 8t=200,}$

${\displaystyle t=25\ \mathrm {seconds} .}$

Alternativamente, podríamos elegir un sistema de referencia S′ situado en el primer coche. En este caso, el primer automóvil está estacionario y el segundo automóvil se acerca por detrás a una velocidad de v ₂ − v ₁ = 8 m/s . Para alcanzar al primer coche, tomará un tiempo ded/v ₂ − v ₁=200/8s , es decir, 25 segundos, como antes. Observe cuánto más fácil se vuelve el problema al elegir un marco de referencia adecuado. El tercer marco de referencia posible se adjuntaría al segundo vagón. Ese ejemplo se parece al caso que acabamos de analizar, excepto que el segundo automóvil está estacionario y el primero se mueve hacia atrás a 8 m/s .

Habría sido posible elegir un sistema de referencia giratorio, acelerado y que se moviera de manera complicada, pero esto habría servido para complicar el problema innecesariamente. También es necesario tener en cuenta que es posible convertir las mediciones realizadas en un sistema de coordenadas a otro. Por ejemplo, supongamos que su reloj avanza cinco minutos en comparación con la hora estándar local. Si sabes que es así, cuando alguien te pregunte qué hora es, podrás descontar cinco minutos de la hora que aparece en tu reloj para obtener la hora correcta. Las mediciones que un observador hace sobre un sistema dependen por tanto del marco de referencia del observador (se podría decir que el autobús llegó a las tres y cinco, cuando en realidad llegó a las tres).

Ejemplo adicional

Figura 2: Ejemplo sencillo de marco de referencia

Para un ejemplo sencillo que implica sólo la orientación de dos observadores, considere dos personas paradas, una frente a la otra, a cada lado de una calle de norte a sur. Vea la Figura 2. Un automóvil pasa junto a ellos en dirección sur. Para la persona que miraba hacia el este, el auto se movía hacia la derecha. Sin embargo, para la persona que miraba hacia el oeste, el automóvil se movía hacia la izquierda. Esta discrepancia se debe a que las dos personas utilizaron dos marcos de referencia diferentes para investigar este sistema.

Para ver un ejemplo más complejo que involucra observadores en movimiento relativo, considere a Alfred, que está parado al costado de una carretera observando un automóvil que pasa junto a él de izquierda a derecha. En su marco de referencia, Alfred define el lugar donde se encuentra como el origen, la carretera como el eje x y la dirección frente a él como el eje y positivo . Para él, el automóvil se mueve a lo largo del eje x con cierta velocidad v en la dirección x positiva . El marco de referencia de Alfred se considera un marco inercial porque no acelera, ignorando efectos como la rotación de la Tierra y la gravedad.

Consideremos ahora a Betsy, la persona que conduce el coche. Betsy, al elegir su marco de referencia, define su ubicación como el origen, la dirección a su derecha como el eje x positivo y la dirección frente a ella como el eje y positivo . En este marco de referencia, es Betsy quien está estacionaria y el mundo que la rodea es el que se mueve; por ejemplo, cuando pasa junto a Alfred, lo observa moviéndose con velocidad v en la dirección y negativa . Si conduce hacia el norte, entonces el norte es la dirección y positiva; si gira hacia el este, el este se convierte en la dirección y positiva .

Finalmente, como ejemplo de observadores no inerciales, supongamos que Candace está acelerando su auto. Cuando ella pasa junto a él, Alfred mide su aceleración y descubre que es a en la dirección x negativa . Suponiendo que la aceleración de Candace es constante, ¿qué aceleración mide Betsy? Si la velocidad v de Betsy es constante, ella está en un marco de referencia inercial y encontrará que la aceleración es la misma que la de Alfred en su marco de referencia, a en la dirección y negativa . Sin embargo, si está acelerando a una velocidad A en la dirección y negativa (en otras palabras, desacelerando), encontrará que la aceleración de Candace es a′ = a − A en la dirección y negativa , un valor menor que el que tiene Alfred. Medido. De manera similar, si está acelerando a una velocidad A en la dirección y positiva (acelerando), observará la aceleración de Candace como a′ = a + A en la dirección y negativa , un valor mayor que la medición de Alfred.

Ver también

• rotación absoluta
• difeomorfismo
• invariancia galileana
• Covarianza general
• Marco de referencia local
• covarianza de Lorentz
• La primera ley de Newton
• Marco de referencia cuántico

Referencias

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27. Consulte los Principia en línea en Andrew Motte Translation
28. Sin embargo, en el sistema newtoniano la transformación de Galileo conecta estos marcos y en la teoría especial de la relatividad la transformación de Lorentz los conecta. Las dos transformaciones coinciden para velocidades de traslación mucho menores que la velocidad de la luz .
29. Es decir, ambas descripciones son equivalentes y pueden usarse según sea necesario. Esta equivalencia no se cumple fuera de la relatividad general, por ejemplo, en la gravedad entrópica .
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52. Por ejemplo, no existe ningún cuerpo que proporcione atracción gravitacional o eléctrica.
53. Es decir, la universalidad de las leyes de la física requiere que todos vean la misma tensión. Por ejemplo, no puede suceder que la cuerda se rompa bajo una tensión extrema en un marco de referencia y permanezca intacta en otro marco de referencia, simplemente porque elegimos mirar la cuerda desde un marco diferente.
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Otras lecturas

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enlaces externos

• Entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Clip de animación en YouTube que muestra escenas vistas desde un marco inercial y un marco de referencia giratorio, visualizando las fuerzas de Coriolis y centrífugas.
• "¿Es la gravedad una ilusión?". PBS Espacio Tiempo . 3 de junio de 2015. Archivado desde el original el 13 de noviembre de 2021, a través de YouTube .