La indicadora de Tissot

Caracterización de la distorsión en proyecciones cartográficas

La proyección de Behrmann con las indicatrices de Tissot

La proyección Mercator con las indicatrices de Tissot

En cartografía , una indicatriz de Tissot ( indicatriz de Tissot , elipse de Tissot , elipse de Tissot , elipse de distorsión ) (plural: «indicatrices de Tissot») es un artilugio matemático presentado por el matemático francés Nicolas Auguste Tissot en 1859 y 1871 para caracterizar las distorsiones locales debidas a la proyección de mapas . Es la geometría que resulta de proyectar un círculo de radio infinitesimal a partir de un modelo geométrico curvo, como un globo terráqueo, sobre un mapa. Tissot demostró que el diagrama resultante es una elipse cuyos ejes indican las dos direcciones principales a lo largo de las cuales la escala es máxima y mínima en ese punto del mapa.

Una sola indicatriz describe la distorsión en un único punto. Debido a que la distorsión varía a lo largo de un mapa, generalmente las indicatrices de Tissot se colocan a lo largo de un mapa para ilustrar el cambio espacial en la distorsión. Un esquema común las coloca en cada intersección de los meridianos y paralelos mostrados. Estos esquemas son importantes en el estudio de las proyecciones de mapas, tanto para ilustrar la distorsión como para proporcionar la base para los cálculos que representan la magnitud de la distorsión con precisión en cada punto. Debido a que los círculos infinitesimales representados por las elipses en el mapa tienen todos la misma área en el modelo geométrico curvo subyacente, la distorsión impuesta por la proyección del mapa es evidente.

Existe una correspondencia uno a uno entre la indicatriz de Tissot y el tensor métrico de la conversión de coordenadas de la proyección del mapa. ^[1]

Descripción

La teoría de Tissot se desarrolló en el contexto del análisis cartográfico . Generalmente el modelo geométrico representa la Tierra y se presenta en forma de esfera o elipsoide .

Las indicatrices de Tissot ilustran distorsiones lineales, angulares y areales de los mapas:

• Un mapa distorsiona las distancias (distorsión lineal) siempre que el cociente entre las longitudes de una línea infinitesimalmente corta tal como se proyecta sobre la superficie de proyección y tal como es originalmente en el modelo terrestre se desvíe de 1. El cociente se denomina factor de escala . A menos que la proyección sea conforme en el punto considerado, el factor de escala varía según la dirección alrededor del punto.
• Un mapa distorsiona los ángulos allí donde los ángulos medidos en el modelo de la Tierra no se conservan en la proyección. Esto se expresa mediante una elipse de distorsión que no es un círculo.
• Un mapa distorsiona áreas donde las áreas medidas en el modelo de la Tierra no se conservan en la proyección. Esto se expresa mediante elipses de distorsión cuyas áreas varían a lo largo del mapa.

En los mapas conformes, donde cada punto conserva los ángulos proyectados a partir del modelo geométrico, las indicatrices de Tissot son círculos de tamaño variable según la ubicación, posiblemente también con orientación variable (dados los cuatro cuadrantes del círculo divididos por meridianos y paralelos ). En las proyecciones de áreas iguales , donde se conservan las proporciones de área entre los objetos, las indicatrices de Tissot tienen todas la misma área, aunque sus formas y orientaciones varían según la ubicación. En las proyecciones arbitrarias, tanto el área como la forma varían a lo largo del mapa.

Matemáticas

En el diagrama siguiente, el círculo tiene área unitaria tal como se define en la superficie de una esfera. El círculo es la indicatriz de Tissot que resulta de alguna proyección de sobre un plano. La escala lineal no se ha conservado en esta proyección, ya que y . Debido a que , sabemos que hay una distorsión angular. Debido a que , sabemos que hay una distorsión de área. ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle {A'B'C'D'}}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle {OA'\ncong OA}}$ ${\displaystyle OB'\ncong OB}$ ${\displaystyle {\angle M'OA'\ncong \angle MOA}}$ ${\displaystyle \operatorname {Area} (A'B'C'D')\neq \operatorname {Area} (ABCD)}$

El círculo original del ejemplo anterior tenía un radio de 1, pero cuando se trabaja con una indicatriz de Tissot, se trabaja con elipses de radio infinitesimal. Aunque los radios del círculo original y su elipse de distorsión serán todos infinitesimales, empleando el cálculo diferencial las razones entre ellos todavía se pueden calcular de manera significativa. Por ejemplo, si la razón entre el radio del círculo de entrada y un círculo proyectado es igual a 1, entonces la indicatriz se dibuja como un círculo con un área de 1. El tamaño que se dibuja en el mapa de la indicatriz es arbitrario: todas están escaladas por el mismo factor para que sus tamaños sean proporcionales entre sí. Al igual que en el diagrama, los ejes a lo largo del paralelo y a lo largo del meridiano pueden sufrir un cambio de longitud y una rotación durante la proyección. Para un punto dado, es común en la literatura representar la escala a lo largo del meridiano como y la escala a lo largo del paralelo como . A menos que la proyección sea conforme, todos los ángulos excepto el subtendido por el semieje mayor y el semieje menor de la elipse también pueden haber cambiado. Un ángulo en particular habrá cambiado más, y el valor de ese cambio máximo se conoce como deformación angular, denotada como . En general, qué ángulo es ese y cómo está orientado no figuran prominentemente en el análisis de distorsión; es la magnitud del cambio lo que es significativo. Los valores de , , y se pueden calcular de la siguiente manera: ^{[2] : 24} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{R}}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\right)}^{2}}}}\\[4pt]k&={\frac {1}{R\cos \varphi }}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}}}\\[4pt]\sin \theta '&={\frac {1}{R^{2}hk\cos \varphi }}\left({{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}\right)\\[4pt]a'&={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}+2hk\sin \theta '}},\quad b'={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}-2hk\sin \theta '}}\\[4pt]a&={\frac {a'+b'}{2}},\quad b={\frac {a'-b'}{2}}\\[4pt]s&=hk\sin \theta '\\[4pt]\omega &=2\arcsin {\frac {b'}{a'}}\end{aligned}}}$$

donde y son las coordenadas de latitud y longitud de un punto, es el radio del globo, y y son las coordenadas resultantes del punto después de la proyección. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En el resultado para cualquier punto dado, y son los factores de escala máximo y mínimo, análogos a los semiejes mayor y semieje menor en el diagrama; representa la cantidad de inflación o deflación en el área y representa la distorsión angular máxima. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \omega }$

Para proyecciones conformes como la proyección de Mercator , y , tales que en cada punto la elipse degenera en un círculo, con un radio igual al factor de escala. ${\displaystyle h=k}$ ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2}}$

Para áreas iguales como la proyección sinusoidal , el semieje mayor de la elipse es el recíproco del semieje menor, de modo que cada elipse tiene área igual incluso cuando sus excentricidades varían.

Para proyecciones arbitrarias, la forma y el área de las elipses en cada punto son en gran medida independientes entre sí. ^[3]

Una derivación alternativa para el cálculo numérico

Otra forma de entender y derivar la indicatriz de Tissot es a través de la geometría diferencial de superficies. ^[4] Este enfoque se presta bien a los métodos numéricos modernos, ya que los parámetros de la indicatriz de Tissot se pueden calcular utilizando la descomposición en valores singulares (SVD) y la aproximación de diferencia central .

Distancia diferencial en el elipsoide

Sea un punto 3D, , en un elipsoide parametrizado como: ${\displaystyle {\hat {X}}}$

${\displaystyle {\hat {X}}(\lambda ,\phi )=\left[{\begin{matrix}N\cos {\lambda }\cos {\phi }\\-N(1-e^{2})\sin {\phi }\\N\sin {\lambda }\cos {\phi }\end{matrix}}\right]}$

donde son longitud y latitud, respectivamente, y es una función del radio ecuatorial, , y la excentricidad, : ${\displaystyle (\lambda ,\phi )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle N={\frac {R}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}}$

El elemento de distancia en la esfera, se define por la primera forma fundamental : ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}d\lambda &d\phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}}$

cuyos coeficientes se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&E={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}\\&F={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}\\&G={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}\\\end{aligned}}}$

Calculando las derivadas necesarias obtenemos:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}=\left[{\begin{matrix}-N\sin {\lambda }\cos {\phi }\\0\\N\cos {\lambda }\cos {\phi }\end{matrix}}\right]\qquad \qquad {\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}=\left[{\begin{matrix}-M\cos {\lambda }\sin {\phi }\\-M\cos {\phi }\\M\sin {\lambda }\sin {\phi }\end{matrix}}\right]}$

donde es una función del radio ecuatorial, , y la excentricidad del elipsoide, : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle M={\frac {R(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}(\phi ))^{\frac {3}{2}}}}}$

Sustituyendo estos valores en la primera forma fundamental se obtiene la fórmula para la distancia elemental en el elipsoide:

${\displaystyle ds^{2}=\left(N\cos {\phi }\right)^{2}d\lambda ^{2}+M^{2}d\phi ^{2}}$

Este resultado relaciona la medida de la distancia en la superficie del elipsoide en función del sistema de coordenadas esféricas.

Transformando el elemento de la distancia

Recordemos que el propósito de la indicatriz de Tissot es relacionar cómo cambian las distancias en la esfera cuando se las mapea a una superficie plana. Específicamente, la relación deseada es la transformación que relaciona la distancia diferencial a lo largo de las bases del sistema de coordenadas esféricas con la distancia diferencial a lo largo de las bases del sistema de coordenadas cartesianas en el mapa plano. Esto se puede expresar mediante la relación: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}={\mathcal {T}}{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}}}$

donde y representan el cálculo de a lo largo de los ejes longitudinal y latitudinal, respectivamente. El cálculo de y se puede realizar directamente a partir de la ecuación anterior, obteniéndose: ${\displaystyle ds(\lambda ,0)}$ ${\displaystyle ds(0,\phi )}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle ds(\lambda ,0)}$ ${\displaystyle ds(0,\phi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ds(\lambda ,0)=N\cos(\phi )d\lambda \\&ds(0,\phi )=Md\phi \end{aligned}}}$

Para los fines de este cálculo, es útil expresar esta relación como una operación matricial:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}=K{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}},\qquad K={\begin{bmatrix}{\frac {1}{N\cos {\phi }}}&0\\0&{\frac {1}{M}}\end{bmatrix}}}$

Ahora bien, para relacionar las distancias en la superficie del elipsoide con las del plano, necesitamos relacionar los sistemas de coordenadas. A partir de la regla de la cadena, podemos escribir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}=J{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}}$

donde J es la matriz jacobiana :

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\end{bmatrix}}}$

Al reemplazar la expresión matricial por y se obtiene la definición de la transformada representada por la indicatriz: ${\displaystyle d\lambda }$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}=JK{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}=JK}$

Esta transformación encapsula la proyección de la superficie del elipsoide al plano. Expresada de esta forma, la SVD se puede utilizar para dividir los componentes importantes de la transformación local. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Cálculo numérico y SVD

Para extraer la información de distorsión deseada, en cualquier ubicación dada en el sistema de coordenadas esféricas, los valores de se pueden calcular directamente. El jacobiano, , se puede calcular analíticamente a partir de la propia función de mapeo, pero a menudo es más simple aproximar numéricamente los valores en cualquier ubicación en el mapa utilizando diferencias centrales . Una vez que se calculan estos valores, se puede aplicar la SVD a cada matriz de transformación para extraer la información de distorsión local. Recuerde que, debido a que la distorsión es local, cada ubicación en el mapa tendrá su propia transformación. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J}$

Recordemos la definición de SVD:

${\displaystyle \mathrm {SVD} ({\mathcal {T}})=U\Lambda V^{T}}$

Es la descomposición de la transformación, , en una rotación en el dominio de origen (es decir, la superficie elipsoide), , un escalado a lo largo de la base, , y una segunda rotación posterior, . Para comprender la distorsión, la primera rotación es irrelevante, ya que rota los ejes del círculo pero no tiene relación con la orientación final de la elipse. La siguiente operación, representada por la matriz de valores singulares diagonales, escala el círculo a lo largo de sus ejes, deformándolo en una elipse. Por lo tanto, los valores singulares representan los factores de escala a lo largo de los ejes de la elipse. El primer valor singular proporciona el semieje mayor, , y el segundo proporciona el semieje menor, , que son los factores de escala direccional de la distorsión. La distorsión de escala se puede calcular como el área de la elipse, , o equivalentemente por el determinante de . Finalmente, la orientación de la elipse, , se puede extraer de la primera columna de como: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle V^{T}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {u_{1,0}}{u_{0,0}}}\right)}$

Galería

• 
  La proyección transversal de Mercator con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección estereográfica con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección sinusoidal con indicatrices de Tissot
• 
  La proyección quincuncial de Peirce con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección cilíndrica de Miller con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección Hammer con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección equidistante azimutal con indicatrices de Tissot
• 
  La proyección Fuller con las indicatrices de Tissot

Referencias

1. Goldberg, David M.; Gott III, J. Richard (2007). "Flexión y sesgo en proyecciones cartográficas de la Tierra" (PDF) . Cartographica . 42 (4): 297–318. arXiv : astro-ph/0608501 . doi :10.3138/carto.42.4.297. S2CID  11359702 . Consultado el 14 de noviembre de 2011 .
2. Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo. Documento profesional 1395. Denver: USGS . pág. 383. ISBN 978-1782662228. Recuperado el 26 de noviembre de 2015 .
3. Un ejemplo más general de la indicatriz de Tissot: la proyección tripel de Winkel .
4. Laskowski, Piotr (1989). "La mirada tradicional y moderna a la Indicatrix de Tissot". El cartógrafo americano . 16 (2): 123–133. doi :10.1559/152304089783875497.

Enlaces externos

• Subprograma Java con proyecciones interactivas que muestran la indicatriz de Tissot