Incentrado

Centro del círculo inscrito de un triángulo

El punto de intersección de las bisectrices de los 3 ángulos del triángulo ABC es el incentro (indicado por I). La circunferencia inscrita (cuyo centro es I) toca cada lado del triángulo.

En geometría , el incentro de un triángulo es el centro del triángulo , un punto definido para cualquier triángulo de una manera que es independiente de la ubicación o escala del triángulo. El incentro puede definirse de manera equivalente como el punto donde se cruzan las bisectrices de los ángulos internos del triángulo, como el punto equidistante de los lados del triángulo, como el punto de unión del eje medial y el punto más interno de la transformada de Grassfire del triángulo, y como el punto central del círculo inscrito del triángulo.

Junto con el baricentro , el circuncentro y el ortocentro , es uno de los cuatro centros de triángulos conocidos por los antiguos griegos, y el único de los cuatro que, en general, no se encuentra sobre la línea de Euler . Es el primer centro enumerado, X(1), en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling , y el elemento identidad del grupo multiplicativo de centros de triángulos. ^{[1] [2]}

En el caso de polígonos con más de tres lados, el incentro sólo existe para los polígonos tangenciales : aquellos que tienen un círculo inscrito que es tangente a cada lado del polígono. En este caso, el incentro es el centro de este círculo y está igualmente distante de todos los lados.

Definición y construcción

Es un teorema de la geometría euclidiana que las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se encuentran en un único punto. En los Elementos de Euclides , la Proposición 4 del Libro IV demuestra que este punto es también el centro del círculo inscrito del triángulo. El propio círculo inscrito puede construirse trazando una perpendicular desde el incentro hasta uno de los lados del triángulo y dibujando un círculo con ese segmento como su radio. ^[3]

El incentro se encuentra a distancias iguales de los tres segmentos de línea que forman los lados del triángulo, y también de las tres líneas que contienen esos segmentos. Es el único punto igualmente distante de los segmentos de línea, pero hay tres puntos más igualmente distantes de las líneas, los excentros, que forman los centros de los excírculos del triángulo dado. El incentro y los excentros juntos forman un sistema ortocéntrico . ^[4]

El eje medial de un polígono es el conjunto de puntos cuyo vecino más cercano en el polígono no es único: estos puntos son equidistantes de dos o más lados del polígono. Un método para calcular los ejes mediales es usar la transformada Grassfire , en la que se forma una secuencia continua de curvas de desplazamiento , cada una a una distancia fija del polígono; el eje medial está trazado por los vértices de estas curvas. En el caso de un triángulo, el eje medial consta de tres segmentos de las bisectrices de los ángulos, que conectan los vértices del triángulo con el incentro, que es el único punto en la curva de desplazamiento más interna. ^[5] El esqueleto recto , definido de manera similar a partir de un tipo diferente de curva de desplazamiento, coincide con el eje medial para polígonos convexos y, por lo tanto, también tiene su unión en el incentro. ^[6]

Pruebas

Prueba de proporción

Sea la bisección de y se encuentran en , y la bisección de y se encuentran en , y y se encuentran en . ${\displaystyle \angle {BAC}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \angle {ABC}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ ${\displaystyle {I}}$

Y que nos encontremos en . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {F}}$

Luego tenemos que demostrar que es la bisección de . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ ${\displaystyle \angle {ACB}}$

En , , por el teorema de la bisectriz del ángulo . ${\displaystyle \triangle {ACF}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

En , . ${\displaystyle \triangle {BCF}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

Por lo tanto, , de modo que . ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

Así es la bisección de . ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ ${\displaystyle \angle {ACB}}$

Prueba perpendicular

Una línea que es bisectriz de un ángulo es equidistante de ambas líneas cuando se mide por la perpendicular. En el punto donde se cortan dos bisectrices, este punto es perpendicularmente equidistante de las líneas que forman el ángulo final (porque están a la misma distancia del borde opuesto de este ángulo) y, por lo tanto, se encuentra sobre su línea bisectriz del ángulo.

Relación con los lados y vértices del triángulo

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales de un punto del triángulo dan la relación de las distancias a los lados del triángulo. Las coordenadas trilineales del incentro se dan mediante ^[2]

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Al conjunto de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo bajo la multiplicación por coordenadas de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento identidad . ^[2]

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas del incentro se dan por

${\displaystyle \ a:b:c}$

donde , , y son las longitudes de los lados del triángulo, o equivalentemente (usando la ley de los senos ) por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

donde , , y son los ángulos en los tres vértices. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices utilizando las longitudes de los lados del triángulo en relación con el perímetro, es decir, utilizando las coordenadas baricéntricas dadas anteriormente, normalizadas para sumar la unidad, como pesos. (Los pesos son positivos, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente). Si los tres vértices están ubicados en , , y , y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes , , y , entonces el incentro está en ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Distancias a los vértices

Denotando el incentro del triángulo ABC como I , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación ^[7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

Además, ^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

donde R y r son el radio circunscrito y el radio interno del triángulo respectivamente.

Construcciones relacionadas

Otros centros

La distancia desde el incentro al centroide es menor que un tercio de la longitud de la mediana más larga del triángulo. ^[9]

Por el teorema de Euler en geometría , la distancia al cuadrado del incentro I al circuncentro O está dada por ^{[10] [11]}

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

donde R y r son el radio circunscrito y el radio interno respectivamente; por lo tanto, el radio circunscrito es al menos el doble del radio interno, con igualdad solo en el caso equilátero . ^{[12] : p. 198}

La distancia desde el incentro al centro N del círculo de nueve puntos es ^[11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

La distancia al cuadrado del incentro al ortocentro H es ^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

Las desigualdades incluyen:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

El incentro es el punto Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y, por lo tanto, se encuentra dentro de este triángulo. A la inversa, el punto Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario . ^[14]

El incentro debe estar en el interior de un disco cuyo diámetro conecta el baricentro G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal ), pero no puede coincidir con el centro de nueve puntos , cuya posición está fijada a 1/4 del camino a lo largo del diámetro (más cerca de G ). Cualquier otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de un triángulo único. ^[15]

Línea de Euler

La línea de Euler de un triángulo es una línea que pasa por su circuncentro , baricentro y ortocentro , entre otros puntos. El incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; ^[16] está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , ^[17] para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros del triángulo.

Denotando la distancia desde el incentro hasta la línea de Euler como d , la longitud de la mediana más larga como v , la longitud del lado más largo como u , el circunradio como R , la longitud del segmento de la línea de Euler desde el ortocentro al circuncentro como e , y el semiperímetro como s , se cumplen las siguientes desigualdades: ^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

Divisores de área y perímetro

Cualquier línea que pase por un triángulo y divida tanto el área como el perímetro del triángulo pasa por el incentro del triángulo; cada línea que pase por el incentro y divida el área por la mitad también divide el perímetro por la mitad. Hay una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado. ^[19]

Distancias relativas desde la bisectriz de un ángulo

Sea X un punto variable en la bisectriz del ángulo interno de A. Entonces X = I (el incentro) maximiza o minimiza la relación a lo largo de esa bisectriz del ángulo. ^{[20] [21]} ${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

Referencias

1. Kimberling, Clark (1994), "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo", Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi :10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR  2690608, MR  1573021.
2. Enciclopedia de centros de triángulos Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine , consultado el 28 de octubre de 2014.
3. Elementos de Euclides , Libro IV, Proposición 4: Inscribir un círculo en un triángulo dado. David Joyce, Clark University, consultado el 28 de octubre de 2014.
4. Johnson, RA (1929), Geometría moderna , Boston: Houghton Mifflin, pág. 182.
5. Blum, Harry (1967), "Una transformación para extraer nuevos descriptores de forma", en Wathen-Dunn, Weiant (ed.), Modelos para la percepción del habla y la forma visual (PDF) , Cambridge: MIT Press, pp. 362–380, En el triángulo, tres esquinas comienzan a propagarse y desaparecen en el centro del círculo inscrito más grande..
6. Aichholzer, Oswin; Aurenhammer, Franz ; Alberts, David; Gärtner, Bernd (1995), "Un nuevo tipo de esqueleto para polígonos", Journal of Universal Computer Science , 1 (12): 752–761, doi :10.1007/978-3-642-80350-5_65, MR  1392429.
7. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), "Demostración de la identidad de una elipse del siglo XIX", Mathematical Gazette , 96 (535): 161–165, doi :10.1017/S0025557200004277.
8. Altshiller-Court, Nathan (1980), Geometría universitaria , Publicaciones de Dover. #84, pág. 121.
9. Franzsen, William N. (2011), "La distancia desde el incentro hasta la línea de Euler" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 231–236, MR  2877263, archivado desde el original (PDF) el 2020-12-05 , consultado el 2014-10-28. Lema 3, pág. 233.
10. Johnson (1929), pág. 186
11. Franzsen (2011), pág. 232.
12. Dragutin Svrtan y Darko Veljan, "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas de triángulos", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html Archivado el 28 de octubre de 2019 en Wayback Machine.
13. Marie-Nicole Gras, "Distancias entre el circuncentro del triángulo extoque y los centros clásicos" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Archivado el 28 de abril de 2021 en Wayback Machine.
14. Franzsen (2011), Lema 1, p. 233.
15. Franzsen (2011), pág. 232.
16. Schattschneider, Doris ; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, Asociación Matemática de Estados Unidos, págs. 3-4, ISBN 978-0883850992
17. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), "Símplices ortocéntricos y biregularidad", Results in Mathematics , 52 (1–2): 41–50, doi :10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Es bien sabido que el incentro de un triángulo euclidiano se encuentra en su línea de Euler que conecta el centroide y el circuncentro si y solo si el triángulo es isósceles..
18. Franzsen (2011), págs. 232-234.
19. Kodokostas, Dimitrios (abril de 2010), "Ecualizadores de triángulos", Mathematics Magazine , 83 (2): 141–146, doi :10.4169/002557010X482916, S2CID  218541138.
20. Arie Bialostocki y Dora Bialostocki, "El incentro y el excentro como soluciones a un problema extremal", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
21. Hajja, Mowaffaq, Propiedades extremas del incentro y los excentros de un triángulo", Mathematical Gazette 96, julio de 2012, 315-317.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Incentro". MundoMatemático .