Curva paralela

Generalización del concepto de rectas paralelas

Curvas paralelas de la gráfica de para distancias ${\displaystyle y=1.5\sin(x)}$ ${\displaystyle d=0.25,\dots ,1.5}$

Dos definiciones de una curva paralela: 1) envolvente de una familia de círculos congruentes, 2) por una distancia normal fija

Las curvas paralelas de un círculo (rojo) también son círculos.

Un paralelo de una curva es la envolvente de una familia de círculos congruentes centrados en la curva. Generaliza el concepto de líneas paralelas (rectas) . También se puede definir como una curva cuyos puntos están a una distancia normal constante de una curva dada. ^[1] Estas dos definiciones no son completamente equivalentes, ya que la última supone suavidad , mientras que la primera no. ^[2]

En el diseño asistido por ordenador, el término preferido para una curva paralela es curva descentrada . ^{[2] [3] [4]} (En otros contextos geométricos, el término descentrado también puede referirse a la traslación . ^[5] ) Las curvas descentradas son importantes, por ejemplo, en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen, por ejemplo, la forma del corte realizado por una herramienta de corte redonda de una máquina de dos ejes. La forma del corte está descentrada con respecto a la trayectoria del cortador por una distancia constante en la dirección normal a la trayectoria del cortador en cada punto. ^[6]

En el área de gráficos de computadora 2D, conocida como gráficos vectoriales , el cálculo (aproximado) de curvas paralelas está involucrado en una de las operaciones de dibujo fundamentales, llamada trazo, que generalmente se aplica a polilíneas o polibéiseres (a su vez llamados trayectorias) en ese campo. ^[7]

Excepto en el caso de una línea o un círculo , las curvas paralelas tienen una estructura matemática más complicada que la curva progenitora. ^[1] Por ejemplo, incluso si la curva progenitora es suave , sus desplazamientos pueden no serlo; esta propiedad se ilustra en la figura superior, utilizando una curva sinusoidal como curva progenitora. ^[2] En general, incluso si una curva es racional , sus desplazamientos pueden no serlo. Por ejemplo, los desplazamientos de una parábola son curvas racionales, pero los desplazamientos de una elipse o de una hipérbola no son racionales, aunque estas curvas progenitoras sí lo sean. ^[3]

La noción también se generaliza a superficies 3D , donde se denomina superficie desplazada o superficie paralela . ^[8] Aumentar un volumen sólido mediante una distancia desplazada (constante) a veces se denomina dilatación . ^[9] La operación opuesta a veces se denomina descascarillado . ^[8] Las superficies desplazadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una máquina de tres ejes. ^[10] Otras formas de brocas de corte se pueden modelar matemáticamente mediante superficies desplazadas generales. ^[11]

Curva paralela de una curva dada paramétricamente

Si se dispone de una representación paramétrica regular de la curva dada, la segunda definición de una curva paralela (véase más arriba) conduce a la siguiente representación paramétrica de la curva paralela con la distancia : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$con la unidad normal . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

En coordenadas cartesianas:

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

El parámetro de distancia puede ser negativo. En este caso, se obtiene una curva paralela en el lado opuesto de la curva (ver diagrama de curvas paralelas de un círculo). Se puede comprobar fácilmente que una curva paralela de una línea es una línea paralela en el sentido común, y la curva paralela de un círculo es un círculo concéntrico. ${\displaystyle d}$

Propiedades geométricas:[12]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$esto significa: los vectores tangentes para un parámetro fijo son paralelos.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }$con la curvatura de la curva dada y la curvatura de la curva paralela para el parámetro . ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle k_{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$con el radio de curvatura de la curva dada y el radio de curvatura de la curva paralela para el parámetro . ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle R_{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$
• Cuando existen, los círculos osculadores de las curvas paralelas en los puntos correspondientes son concéntricos. ^[13]
• Al igual que las líneas paralelas , una línea normal a una curva también es normal a sus paralelas.
• Cuando se construyen curvas paralelas, tendrán vértices cuando la distancia desde la curva coincida con el radio de curvatura . Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .
• Si la curva progenitora es un límite de un conjunto plano y su curva paralela no tiene autointersecciones, entonces esta última es el límite de la suma de Minkowski del conjunto plano y el disco del radio dado.

Si la curva dada es polinómica (es decir, y son polinomios), entonces las curvas paralelas normalmente no son polinómicas. En el área de CAD esto es un inconveniente, porque los sistemas CAD utilizan polinomios o curvas racionales. Para obtener al menos curvas racionales, la raíz cuadrada de la representación de la curva paralela tiene que ser solucionable. Estas curvas se denominan curvas hodógrafas pitagóricas y fueron investigadas por RT Farouki. ^[14] ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

Curvas paralelas de una curva implícita

Curvas paralelas de la curva implícita (roja) con ecuación ${\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0}$

En general, no es posible la representación analítica de una curva paralela o de una curva implícita . Sólo en los casos simples de líneas y círculos las curvas paralelas se pueden describir fácilmente. Por ejemplo:

Línea → función de distancia: (forma normal de Hesse) ${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$ ${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$

Función círculo → distancia: ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$ ${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

En general, suponiendo ciertas condiciones, se puede demostrar la existencia de una función de distancia orientada . En la práctica, hay que tratarla numéricamente. ^[15] Considerando curvas paralelas, se cumple lo siguiente: ${\displaystyle h(x,y)}$

• La curva paralela para la distancia d es el conjunto de niveles de la función de distancia orientada correspondiente . ${\displaystyle h(x,y)=d}$ ${\displaystyle h}$

Propiedades de la función distancia:[12][16]

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

Ejemplo:
El diagrama muestra curvas paralelas de la curva implícita con ecuación Observación: Las curvas no son curvas paralelas, porque no es cierto en el área de interés. ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$
${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$ ${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$

Más ejemplos

Involutas de un círculo

• Las involutas de una curva dada son un conjunto de curvas paralelas. Por ejemplo: las involutas de un círculo son espirales paralelas (ver diagrama).

Y: ^[17]

• Una parábola tiene como desfases (bilaterales) curvas racionales de grado 6.
• Una hipérbola o una elipse tiene como desfases (bilaterales) una curva algebraica de grado 8.
• Una curva de Bézier de grado n tiene como desplazamientos (bilaterales) curvas algebraicas de grado 4 n − 2 . En particular, una curva de Bézier cúbica tiene como desplazamientos (bilaterales) curvas algebraicas de grado 10.

Curva paralela a una curva con una esquina

Curvas paralelas a una curva con una normal discontinua alrededor de una esquina

Al determinar la trayectoria de corte de una pieza con una esquina aguda para mecanizar , debe definir la curva paralela (desplazada) a una curva dada que tiene una normal discontinua en la esquina. Aunque la curva dada no sea suave en la esquina aguda, su curva paralela puede ser suave con una normal continua, o puede tener cúspides cuando la distancia desde la curva coincide con el radio de curvatura en la esquina aguda.

Ventiladores normales

Como se describió anteriormente, la representación paramétrica de una curva paralela, , a una curva dada, , con distancia es: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$con la unidad normal . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

En una esquina aguda ( ), la normal a dada por es discontinua, lo que significa que el límite unilateral de la normal desde la izquierda es desigual al límite desde la derecha . Matemáticamente, ${\displaystyle t=t_{c}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$.

Abanico normal para definir curvas paralelas alrededor de una esquina aguda

Sin embargo, podemos definir un abanico normal ^[11] que proporciona un interpolante entre y , y usar en lugar de en la esquina aguda: ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$dónde . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

La definición resultante de la curva paralela proporciona el comportamiento deseado: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

Algoritmos

En general, la curva paralela de una curva de Bézier no es otra curva de Bézier, resultado demostrado por Tiller y Hanson en 1984. ^[18] Por lo tanto, en la práctica, se utilizan técnicas de aproximación. Cualquier nivel deseado de precisión es posible subdividiendo repetidamente la curva, aunque las mejores técnicas requieren menos subdivisiones para alcanzar el mismo nivel de precisión. Una encuesta de 1997 realizada por Elber, Lee y Kim ^[19] es ampliamente citada, aunque más recientemente se han propuesto mejores técnicas. Una técnica moderna basada en el ajuste de curvas , con referencias y comparaciones con otros algoritmos, así como con el código fuente de JavaScript de código abierto, se publicó en una entrada de blog ^[20] en septiembre de 2022.

Otro algoritmo eficiente para la compensación es el enfoque de nivel descrito por Kimmel y Bruckstein (1993). ^[21]

Superficies paralelas (desplazadas)

Superficie desplazada de una forma irregular compleja

Las superficies desplazadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una fresa de tres ejes. ^[10] Si hay una representación paramétrica regular disponible de la superficie dada, la segunda definición de una curva paralela (ver arriba) se generaliza a la siguiente representación paramétrica de la superficie paralela con la distancia : ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$con la unidad normal . ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$

El parámetro de distancia también puede ser negativo. En este caso, se obtiene una superficie paralela en el lado opuesto de la superficie (ver diagrama similar sobre las curvas paralelas de un círculo). Se puede comprobar fácilmente: una superficie paralela de un plano es un plano paralelo en el sentido común y la superficie paralela de una esfera es una esfera concéntrica. ${\displaystyle d}$

Propiedades geométricas:[22]

• ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$esto significa: los vectores tangentes para parámetros fijos son paralelos.
• ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$esto significa: los vectores normales para parámetros fijos coinciden con la dirección.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$donde y son los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principal son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$donde y son los inversos de los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Los radios de curvatura principales son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su traza .

Nótese la similitud con las propiedades geométricas de las curvas paralelas.

Generalizaciones

El problema se generaliza de manera bastante obvia a dimensiones superiores, por ejemplo, a superficies desplazadas, y de manera ligeramente menos trivial a superficies de tuberías . ^[23] Nótese que la terminología para las versiones de dimensiones superiores varía incluso más ampliamente que en el caso plano, por ejemplo, otros autores hablan de fibras paralelas, cintas y tubos. ^[24] Para curvas incrustadas en superficies 3D, el desplazamiento puede tomarse a lo largo de una geodésica . ^[25]

Otra forma de generalizarlo es (incluso en 2D) considerar una distancia variable, por ejemplo parametrizada por otra curva. ^[22] Se puede por ejemplo trazar (envolver) con una elipse en lugar de un círculo ^[22] como es posible por ejemplo en METAFONT . ^[26]

Una envolvente de elipses que forman dos curvas generales desplazadas por encima y por debajo de una curva dada

Más recientemente, Adobe Illustrator ha añadido una función similar en la versión CS5 , aunque los puntos de control para el ancho variable se especifican visualmente. ^[27] En contextos donde es importante distinguir entre desplazamiento de distancia constante y variable, a veces se utilizan las siglas CDO y VDO. ^[9]

Curvas de desplazamiento generales

Supongamos que tiene una representación paramétrica regular de una curva, , y tiene una segunda curva que puede parametrizarse por su normal unitaria, , donde la normal de (esta parametrización por normal existe para curvas cuya curvatura es estrictamente positiva o negativa, y por lo tanto convexa, suave y no recta). La representación paramétrica de la curva de desplazamiento general de desplazamiento por es: ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$¿Dónde está la unidad normal de ? ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$

Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, , le proporciona curvas paralelas (también conocidas como desplazamiento) ordinarias. ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Propiedades geométricas:^[22]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$esto significa: los vectores tangentes para un parámetro fijo son paralelos.
• Al igual que en el caso de las líneas paralelas , una normal a una curva también es normal a sus desplazamientos generales.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$con la curvatura de la curva de desplazamiento general, la curvatura de y la curvatura de para el parámetro . ${\displaystyle k_{d}(t)}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle k_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$con el radio de curvatura de la curva de desplazamiento general, el radio de curvatura de y el radio de curvatura de para el parámetro . ${\displaystyle R_{d}(t)}$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle R_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ ${\displaystyle t}$
• Cuando se construyen curvas de desplazamiento general, tendrán vértices cuando la curvatura de la curva coincida con la curvatura del desplazamiento. Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .

Superficies descentradas generales

Las superficies descentradas generales describen la forma de los cortes realizados por una variedad de brocas de corte utilizadas por fresas de tres ejes en el mecanizado controlado numéricamente . ^[11] Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie, , y tiene una segunda superficie que puede parametrizarse por su normal unitaria, , donde la normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie descentrada general de descentrada por es: ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$¿Dónde está la unidad normal de ? ${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$

Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, , le proporciona superficies paralelas ordinarias (también conocidas como desplazadas). ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Propiedades geométricas:^[22]

• En cuanto a las líneas paralelas , el plano tangente de una superficie es paralelo al plano tangente de sus desplazamientos generales.
• Al igual que en el caso de las líneas paralelas , una normal a una superficie también es normal a sus desplazamientos generales.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$donde y son los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d},S,}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principal son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$donde y son los inversos de los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$ ${\displaystyle S_{n}^{-1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

Los radios de curvatura principales son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su traza .

Nótese la similitud con las propiedades geométricas de las curvas de desplazamiento generales.

Derivación de propiedades geométricas para desplazamientos generales

Las propiedades geométricas enumeradas anteriormente para curvas y superficies de desplazamiento general se pueden derivar para desplazamientos de dimensión arbitraria. Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie n-dimensional, , donde la dimensión de es n-1. Suponga también que tiene una segunda superficie n-dimensional que se puede parametrizar por su normal unitaria, , donde la normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de desplazamiento por es: ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$donde es la normal unitaria de . (El desplazamiento trival, , proporciona superficies paralelas ordinarias). ${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

En primer lugar, observe que la normal de la normal de por definición. Ahora, aplicaremos la diferencial con respecto a , lo que nos da sus vectores tangentes que abarcan su plano tangente. ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Tenga en cuenta que los vectores tangentes para son la suma de los vectores tangentes para y su desplazamiento , que comparten la misma normal unitaria. Por lo tanto, la superficie de desplazamiento general comparte el mismo plano tangente y normal con y . Esto coincide con la naturaleza de las envolventes. ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Ahora consideramos las ecuaciones de Weingarten para el operador de forma , que se puede escribir como . Si es invertible, . Recordemos que las curvaturas principales de una superficie son los valores propios del operador de forma, las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza . La inversa del operador de forma tiene estos mismos valores para los radios de curvatura. ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$

Sustituyendo en la ecuación la diferencial de , obtenemos: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$¿Dónde está el operador de forma para ? ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

A continuación, utilizamos nuevamente las ecuaciones de Weingarten para reemplazar : ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$¿Dónde está el operador de forma para ? ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$

Luego, resolvemos y multiplicamos ambos lados por para volver a las ecuaciones de Weingarten , esta vez para : ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$ ${\displaystyle -S}$ ${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

Por lo tanto, , e invirtiendo ambos lados nos da, . ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$ ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$

Véase también

• Mapeo de relieve
• Función de distancia y función de distancia con signo
• Campo de distancia
• Impresión offset
• Barrio tubular

Referencias

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27. http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 aplicación de la versión generalizada en Adobe Illustrator CS5 (también vídeo)

• Josef Hoschek: Curvas desplazadas en el plano. En: CAD. 17 (1985), págs. 77–81.
• Takashi Maekawa: Una descripción general de curvas y superficies desplazadas. En: CAD. 31 (1999), págs. 165–173.

Lectura adicional

• Farouki, RT; Neff, CA (1990). "Propiedades analíticas de curvas descentradas en el plano". Diseño geométrico asistido por ordenador . 7 (1–4): 83–99. doi :10.1016/0167-8396(90)90023-K.
• Piegl, Les A. (1999). "Cálculo de desplazamientos de curvas y superficies NURBS". Diseño asistido por ordenador . 31 (2): 147–156. CiteSeerX  10.1.1.360.2793 . doi :10.1016/S0010-4485(98)00066-9.
• Porteous, Ian R. (2001). Diferenciación geométrica: para la inteligencia de curvas y superficies (2.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 1–25. ISBN 978-0-521-00264-6.
• Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi (2010) [2002]. Interrogación de formas para diseño y fabricación asistidos por ordenador . Springer Science & Business Media. Capítulo 11. Curvas y superficies desplazadas. ISBN 978-3-642-04074-0.Versión online gratuita.
• Anton, François; Emiris, Ioannis Z.; Mourrain, Bernard; Teillaud, Monique (mayo de 2005). "El conjunto O de una curva algebraica y una aplicación a las cónicas". Conferencia internacional sobre ciencia computacional y sus aplicaciones . Singapur: Springer Verlag. págs. 683–696.
• Farouki, Rida T. (2008). Curvas pitagóricas-hodógrafas: álgebra y geometría inseparables . Springer Science & Business Media. págs. 141–178. ISBN 978-3-540-73397-3.Las páginas enumeradas contienen material general e introductorio.
• Au, CK; Ma, Y.-S. (2013). "Cálculo de curvas de desplazamiento mediante una función de distancia: cómo abordar un desafío clave en la generación de trayectorias de herramientas de corte". En Ma, Y.-S. (ed.). Modelado semántico e interoperabilidad en ingeniería de productos y procesos: una tecnología para la informática de ingeniería . Springer Science & Business Media. págs. 259–273. ISBN 978-1-4471-5073-2.

Enlaces externos

• Curvas paralelas en MathWorld
• Diccionario visual de curvas planas Xah Lee
• http://library.imageworks.com/pdfs/imageworks-library-offset-curve-deformation-from-Skeletal-Anima.pdf aplicación a la animación; patentada como patente estadounidense 8.400.455
• http://www2.uah.es/fsegundo/Otros/Offset/16-SanSegundoSendraSendra-1532.pdf