Implementación de las matemáticas en la teoría de conjuntos

Este artículo examina la implementación de conceptos matemáticos en la teoría de conjuntos . La implementación de una serie de conceptos matemáticos básicos se lleva a cabo en paralelo en ZFC (la teoría de conjuntos dominante) y en NFU , la versión de los Nuevos Fundamentos de Quine que RB Jensen demostró que era consistente en 1969 (que aquí se entiende que incluye al menos los axiomas de Infinito y Elección ).

Lo que aquí se dice se aplica también a dos familias de teorías de conjuntos: por un lado, una gama de teorías que incluyen la teoría de conjuntos de Zermelo, cerca del extremo inferior de la escala, y que llega hasta ZFC, ampliada con hipótesis de grandes cardinales, como "hay un cardinal medible "; y, por otro lado, una jerarquía de extensiones de NFU que se examina en el artículo de New Foundations . Estas corresponden a diferentes puntos de vista generales sobre cómo es el universo de la teoría de conjuntos, y son los enfoques de implementación de conceptos matemáticos bajo estos dos puntos de vista generales los que se están comparando y contrastando.

El objetivo principal de este artículo no es decir nada sobre los méritos relativos de estas teorías como fundamentos de las matemáticas. La razón para utilizar dos teorías de conjuntos diferentes es demostrar que son posibles múltiples enfoques para la implementación de las matemáticas. Precisamente por este enfoque, este artículo no es una fuente de definiciones "oficiales" de ningún concepto matemático.

Preliminares

Las siguientes secciones realizan ciertas construcciones en las dos teorías ZFC y NFU y comparan las implementaciones resultantes de ciertas estructuras matemáticas (como los números naturales ).

Las teorías matemáticas prueban teoremas (y nada más). Por lo tanto, decir que una teoría permite la construcción de un cierto objeto significa que es un teorema de esa teoría que ese objeto existe. Esto es un enunciado sobre una definición de la forma "el x tal que existe", donde es una fórmula de nuestro lenguaje : la teoría prueba la existencia de "el x tal que " en el caso de que sea un teorema que "hay uno y sólo un x tal que ". (Véase la teoría de las descripciones de Bertrand Russell .) En sentido amplio, la teoría "define" o "construye" este objeto en este caso. Si el enunciado no es un teorema, la teoría no puede demostrar que el objeto existe; si el enunciado es demostrablemente falso en la teoría, demuestra que el objeto no puede existir; en sentido amplio, el objeto no puede construirse. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

ZFC y NFU comparten el lenguaje de la teoría de conjuntos, por lo que las mismas definiciones formales "el x tal que " pueden contemplarse en las dos teorías. Una forma específica de definición en el lenguaje de la teoría de conjuntos es la notación constructora de conjuntos : significa "el conjunto A tal que para todo x, " (A no puede ser libre en ). Esta notación admite ciertas extensiones convencionales: es sinónimo de ; se define como , donde es una expresión ya definida. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ ${\displaystyle x\in A\leftrightarrow \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{x\in B\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in B\wedge \phi \}}$ ${\displaystyle \{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Las expresiones definibles en la notación de constructor de conjuntos tienen sentido tanto en ZFC como en NFU: puede ser que ambas teorías demuestren que una definición dada es correcta, o que ninguna lo haga (la expresión no hace referencia a nada en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica; en teorías de clases como NBG esta notación sí hace referencia a una clase, pero se define de manera diferente), o que una lo haga y la otra no. Además, un objeto definido de la misma manera en ZFC y NFU puede resultar tener propiedades diferentes en las dos teorías (o puede haber una diferencia en lo que se puede demostrar cuando no hay una diferencia demostrable entre sus propiedades). ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$

Además, la teoría de conjuntos importa conceptos de otras ramas de las matemáticas (en realidad, todas las ramas de las matemáticas). En algunos casos, hay diferentes formas de importar los conceptos a ZFC y NFU. Por ejemplo, la definición habitual del primer ordinal infinito en ZFC no es adecuada para NFU porque no se puede demostrar que el objeto (definido en lenguaje puramente teórico de conjuntos como el conjunto de todos los ordinales de von Neumann finitos ) exista en NFU. La definición habitual de en NFU es (en lenguaje puramente teórico de conjuntos) el conjunto de todos los ordenamientos infinitos cuyos segmentos iniciales propios son finitos, un objeto que se puede demostrar que no existe en ZFC. En el caso de tales objetos importados, puede haber diferentes definiciones, una para su uso en ZFC y teorías relacionadas, y otra para su uso en NFU y teorías relacionadas. Para que estas "implementaciones" de conceptos matemáticos importados tengan sentido, es necesario poder demostrar que las dos interpretaciones paralelas tienen las propiedades esperadas: por ejemplo, las implementaciones de los números naturales en ZFC y NFU son diferentes, pero ambas son implementaciones de la misma estructura matemática, porque ambas incluyen definiciones para todos los primitivos de la aritmética de Peano y satisfacen (las traducciones de) los axiomas de Peano. Entonces es posible comparar lo que sucede en las dos teorías como cuando solo se utiliza el lenguaje teórico de conjuntos, siempre que se entienda que las definiciones apropiadas para ZFC se utilizan en el contexto de ZFC y que las definiciones apropiadas para NFU se entienden que se utilizan en el contexto de NFU. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Todo lo que se demuestra que existe en una teoría, claramente existe de manera demostrable en cualquier extensión de esa teoría; además, el análisis de la prueba de que un objeto existe en una teoría dada puede mostrar que existe en versiones más débiles de esa teoría (uno puede considerar la teoría de conjuntos de Zermelo en lugar de ZFC para gran parte de lo que se hace en este artículo, por ejemplo).

Conjunto vacío, singleton, pares desordenados y tuplas

Estas construcciones aparecen primero porque son las más simples en la teoría de conjuntos, no porque sean las primeras que se nos ocurren en matemáticas (aunque la noción de conjunto finito es ciertamente fundamental). Aunque la NFU también permite la construcción de elementos originales de un conjunto que aún no se han convertido en miembros de un conjunto, el conjunto vacío es el único conjunto sin miembros:

${\displaystyle \left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}}$

Para cada objeto , existe un conjunto que tiene como único elemento: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}}$

Para los objetos y , existe un conjunto que contiene a y como sus únicos elementos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}}$

La unión de dos conjuntos se define de la forma habitual:

${\displaystyle \left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}}$

Esta es una definición recursiva de -tuplas desordenadas para cualquier concreto (conjuntos finitos dados como listas de sus elementos:) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}}$

En NFU, todas las definiciones de conjuntos dadas funcionan por comprensión estratificada; en ZFC, la existencia del par desordenado está dada por el Axioma de Emparejamiento , la existencia del conjunto vacío se sigue por Separación de la existencia de cualquier conjunto, y la unión binaria de dos conjuntos existe por los axiomas de Emparejamiento y Unión ( ). ${\displaystyle x\cup y=\bigcup \{x,y\}}$

Par ordenado

En primer lugar, considere el par ordenado . La razón por la que esto viene primero es técnica: los pares ordenados son necesarios para implementar relaciones y funciones , que son necesarias para implementar otros conceptos que pueden parecer anteriores. La primera definición del par ordenado fue la definición propuesta por Norbert Wiener en 1914 en el contexto de la teoría de tipos de Principia Mathematica . Wiener observó que esto permitía la eliminación de tipos de relaciones n -arias para n > 1 del sistema de ese trabajo. Ahora es más habitual utilizar la definición , debido a Kuratowski . Cualquiera de estas definiciones funciona tanto en ZFC como en NFU. En NFU, estas dos definiciones tienen una desventaja técnica: el par ordenado de Kuratowski es dos tipos más alto que sus proyecciones, mientras que el par ordenado de Wiener es tres tipos más alto. Es común postular la existencia de un par ordenado a nivel de tipo (un par que es del mismo tipo que sus proyecciones ) en NFU. Es conveniente utilizar el par de Kuratowski en ambos sistemas hasta que el uso de pares a nivel de tipo pueda justificarse formalmente. Los detalles internos de estas definiciones no tienen nada que ver con su función matemática real. Para cualquier noción de par ordenado, lo que importa es que satisfaga la condición definitoria. ${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$ ${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle (x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w}$

…y que sea razonablemente fácil agrupar pares ordenados en conjuntos.

Relaciones

Las relaciones son conjuntos cuyos miembros son todos pares ordenados . Siempre que sea posible, una relación (entendida como un predicado binario ) se implementa como (que puede escribirse como ). Cuando es una relación, la notación significa . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid xRy\}}$ ${\displaystyle \{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)\in R}$

En ZFC, algunas relaciones (como la relación de igualdad general o la relación de subconjunto en conjuntos) son 'demasiado grandes' para ser conjuntos (pero pueden ser cosificadas sin causar daño como clases propias ). En NFU, algunas relaciones (como la relación de pertenencia) no son conjuntos porque sus definiciones no están estratificadas: en , y necesitarían tener el mismo tipo (porque aparecen como proyecciones del mismo par), pero también tipos sucesivos (porque se considera como un elemento de ). ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Definiciones relacionadas

Sean y dadas relaciones binarias . En ese caso, los siguientes conceptos son útiles: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

La inversa de es la relación . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{\left(y,x\right):xRy\right\}}$

El dominio de es el conjunto . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{x:\exists y\left(xRy\right)\right\}}$

El rango de es el dominio del inverso de . Es decir, el conjunto . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{y:\exists x\left(xRy\right)\right\}}$

El campo de es la unión del dominio y el rango de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

La preimagen de un miembro del campo de es el conjunto (usado en la definición de 'bien fundado' a continuación). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \left\{y:yRx\right\}}$

El cierre hacia abajo de un miembro del campo de es el conjunto más pequeño que contiene a , y que contiene a cada uno para cada (es decir, incluye la preimagen de cada uno de sus elementos con respecto a como un subconjunto). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle zRy}$ ${\displaystyle y\in D}$ ${\displaystyle R}$

El producto relativo de y es la relación . ${\displaystyle R|S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,z\right):\exists y\,\left(xRy\wedge ySz\right)\right\}}$

Tenga en cuenta que con nuestra definición formal de una relación binaria, el rango y el codominio de una relación no se distinguen. Esto se podría hacer representando una relación con codominio como , pero nuestro desarrollo no lo requerirá. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \left(R,B\right)}$

En ZFC, cualquier relación cuyo dominio sea un subconjunto de un conjunto y cuyo rango sea un subconjunto de un conjunto será un conjunto, ya que el producto cartesiano es un conjunto (al ser una subclase de ), y la separación prevé la existencia de . En NFU, algunas relaciones con alcance global (como igualdad y subconjunto) se pueden implementar como conjuntos. En NFU, tenga en cuenta que y son tres tipos inferiores a en (un tipo inferior si se utiliza un par ordenado a nivel de tipo). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B=\left\{\left(a,b\right):a\in A\wedge b\in B\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(A\cup B\right)}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,y\right)\in A\times B:xRy\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$

Propiedades y tipos de relaciones

Una relación binaria es: ${\displaystyle R}$

• Reflexivo sipara cadaen el campo de. ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$
• Simétrico si. ${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\to yRx)}$
• Transitivo si. ${\displaystyle \forall x,y,z\,(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)}$
• Antisimétrico si. ${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)}$
• Bien fundado si para cada conjuntoque cumple el cuerpo de,cuya preimagen bajono cumple. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ \exists x\in S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$
• Extensional si para cada en el campo de , si y sólo si y tienen la misma preimagen bajo . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$

Las relaciones que tienen determinadas combinaciones de las propiedades anteriores tienen nombres estándar. Una relación binaria es: ${\displaystyle R}$

• Una relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva. ${\displaystyle R}$
• Un orden parcial es reflexivo, antisimétrico y transitivo. ${\displaystyle R}$
• Un orden lineal si es un orden parcial y para cada en el campo de , o . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$
• Un buen orden es un orden lineal y bien fundado. ${\displaystyle R}$
• Una imagen de conjunto si está bien fundada y es extensional, y el campo de cualquiera de ellos es igual al cierre hacia abajo de uno de sus miembros (llamado su elemento superior ), o está vacío. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Funciones

Una relación funcional es un predicado binario tal que Tal relación ( predicado ) se implementa como una relación (conjunto) exactamente como se describió en la sección anterior. Entonces el predicado es implementado por el conjunto . Una relación es una función si y solo si Por lo tanto, es posible definir la función de valor como el único objeto tal que  – es decir: está -relacionada con tal que la relación se cumple entre y  – o como el único objeto tal que . La presencia en ambas teorías de predicados funcionales que no son conjuntos hace que sea útil permitir la notación tanto para conjuntos como para predicados funcionales importantes. Mientras uno no cuantifique sobre funciones en el último sentido, todos esos usos son en principio eliminables. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,y\right):xFy\right\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xFy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)\in F}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle F}$

Fuera de la teoría formal de conjuntos, normalmente especificamos una función en términos de su dominio y codominio, como en la frase "Sea una función". El dominio de una función es simplemente su dominio como una relación, pero aún no hemos definido el codominio de una función. Para ello, introducimos la terminología de que una función es de a si su dominio es igual a y su rango está contenido en . De esta manera, cada función es una función de su dominio a su rango, y una función de a es también una función de a para cualquier conjunto que contenga . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$

De hecho, no importa qué conjunto consideremos como codominio de una función, la función no cambia como conjunto ya que por definición es solo un conjunto de pares ordenados. Es decir, una función no determina su codominio por nuestra definición. Si esto no le parece atractivo, puede definir una función como el par ordenado , donde es una relación funcional y es su codominio, pero no adoptamos este enfoque en este artículo (de manera más elegante, si primero define ternas ordenadas, por ejemplo, como , entonces podría definir una función como la terna ordenada para incluir también el dominio). Nótese que el mismo problema existe para las relaciones: fuera de la teoría formal de conjuntos, generalmente decimos "Sea una relación binaria", pero formalmente es un conjunto de pares ordenados tales que y . ${\displaystyle (f,B)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(x,(y,z))}$ ${\displaystyle (f,A,B)}$ ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{dom}}\,R\subseteq A}$ ${\displaystyle {\text{ran}}\,R\subseteq B}$

En NFU, tiene el mismo tipo que , y es tres tipos superior a (un tipo superior, si se utiliza un par ordenado a nivel de tipo). Para resolver este problema, se podría definir como para cualquier conjunto , pero esto se escribe de manera más conveniente como . Entonces, si es un conjunto y es cualquier relación funcional, el Axioma de Reemplazo asegura que es un conjunto en ZFC . En NFU, y ahora tienen el mismo tipo, y es dos tipos superior a (el mismo tipo, si se utiliza un par ordenado a nivel de tipo). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$ ${\displaystyle \left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left[A\right]}$

La función tal que no es un conjunto en ZFC porque es "demasiado grande". es sin embargo un conjunto en NFU. La función (predicado) tal que no es ni una función ni un conjunto en ninguna de las teorías; en ZFC, esto es cierto porque tal conjunto sería demasiado grande y, en NFU, esto es cierto porque su definición no estaría estratificada . Además, se puede demostrar que no existe en NFU (véase la resolución de la paradoja de Cantor en New Foundations ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\!\left(x\right)=x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}}$ ${\displaystyle S}$

Operaciones sobre funciones

Sean y funciones arbitrarias. La composición de y , , se define como el producto relativo , pero solo si esto da como resultado una función tal que también es una función, con , si el rango de es un subconjunto del dominio de . La inversa de , , se define como la inversa de si esta es una función. Dado cualquier conjunto , la función identidad es el conjunto , y este es un conjunto tanto en ZFC como en NFU por diferentes razones. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\,|\,g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \left(g\circ f\right)\!\left(x\right)=g\!\left(f\!\left(x\right)\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\left(-1\right)}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i_{A}}$ ${\displaystyle \left\{\left(x,x\right)\mid x\in A\right\}}$

Tipos especiales de funciones

Una función de a es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

• Inyección deasi las imágenes bajode miembros distintos deson miembros distintos de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Sobreyección deasi el rango dees. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$
• La biyección deasies a la vez una inyección y una sobreyección. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$

Definir funciones como pares ordenados o triples ordenados tiene la ventaja de que no tenemos que introducir la terminología de ser una función "de a ", y que podemos hablar de "ser sobreyectivo" directamente en lugar de solo poder hablar de "ser sobreyectivo ". ${\displaystyle (f,B)}$ ${\displaystyle (f,A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Tamaño de los conjuntos

Tanto en ZFC como en NFU , dos conjuntos A y B tienen el mismo tamaño (o son equinumerosos ) si y solo si hay una biyección f de A a B. Esto se puede escribir como , pero tenga en cuenta que (por el momento) esto expresa una relación entre A y B en lugar de una relación entre objetos aún no definidos y . Denote esta relación por en contextos como la definición real de los cardinales donde incluso la apariencia de presuponer cardinales abstractos debe evitarse. ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle A\sim B}$

De manera similar, defina como válida si y sólo si hay una inyección de A a B. ${\displaystyle |A|\leq |B|}$

Es sencillo demostrar que la relación de equinumeridad es una relación de equivalencia : la equinumeridad de A con A está atestiguada por ; si f atestigua , entonces atestigua ; y si f atestigua y g atestigua , entonces atestigua . ${\displaystyle i_{A}}$ ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle |B|=|A|}$ ${\displaystyle |A|=|B|}$ ${\displaystyle |B|=|C|}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle |A|=|C|}$

Se puede demostrar que es un orden lineal en cardinales abstractos, pero no en conjuntos. La reflexividad es obvia y la transitividad se demuestra igual que para la equinumeridad. El teorema de Schröder-Bernstein , demostrable en ZFC y NFU de una manera completamente estándar, establece que ${\displaystyle |A|\leq |B|}$

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|}$

(esto establece antisimetría en los cardinales), y

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|}$

se sigue de manera estándar en ambas teorías del axioma de elección .

Conjuntos finitos y números naturales

Los números naturales pueden considerarse como ordinales finitos o cardinales finitos. En este caso, considérelos como números cardinales finitos. Este es el primer punto en el que se hace evidente una diferencia importante entre las implementaciones de ZFC y NFU .

El axioma de infinitud de ZFC nos dice que existe un conjunto A que contiene y contiene para cada . Este conjunto A no está determinado de forma única (se puede hacer más grande conservando esta propiedad de clausura): el conjunto N de números naturales es ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$ ${\displaystyle y\in A}$

• ${\displaystyle \{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}}$

que es la intersección de todos los conjuntos que contienen el conjunto vacío y están cerrados bajo la operación "sucesor" . ${\displaystyle y\mapsto y\cup \{y\}}$

En ZFC, un conjunto es finito si y solo si existe tal que : además, defina como este n para A finito . (Se puede demostrar que no hay dos números naturales distintos del mismo tamaño). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle |n|=|A|}$ ${\displaystyle |A|}$

Las operaciones aritméticas habituales se pueden definir de forma recursiva y en un estilo muy similar al que se utiliza para definir el propio conjunto de los números naturales. Por ejemplo, + (la operación de adición de números naturales) se puede definir como el conjunto más pequeño que contiene para cada número natural y contiene siempre que contenga . ${\displaystyle ((x,\emptyset ),x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})}$ ${\displaystyle ((x,y),z)}$

En NFU, no es obvio que se pueda utilizar este enfoque, ya que la operación sucesora no está estratificada y, por lo tanto, no se puede demostrar que el conjunto N como se definió anteriormente exista en NFU (es consistente que el conjunto de ordinales finitos de von Neumann exista en NFU, pero esto fortalece la teoría, ya que la existencia de este conjunto implica el Axioma de Conteo (para el cual ver más abajo o el artículo de New Foundations )). ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

La definición estándar de los números naturales, que es en realidad la definición más antigua de la teoría de conjuntos de números naturales , es la de clases de equivalencia de conjuntos finitos en condiciones de equinumeridad. En esencia, la misma definición es apropiada para NFU (esta no es la definición habitual, pero los resultados son los mismos): defina Fin , el conjunto de conjuntos finitos, como

${\displaystyle \{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}}$

Para cualquier conjunto , defina como . Defina N como el conjunto . ${\displaystyle A\in Fin}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle \{B\mid A\sim B\}}$ ${\displaystyle \{|A|\mid A\in Fin\}}$

El axioma de infinitud de NFU se puede expresar como : esto es suficiente para establecer que cada número natural tiene un sucesor no vacío (el sucesor de ser para cualquier ) que es la parte difícil de demostrar que se satisfacen los axiomas de Peano de la aritmética. ${\displaystyle V\not \in Fin}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle |A\cup \{x\}|}$ ${\displaystyle x\not \in A}$

Las operaciones aritméticas se pueden definir de una manera similar a la que se ha dado anteriormente (utilizando la definición de sucesor que acabamos de dar). También se pueden definir de una manera teórica de conjuntos naturales: si A y B son conjuntos finitos disjuntos, defina |A|+|B| como . De manera más formal, defina m+n para m y n en N como ${\displaystyle |A\cup B|}$

${\displaystyle \{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}}$

(Pero tenga en cuenta que este estilo de definición también es factible para los numerales ZFC, pero es más indirecto: la forma de la definición NFU facilita las manipulaciones de conjuntos mientras que la forma de la definición ZFC facilita las definiciones recursivas, pero ambas teorías admiten cualquiera de los dos estilos de definición).

Las dos implementaciones son bastante diferentes. En ZFC, se elige un representante de cada cardinalidad finita (las clases de equivalencia en sí mismas son demasiado grandes para ser conjuntos); en NFU, las clases de equivalencia en sí mismas son conjuntos y, por lo tanto, son una opción obvia para los objetos que reemplazan las cardinalidades. Sin embargo, la aritmética de las dos teorías es idéntica: la misma abstracción se implementa mediante estos dos enfoques superficialmente diferentes.

Relaciones de equivalencia y particiones

Una técnica general para implementar abstracciones en la teoría de conjuntos es el uso de clases de equivalencia. Si una relación de equivalencia R nos dice que los elementos de su cuerpo A son iguales en algún aspecto particular, entonces, para cualquier conjunto x , consideramos que el conjunto representa una abstracción del conjunto x respecto de solo esas características (identificamos elementos de A hasta R ). ${\displaystyle [x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}}$

Para cualquier conjunto A , un conjunto es una partición de A si todos los elementos de P no están vacíos, dos elementos distintos de P son disjuntos y . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A=\bigcup P}$

Para cada relación de equivalencia R con el campo A , es una partición de A . Además, cada partición P de A determina una relación de equivalencia . ${\displaystyle \{[x]_{R}\mid x\in A\}}$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}}$

Esta técnica tiene limitaciones tanto en ZFC como en NFU . En ZFC, dado que el universo no es un conjunto, parece posible abstraer características solo de elementos de dominios pequeños. Esto se puede evitar utilizando un truco debido a Dana Scott : si R es una relación de equivalencia en el universo, defina como el conjunto de todos los y tales que y el rango de y es menor o igual que el rango de cualquier . Esto funciona porque los rangos son conjuntos. Por supuesto, todavía puede haber una clase adecuada de . En NFU, la principal dificultad es que es un tipo superior a x, por lo que, por ejemplo, el "mapa" no es en general una función (conjunto) (aunque es un conjunto). Esto se puede evitar mediante el uso del axioma de elección para seleccionar un representante de cada clase de equivalencia para reemplazar , que será del mismo tipo que x , o eligiendo un representante canónico si hay una forma de hacer esto sin invocar Choice (el uso de representantes tampoco es desconocido en ZFC). En NFU, el uso de construcciones de clases de equivalencia para abstraer propiedades de conjuntos generales es más común, como por ejemplo en las definiciones de números cardinales y ordinales a continuación. ${\displaystyle [x]_{R}}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle zRx}$ ${\displaystyle [x]_{R}}$ ${\displaystyle [x]_{R}}$ ${\displaystyle x\mapsto [x]_{R}}$ ${\displaystyle \{x\}\mapsto [x]_{R}}$ ${\displaystyle [x]_{R}}$

Números ordinales

Dos buenos ordenamientos y son similares y se escriben solo en caso de que exista una biyección f del campo de al campo de tal que para todo x e y . ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}\sim W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)}$

Se demuestra que la similitud es una relación de equivalencia de la misma manera que se demostró que la equinumeridad es una relación de equivalencia anteriormente.

En New Foundations (NFU), el tipo de orden de un buen ordenamiento W es el conjunto de todos los buenos ordenamientos que son similares a W. El conjunto de números ordinales es el conjunto de todos los tipos de orden de los buenos ordenamientos.

Esto no funciona en ZFC , porque las clases de equivalencia son demasiado grandes. Sería formalmente posible utilizar el truco de Scott para definir los ordinales de la misma manera, pero se utiliza más comúnmente un recurso de von Neumann .

Para cualquier orden parcial , el orden parcial estricto correspondiente < se define como . Los órdenes lineales estrictos y los buenos ordenamientos estrictos se definen de manera similar. ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}}$

Se dice que un conjunto A es transitivo si : cada elemento de un elemento de A es también un elemento de A. Un ordinal (von Neumann) es un conjunto transitivo en el que la pertenencia es un buen ordenamiento estricto. ${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$

En ZFC, el tipo de orden de un buen ordenamiento W se define entonces como el ordinal de von Neumann único que es equinumeroso con el campo de W y cuya membresía es isomorfa al buen ordenamiento estricto asociado con W. (la condición de equinumerismo distingue entre buenos ordenamientos con campos de tamaño 0 y 1, cuyos buenos ordenamientos estrictos asociados son indistinguibles).

En ZFC no puede haber un conjunto de todos los ordinales. De hecho, los ordinales de von Neumann son una totalidad inconsistente en cualquier teoría de conjuntos: se puede demostrar con modestos supuestos teóricos de conjuntos que cada elemento de un ordinal de von Neumann es un ordinal de von Neumann y que los ordinales de von Neumann están estrictamente bien ordenados por pertenencia. De ello se deduce que la clase de ordinales de von Neumann sería un ordinal de von Neumann si fuera un conjunto: pero entonces sería un elemento de sí misma, lo que contradice el hecho de que la pertenencia es un estricto buen ordenamiento de los ordinales de von Neumann.

La existencia de tipos de orden para todos los buenos ordenamientos no es un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo : requiere el axioma de reemplazo . Incluso el truco de Scott no se puede utilizar en la teoría de conjuntos de Zermelo sin un supuesto adicional (como el supuesto de que cada conjunto pertenece a un rango que es un conjunto, que no refuerza esencialmente la teoría de conjuntos de Zermelo pero no es un teorema de esa teoría).

En NFU, la colección de todos los ordinales es un conjunto por comprensión estratificada. La paradoja de Burali-Forti se evade de una manera inesperada. Hay un orden natural en los ordinales definido por si y solo si algún (y por lo tanto cualquier) es similar a un segmento inicial de algún (y por lo tanto cualquier) . Además, se puede demostrar que este orden natural es un buen ordenamiento de los ordinales y, por lo tanto, debe tener un tipo de orden . Parecería que el tipo de orden de los ordinales menor que con el orden natural sería , contradiciendo el hecho de que es el tipo de orden de todo el orden natural en los ordinales (y, por lo tanto, no de ninguno de sus segmentos iniciales propios). Pero esto se basa en la intuición de uno (correcta en ZFC) de que el tipo de orden del orden natural en los ordinales menor que es para cualquier ordinal . Esta afirmación no está estratificada, porque el tipo del segundo es cuatro veces mayor que el tipo del primero (dos veces mayor si se usa un par de niveles de tipo). La afirmación que es verdadera y demostrable en NFU es que el tipo de orden del orden natural en los ordinales menores que es para cualquier ordinal , donde es el tipo de orden de para cualquier (es fácil demostrar que esto no depende de la elección de W; note que T eleva el tipo en uno). Por lo tanto, el tipo de orden de los ordinales menores que con el orden natural es , y . Todos los usos de aquí se pueden reemplazar con si se usa un par de tipo-nivel. ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle W_{1}\in \alpha }$ ${\displaystyle W_{2}\in \beta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(\alpha )}$ ${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$ ${\displaystyle W\in \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle T^{4}(\Omega )}$ ${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$ ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

Esto demuestra que la operación T no es trivial, lo que tiene varias consecuencias. De ello se deduce inmediatamente que la función singleton no es un conjunto, ya que, de lo contrario, las restricciones de esta función establecerían la similitud de W y para cualquier W bien ordenado . T es (externamente) biyectiva y preserva el orden. Debido a esto, el hecho establece que es una "secuencia descendente" en los ordinales que no puede ser un conjunto. ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ ${\displaystyle W^{\iota }}$ ${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$ ${\displaystyle \Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots }$

Los ordinales fijados por T se denominan ordinales cantorianos , y los ordinales que dominan sólo ordinales cantorianos (que se demuestra fácilmente que son cantorianos en sí mismos) se dice que son fuertemente cantorianos . No puede haber ningún conjunto de ordinales cantorianos ni ningún conjunto de ordinales fuertemente cantorianos.

Digresión: ordinales de von Neumann en NFU

Es posible razonar sobre los ordinales de von Neumann en NFU . Recordemos que un ordinal de von Neumann es un conjunto transitivo A tal que la restricción de pertenencia a A es un buen orden estricto. Esta es una condición bastante fuerte en el contexto de NFU, ya que la relación de pertenencia implica una diferencia de tipo. Un ordinal de von Neumann A no es un ordinal en el sentido de NFU, sino que pertenece a un ordinal que puede denominarse el tipo de orden de (pertenencia a) A. Es fácil mostrar que el tipo de orden de un ordinal de von Neumann A es cantoriano: para cualquier buen ordenamiento W de tipo de orden , el buen ordenamiento inducido de los segmentos iniciales de W por inclusión tiene tipo de orden (es un tipo superior, de ahí la aplicación de T): pero los tipos de orden del buen ordenamiento de un ordinal de von Neumann A por pertenencia y el buen ordenamiento de sus segmentos iniciales por inclusión son claramente los mismos porque los dos buenos ordenamientos son en realidad la misma relación, de modo que el tipo de orden de A está fijado bajo T. Además, el mismo argumento se aplica a cualquier ordinal más pequeño (que será el tipo de orden de un segmento inicial de A , también un ordinal de von Neumann) de modo que el tipo de orden de cualquier ordinal de von Neumann es fuertemente cantoriano. ${\displaystyle \in \lceil A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(\alpha )}$

Los únicos ordinales de von Neumann cuya existencia se puede demostrar en NFU sin suposiciones adicionales son los finitos concretos. Sin embargo, la aplicación de un método de permutación puede convertir cualquier modelo de NFU en un modelo en el que cada ordinal fuertemente cantoriano es el tipo de orden de un ordinal de von Neumann. Esto sugiere que el concepto de "ordinal fuertemente cantoriano de NFU" podría ser un mejor análogo de "ordinal de ZFC" que el aparente análogo "ordinal de NFU".

Números cardinales

Los números cardinales se definen en NFU de una manera que generaliza la definición de número natural: para cualquier conjunto A , . ${\displaystyle |A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}}$

En ZFC , estas clases de equivalencia son demasiado grandes como es habitual. El truco de Scott podría utilizarse (y de hecho se utiliza en ZF ), que suele definirse como el tipo de orden más pequeño (aquí un ordinal de von Neumann) de un buen ordenamiento de A (que todo conjunto puede estar bien ordenado se deduce del axioma de elección de la forma habitual en ambas teorías). ${\displaystyle |A|}$

El orden natural de los números cardinales se considera un buen ordenamiento: es reflexivo, antisimétrico (en cardinales abstractos, que ahora están disponibles) y transitivo, como se ha demostrado anteriormente. El hecho de que se trate de un orden lineal se desprende del axioma de elección: dos conjuntos están bien ordenados y un segmento inicial de uno de ellos será isomorfo al otro, de modo que un conjunto tendrá una cardinalidad menor que la del otro. El hecho de que se trate de un buen ordenamiento se desprende del axioma de elección de forma similar.

Con cada cardinal infinito, muchos tipos de orden se asocian por las razones habituales (en cualquier teoría de conjuntos).

El teorema de Cantor muestra (en ambas teorías) que hay distinciones no triviales entre números cardinales infinitos. En ZFC , se demuestra En NFU , la forma usual del teorema de Cantor es falsa (consideremos el caso A=V), pero el teorema de Cantor es una declaración mal tipificada. La forma correcta del teorema en NFU es , donde es el conjunto de subconjuntos de un elemento de A. muestra que hay "menos" singletons que conjuntos (ya se ha visto que la obvia biyección de a V no es un conjunto). En realidad, es demostrable en NFU + Choice que (donde señala la existencia de muchos cardinales intermedios; ¡hay muchos, muchos urelementos!). Defina una operación T de elevación de tipo sobre cardinales análoga a la operación T sobre ordinales: ; este es un endomorfismo externo de los cardinales así como la operación T sobre ordinales es un endomorfismo externo de los ordinales. ${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$ ${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$ ${\displaystyle P_{1}(A)}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$ ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ ${\displaystyle P_{1}(V)}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$

Se dice que un conjunto A es cantoriano en el caso de que ; también se dice que el cardinal es un cardinal cantoriano. Se dice que un conjunto A es fuertemente cantoriano (y que su cardinal también es fuertemente cantoriano) en el caso de que la restricción de la función singleton a A ( ) sea un conjunto. Los buenos ordenamientos de conjuntos fuertemente cantorianos son siempre ordinales fuertemente cantorianos; esto no siempre es cierto para los buenos ordenamientos de conjuntos cantorianos (aunque el buen ordenamiento más corto de un conjunto cantoriano será cantoriano). Un conjunto cantoriano es un conjunto que satisface la forma usual del teorema de Cantor. ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

Las operaciones de aritmética cardinal se definen de una manera motivada por la teoría de conjuntos en ambas teorías. . A uno le gustaría definir como , y esto se hace en ZFC , pero hay una obstrucción en NFU cuando se usa el par de Kuratowski: uno define como debido al desplazamiento de tipo de 2 entre el par y sus proyecciones, lo que implica un desplazamiento de tipo de dos entre un producto cartesiano y sus factores. Es sencillo demostrar que el producto siempre existe (pero requiere atención porque la inversa de T no es total). ${\displaystyle |A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|}$ ${\displaystyle |A\times B|}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|}$ ${\displaystyle T^{-2}(|A\times B|)}$

Definir la operación exponencial sobre cardinales requiere T de manera esencial: si se definió como la colección de funciones de A a B , esta es tres tipos superiores a A o B , por lo que es razonable definir como de modo que sea del mismo tipo que A o B ( reemplaza por pares de nivel de tipo). Un efecto de esto es que la operación exponencial es parcial: por ejemplo, no está definida. En ZFC se define como sin dificultad. ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle |B|^{|A|}}$ ${\displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T^{-3}}$ ${\displaystyle 2^{|V|}}$ ${\displaystyle |B|^{|A|}}$ ${\displaystyle |B^{A}|}$

La operación exponencial es total y se comporta exactamente como se espera en cardinales cantorianos, ya que T fija dichos cardinales y es fácil demostrar que un espacio de funciones entre conjuntos cantorianos es cantoriano (como lo son los conjuntos de potencias, los productos cartesianos y otros constructores de tipos habituales). Esto ofrece más respaldo a la opinión de que las cardinalidades "estándar" en NFU son las cardinalidades cantorianas (de hecho, las fuertemente cantorianas), así como los ordinales "estándar" parecen ser los ordinales fuertemente cantorianos.

Ahora se pueden demostrar los teoremas usuales de la aritmética cardinal con el axioma de elección, incluyendo . Del caso se puede derivar la existencia de un par ordenado a nivel de tipo: es igual a solo en el caso de , lo que se atestiguaría por una correspondencia biunívoca entre pares de Kuratowski y singletons dobles : redefinir como el c tal que está asociado con el Kuratowski : esta es una noción a nivel de tipo de par ordenado. ${\displaystyle \kappa \cdot \kappa =\kappa }$ ${\displaystyle |V|\cdot |V|=|V|}$ ${\displaystyle |V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{c\}\}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{c\}\}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

El axioma del conteo y la subversión de la estratificación

Por lo tanto, hay dos implementaciones diferentes de los números naturales en NFU (aunque son los mismos en ZFC ): ordinales finitos y cardinales finitos. Cada uno de ellos admite una operación T en NFU (básicamente la misma operación). Es fácil demostrar que es un número natural si n es un número natural en NFU + Infinito + Elección (y por lo tanto y el primer ordinal infinito son cantorianos), pero no es posible demostrar en esta teoría que . Sin embargo, el sentido común indica que esto debería ser cierto, por lo que puede adoptarse como un axioma: ${\displaystyle T(n)}$ ${\displaystyle |N|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T(n)=n}$

• Axioma de conteo de Rosser : para cada número natural n , . ${\displaystyle T(n)=n}$

Una consecuencia natural de este axioma (y de hecho de su formulación original) es

• ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=n}$para cada número natural n .

Todo lo que se puede demostrar en NFU sin contar es . ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)}$

Una consecuencia del conteo es que N es un conjunto fuertemente cantoriano (de nuevo, esta es una afirmación equivalente).

Propiedades de los conjuntos fuertemente cantorianos

El tipo de cualquier variable restringida a un conjunto fuertemente cantoriano A se puede aumentar o disminuir según se desee reemplazando las referencias a con referencias a (tipo de a aumentado; esto presupone que se sabe que a es un conjunto; de lo contrario, uno debe decir "el elemento de " para obtener este efecto) o (tipo de a disminuido) donde para todos , por lo que no es necesario asignar tipos a dichas variables para fines de estratificación. ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \bigcup f(a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle f(a)=\{a\}}$ ${\displaystyle a\in A}$

Cualquier subconjunto de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano. El conjunto potencia de un conjunto fuertemente cantoriano es fuertemente cantoriano. El producto cartesiano de dos conjuntos fuertemente cantorianos es fuertemente cantoriano.

La introducción del axioma de conteo significa que no es necesario asignar tipos a variables restringidas a N o a P ( N ), R (el conjunto de números reales) o, de hecho, a cualquier conjunto considerado en las matemáticas clásicas fuera de la teoría de conjuntos.

No existen fenómenos análogos en ZFC . Consulte el artículo principal de New Foundations para conocer axiomas más sólidos que se pueden agregar a NFU para imponer un comportamiento "estándar" de objetos matemáticos familiares.

Sistemas numéricos familiares: racionales positivos, magnitudes y reales

Representar fracciones positivas como pares de números naturales positivos (se excluye el 0): se representa mediante el par . Para hacer , introduzca la relación definida por . Es demostrable que se trata de una relación de equivalencia: defina los números racionales positivos como clases de equivalencia de pares de números naturales positivos bajo esta relación. Las operaciones aritméticas sobre números racionales positivos y la relación de orden sobre racionales positivos se definen tal como en la escuela primaria y se demuestra (con algo de esfuerzo) que tienen las propiedades esperadas. ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr}$

Representar magnitudes (reales positivos) como segmentos iniciales propios no vacíos de los racionales positivos sin elemento mayor. Las operaciones de adición y multiplicación sobre magnitudes se implementan mediante la adición elemento por elemento de los elementos racionales positivos de las magnitudes. El orden se implementa como inclusión de conjuntos.

Representar números reales como diferencias de magnitudes: formalmente hablando, un número real es una clase de equivalencia de pares de magnitudes bajo la relación de equivalencia definida por . Las operaciones de adición y multiplicación de números reales se definen tal como cabría esperar de las reglas algebraicas para sumar y multiplicar diferencias. El tratamiento del orden también es como en el álgebra elemental. ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r}$

Este es el esbozo más breve de las construcciones. Nótese que las construcciones son exactamente las mismas en ZFC y en NFU , excepto por la diferencia en las construcciones de los números naturales: dado que todas las variables están restringidas a conjuntos fuertemente cantorianos, no hay necesidad de preocuparse por las restricciones de estratificación. Sin el Axioma de Conteo, podría ser necesario introducir algunas aplicaciones de T en una discusión completa de estas construcciones.

Operaciones sobre familias de conjuntos indexados

En esta clase de construcciones parece que ZFC tiene una ventaja sobre NFU : aunque las construcciones son claramente factibles en NFU , son más complicadas que en ZFC por razones que tienen que ver con la estratificación.

En esta sección, supongamos que existe un par ordenado a nivel de tipo. Definamos como . La definición de la n -tupla general que utiliza el par de Kuratowski es más complicada, ya que es necesario mantener iguales los tipos de todas las proyecciones, y el desplazamiento de tipos entre la n -tupla y sus proyecciones aumenta a medida que n aumenta. Aquí, la n -tupla tiene el mismo tipo que cada una de sus proyecciones. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$

Los productos cartesianos generales se definen de manera similar: ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})}$

Las definiciones son las mismas en ZFC pero sin preocupaciones sobre la estratificación (la agrupación dada aquí es opuesta a la que se usa más habitualmente, pero esto se corrige fácilmente).

Consideremos ahora el producto cartesiano infinito . En ZFC, este se define como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tales que (donde A se entiende implícitamente como una función que toma cada i como ). ${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

En NFU, esto requiere atención al tipo. Dado un conjunto I y una función con valor de conjunto A cuyo valor en en se escribe , Defina como el conjunto de todas las funciones f con dominio I tales que : observe que está estratificado debido a nuestra convención de que A es una función con valores en singletons de los índices. Observe que las familias de conjuntos más grandes (que no pueden indexarse ​​por conjuntos de singletons) no tendrán productos cartesianos bajo esta definición. Observe además que los conjuntos son del mismo tipo que el conjunto índice I (ya que son un tipo más alto que sus elementos); el producto, como un conjunto de funciones con dominio I (por lo tanto, del mismo tipo que I ) es un tipo más alto (asumiendo un par ordenado a nivel de tipo). ${\displaystyle \{i\}}$ ${\displaystyle P_{1}(I)}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ ${\displaystyle f(i)\in A_{i}=A(\{i\})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Consideremos ahora el producto de los cardinales de estos conjuntos. La cardinalidad | | es un tipo superior a los cardinales , por lo que la definición correcta del producto infinito de cardinales es (como la inversa de T no es total, es posible que esto no exista). ${\displaystyle \Pi _{i\in I}|A_{i}|}$ ${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle |A_{i}|}$ ${\displaystyle T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)}$

Repita esto para uniones disjuntas de familias de conjuntos y sumas de familias de cardinales. Nuevamente, sea A una función con valor de conjunto con dominio : escriba para . La unión disjunta es el conjunto . Este conjunto es del mismo tipo que los conjuntos . ${\displaystyle P_{1}(I)}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A(\{i\})}$ ${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

La definición correcta de la suma es entonces , ya que no hay desplazamiento de tipo. ${\displaystyle \Sigma _{i\in I}|A_{i}|}$ ${\displaystyle |\Sigma _{i\in I}A_{i}|}$

Es posible ampliar estas definiciones para manejar conjuntos de índices que no sean conjuntos de singletons, pero esto introduce un nivel de tipo adicional y no es necesario para la mayoría de los propósitos.

En ZFC, defina la unión disjunta como , donde abrevia . ${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A(i)}$

Se pueden utilizar métodos de permutación para mostrar la consistencia relativa con NFU de la afirmación de que para cada conjunto fuertemente cantoriano A existe un conjunto I del mismo tamaño cuyos elementos son auto-singletons: para cada i en I . ${\displaystyle i=\{i\}}$

La jerarquía acumulativa

En ZFC , defina la jerarquía acumulativa como la secuencia de conjuntos indexados por ordinales que satisfacen las siguientes condiciones: ; ; para ordinales límite . Este es un ejemplo de una construcción por recursión transfinita . Se dice que el rango de un conjunto A es si y solo si . La existencia de los rangos como conjuntos depende del axioma de reemplazo en cada paso límite (la jerarquía no se puede construir en la teoría de conjuntos de Zermelo ); por el axioma de fundamento, cada conjunto pertenece a algún rango. ${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })}$ ${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }}$

El cardenal se llama . ${\displaystyle |P(V_{\omega +\alpha })|}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

Esta construcción no se puede llevar a cabo en NFU porque la operación de conjunto potencia no es una función de conjunto en NFU ( es un tipo superior a A para fines de estratificación). ${\displaystyle P(A)}$

La secuencia de cardinales se puede implementar en NFU. Recordemos que se define como , donde es un conjunto conveniente de tamaño 2, y . Sea el conjunto más pequeño de cardinales que contiene (la cardinalidad del conjunto de números naturales), contiene al cardinal siempre que contenga a , y que está cerrado bajo la supremacía de los conjuntos de cardinales. ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle 2^{|A|}}$ ${\displaystyle T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|P(A)|}$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle |N|}$ ${\displaystyle 2^{|A|}}$ ${\displaystyle |A|}$

Una convención para la indexación ordinal de cualquier buen ordenamiento se define como el elemento x del campo de tal que el tipo de orden de la restricción de a es ; luego se define como el elemento con índice en el orden natural en los elementos de . El cardinal es el elemento con índice en el orden natural en todos los cardinales infinitos (que es un buen ordenamiento, véase más arriba). Nótese que se desprende inmediatamente de esta definición. En todas estas construcciones, observe que el tipo del índice es dos veces mayor (con par ordenado a nivel de tipo) que el tipo de . ${\displaystyle W_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{y\mid yWx\}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{0}=|N|}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle W_{\alpha }}$

Cada conjunto A de ZFC tiene un cierre transitivo (la intersección de todos los conjuntos transitivos que contiene a A ). Por el axioma de fundamento, la restricción de la relación de pertenencia al cierre transitivo de A es una relación bien fundada . La relación está vacía o tiene a A como su elemento superior, por lo que esta relación es una imagen de conjunto . Se puede demostrar en ZFC que cada imagen de conjunto es isomorfa a algún . ${\displaystyle TC(A)}$ ${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$ ${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$

Esto sugiere que (un segmento inicial de) la jerarquía acumulativa puede estudiarse considerando las clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos. Estas clases de isomorfismo son conjuntos y forman un conjunto en NFU . Hay una relación de conjunto natural análoga a la pertenencia a clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos: si es una imagen de conjunto, escriba para su clase de isomorfismo y defina como válida si es la clase de isomorfismo de la restricción de y al cierre hacia abajo de uno de los elementos de la preimagen bajo y del elemento superior de y . La relación E es una relación de conjunto, y es sencillo demostrar que está bien fundada y es extensional. Si la definición de E es confusa, se puede deducir de la observación de que es inducida precisamente por la relación que se cumple entre la imagen de conjunto asociada con A y la imagen de conjunto asociada con B cuando está en la teoría de conjuntos habitual. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [x]E[y]}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle A\in B}$

Existe una operación T sobre clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos análoga a la operación T sobre ordinales: si x es una imagen de un conjunto, entonces también lo es . Definamos como . Es fácil ver que . ${\displaystyle x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}}$ ${\displaystyle T([x])}$ ${\displaystyle [x^{\iota }]}$ ${\displaystyle [x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])}$

Un axioma de extensionalidad para esta teoría de conjuntos simulada se sigue de la extensionalidad de E. De su fundamento se sigue un axioma de fundamento. Queda la cuestión de qué axioma de comprensión puede tener E. Considere cualquier colección de imágenes de conjuntos (colección de imágenes de conjuntos cuyos campos están compuestos enteramente de singletons). Dado que cada uno es un tipo superior a x (usando un par ordenado a nivel de tipo), reemplazar cada elemento del campo de cada uno en la colección con da como resultado una colección de imágenes de conjuntos isomorfas a la colección original pero con sus campos disjuntos. La unión de estas imágenes de conjuntos con un nuevo elemento superior produce una imagen de conjunto cuyo tipo de isomorfismo tendrá como preimágenes bajo E exactamente los elementos de la colección original. Es decir, para cualquier colección de tipos de isomorfismo , hay un tipo de isomorfismo cuya preimagen bajo E es exactamente esta colección. ${\displaystyle \{x^{\iota }\mid x\in S\}}$ ${\displaystyle x^{\iota }}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle x^{\iota }}$ ${\displaystyle (x,\{a\})}$ ${\displaystyle [x^{\iota }]=T([x])}$ ${\displaystyle [y]}$

En particular, habrá un tipo de isomorfismo [v] cuya preimagen bajo E es la colección de todos los T [ x ] (incluyendo T [ v ]). Como T [ v ] E v y E está bien fundado, . Esto se asemeja a la resolución de la paradoja de Burali-Forti discutida anteriormente y en el artículo de New Foundations , y es de hecho la resolución local de la paradoja de Mirimanoff del conjunto de todos los conjuntos bien fundados. ${\displaystyle T[v]\neq v}$

Hay rangos de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos, así como hay rangos de conjuntos en la teoría de conjuntos habitual. Para cualquier colección de imágenes de conjuntos A , defina S ( A ) como el conjunto de todas las clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos cuya preimagen bajo E es un subconjunto de A; llame a A un conjunto "completo" si cada subconjunto de A es una preimagen bajo E. La colección de "rangos" es la colección más pequeña que contiene el conjunto vacío y está cerrada bajo la operación S (que es una especie de construcción de conjuntos de potencia) y bajo uniones de sus subcolecciones. Es sencillo demostrar (de manera muy similar a la teoría de conjuntos habitual) que los rangos están bien ordenados por inclusión, y por lo tanto los rangos tienen un índice en este buen orden: refiérase al rango con índice como . Es demostrable que para rangos completos . La unión de los rangos completos (que será el primer rango incompleto) con la relación E parece un segmento inicial del universo de la teoría de conjuntos al estilo de Zermelo (no necesariamente como el universo completo de ZFC porque puede no ser lo suficientemente grande). Es demostrable que si es el primer rango incompleto, entonces es un rango completo y por lo tanto . Por lo tanto, hay un "rango de la jerarquía acumulativa" con un "automorfismo externo" T que mueve el rango hacia abajo, exactamente la condición en un modelo no estándar de un rango en la jerarquía acumulativa bajo la cual se construye un modelo de NFU en el artículo de New Foundations . Hay detalles técnicos para verificar, pero hay una interpretación no solo de un fragmento de ZFC sino de NFU en sí mismo en esta estructura, con definida como : esta "relación" no es una relación de conjunto pero tiene el mismo tipo de desplazamiento entre sus argumentos que la relación de pertenencia habitual . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle |R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle R_{T(\alpha )}}$ ${\displaystyle T(\alpha )<\alpha }$ ${\displaystyle [x]\in _{NFU}[y]}$ ${\displaystyle T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}}$ ${\displaystyle E_{NFU}}$ ${\displaystyle \in }$

De modo que existe una construcción natural dentro de NFU de la jerarquía acumulativa de conjuntos que internaliza la construcción natural de un modelo de NFU en la teoría de conjuntos de estilo Zermelo.

Según el axioma de conjuntos cantorianos descrito en el artículo New Foundations , la parte fuertemente cantoriana del conjunto de clases de isomorfismo de imágenes de conjuntos con la relación E como pertenencia se convierte en un modelo (de clase propia) de ZFC (en el que hay cardinales n -Mahlo para cada  n ; esta extensión de NFU es estrictamente más fuerte que ZFC). Este es un modelo de clase propia porque las clases de isomorfismo fuertemente cantorianas no forman un conjunto.

Los métodos de permutación se pueden utilizar para crear a partir de cualquier modelo de NFU un modelo en el que cada tipo de isomorfismo fuertemente cantoriano de imágenes de conjuntos se realice realmente como la restricción de la verdadera relación de pertenencia al cierre transitivo de un conjunto.

Véase también

• Teoría de conjuntos axiomáticos

Referencias

• Keith Devlin , 1994. La alegría de los conjuntos , 2.ª ed. Springer-Verlag.
• Holmes, Randall, 1998. Teoría elemental de conjuntos con un conjunto universal . Academia-Bruylant. El editor ha consentido gentilmente en permitir la difusión de esta introducción a NFU a través de la web. Copyright reservado.
• Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2.ª ed. Oxford Univ. Press.
• Suppes, Patrick, 1972. Teoría de conjuntos axiomáticos . Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Lecciones de lógica y teoría de conjuntos, vol. 2. Cambridge Univ. Press.

Enlaces externos

• Metamath: Un sitio web dedicado a una derivación continua de las matemáticas a partir de los axiomas de ZFC y la lógica de primer orden .
• Enciclopedia de filosofía de Stanford :
  • Los nuevos fundamentos de Quine, por Thomas Forster.
  • Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos: por Randall Holmes.
• Randall Holmes: Página de inicio de New Foundations