Función de identidad

Gráfica de la función identidad sobre los números reales

En matemáticas , una función identidad , también llamada relación identidad , mapa identidad o transformación identidad , es una función que siempre devuelve el valor que se utilizó como argumento , sin cambios. Es decir, cuando $f$ es la función identidad, la igualdad $f (x)= x$ es verdadera para todos los valores de $x$ a los que se puede aplicar $f .$

Definición

Formalmente, si $X$ es un conjunto , la función identidad $f$ en $X$ se define como una función con $X$ como su dominio y codominio , que satisface

f (x) = x

para todos los elementos

x

X

.^[1]

En otras palabras, el valor de la función $f (x)$ en el codominio $X$ es siempre el mismo que el elemento de entrada $x$ en el dominio $X$ . La función identidad en $X$ es claramente una función inyectiva así como una función sobreyectiva (su codominio es también su rango ), por lo que es biyectiva . ^[2]

La función identidad $f$ en $X$ a menudo se denota por $id X.$

En la teoría de conjuntos , donde una función se define como un tipo particular de relación binaria , la función identidad está dada por la relación identidad o diagonal de $X.$ ^[3 ]

Propiedades algebraicas

Si $f : X \to Y$ es cualquier función, entonces $f \circ id X = f = id Y \circ f$ , donde "∘" denota composición de funciones . ^[4] En particular, $id X$ es el elemento identidad del monoide de todas las funciones desde $X$ hasta $X$ (bajo composición de funciones).

Dado que el elemento identidad de un monoide es único , ^[5] se puede definir alternativamente la función identidad en $M$ como este elemento identidad. Esta definición se generaliza al concepto de morfismo identidad en la teoría de categorías , donde los endomorfismos de $M$ no necesitan ser funciones.

Propiedades

La función identidad es un operador lineal cuando se aplica a espacios vectoriales . ^[6]
En un espacio vectorial de $n$ dimensiones , la función identidad está representada por la matriz identidad $I$ $n$ , independientemente de la base elegida para el espacio. ^[7]
La función identidad sobre los números enteros positivos es una función completamente multiplicativa (esencialmente la multiplicación por 1), considerada en la teoría de números . ^[8]
En un espacio métrico la función identidad es trivialmente una isometría . Un objeto sin simetría alguna tiene como grupo de simetría el grupo trivial que contiene sólo esta isometría (tipo de simetría $C 1$ ). ^[9]
En un espacio topológico , la función identidad es siempre continua . ^[10]
La función identidad es idempotente . ^[11]

Véase también

Referencias

^ Knapp, Anthony W. (2006), Álgebra básica , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
^ Mapa, Sadhan Kumar (7 de abril de 2014). Álgebra superior abstracta y lineal (11.ª ed.). Sarat Book House. pág. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
^ Actas de simposios sobre matemáticas puras. Sociedad Americana de Matemáticas. 1974. p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3... entonces el conjunto diagonal determinado por M es la relación identidad...
^ Nel, Louis (2016). Teoría de la continuidad. pág. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3.
^ Rosales, JC; García-Sánchez, PA (1999). Monoides conmutativos finitamente generados. Editores Nova. pag. 1.ISBN 978-1-56072-670-8El elemento 0 se suele denominar elemento identidad y, si existe, es único .
^ Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9.ª ed.), Wiley International
^ TS Shores (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial. Textos de pregrado en matemáticas. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Teoría de números a través de la investigación . Libros de texto de la Asociación Matemática de Estados Unidos. Asociación Matemática de Estados Unidos. ISBN 978-0883857519.
^ James W. Anderson , Geometría hiperbólica , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
^ Conover, Robert A. (21 de mayo de 2014). Un primer curso de topología: Introducción al pensamiento matemático. Courier Corporation. pág. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
^ Conferencias, Ingeniería de verano de la Universidad de Michigan (1968). Fundamentos de la ingeniería de sistemas de información. Vemos que un elemento identidad de un semigrupo es idempotente.