En geometría algebraica , una curva hiperelíptica es una curva algebraica de género g > 1, dada por una ecuación de la forma donde f ( x ) es un polinomio de grado n = 2 g + 1 > 4 o n = 2 g + 2 > 4 con n raíces distintas, y h ( x ) es un polinomio de grado < g + 2 (si la característica del campo fundamental no es 2, se puede tomar h ( x ) = 0).
Una función hiperelíptica es un elemento del campo de funciones de dicha curva, o de la variedad jacobiana de la curva; estos dos conceptos son idénticos para las funciones elípticas , pero diferentes para las funciones hiperelípticas.
El grado del polinomio determina el género de la curva: un polinomio de grado 2 g + 1 o 2 g + 2 da una curva de género g . Cuando el grado es igual a 2 g + 1, la curva se denomina curva hiperelíptica imaginaria . Mientras tanto, una curva de grado 2 g + 2 se denomina curva hiperelíptica real . Esta afirmación sobre el género sigue siendo cierta para g = 0 o 1, pero esos casos especiales no se denominan "hiperelípticas". En el caso de g = 1 (si se elige un punto distinguido), dicha curva se denomina curva elíptica .
Si bien este modelo es la forma más sencilla de describir curvas hiperelípticas, dicha ecuación tendrá un punto singular en el infinito en el plano proyectivo . Esta característica es específica del caso n > 3. Por lo tanto, al dar dicha ecuación para especificar una curva no singular, casi siempre se supone que se refiere a un modelo no singular (también llamado compleción suave ), equivalente en el sentido de geometría biracional .
Para ser más precisos, la ecuación define una extensión cuadrática de C ( x ), y es ese campo de funciones al que se refiere. El punto singular en el infinito se puede eliminar (ya que se trata de una curva) mediante el proceso de normalización ( cierre integral ). Resulta que después de hacer esto, hay una cubierta abierta de la curva por dos cartas afines: la ya dada por y otra dada por
Los mapas de unión entre los dos gráficos se dan mediante y dondequiera que se definan.
De hecho, se supone una abreviatura geométrica, definiendo la curva C como una doble cobertura ramificada de la recta proyectiva , cuya ramificación se produce en las raíces de f , y también para n impar en el punto en el infinito. De esta manera, los casos n = 2 g + 1 y 2 g + 2 pueden unificarse, ya que también podríamos utilizar un automorfismo del plano proyectivo para alejar cualquier punto de ramificación del infinito.
Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz , la curva hiperelíptica con género g se define por una ecuación de grado n = 2 g + 2. Supóngase que f : X → P 1 es una envoltura ramificada con grado de ramificación 2 , donde X es una curva con género g y P 1 es la esfera de Riemann . Sea g 1 = g y g 0 el género de P 1 ( = 0 ), entonces la fórmula de Riemann-Hurwitz resulta ser
donde s es sobre todos los puntos ramificados en X . El número de puntos ramificados es n , y en cada punto ramificado s tenemos e s = 2, por lo que la fórmula se convierte en
entonces n = 2 g + 2.
Todas las curvas de género 2 son hiperelípticas, pero para género ≥ 3 la curva genérica no es hiperelíptica. Esto se ve heurísticamente mediante una comprobación de la dimensión del espacio de módulos . Contando constantes, con n = 2 g + 2, la colección de n puntos sujetos a la acción de los automorfismos de la línea proyectiva tiene (2 g + 2) − 3 grados de libertad, que es menor que 3 g − 3, el número de módulos de una curva de género g , a menos que g sea 2. Se sabe mucho más sobre el locus hiperelíptico en el espacio de módulos de curvas o variedades abelianas , [ aclaración necesaria ] aunque es más difícil exhibir curvas generales no hiperelípticas con modelos simples. [1] Una caracterización geométrica de las curvas hiperelípticas es a través de los puntos de Weierstrass . La geometría más detallada de las curvas no hiperelípticas se lee a partir de la teoría de curvas canónicas , siendo la aplicación canónica 2 a 1 en curvas hiperelípticas pero 1 a 1 en otros casos para g > 2. Las curvas trigonales son aquellas que corresponden a tomar una raíz cúbica, en lugar de una raíz cuadrada, de un polinomio.
La definición mediante extensiones cuadráticas del cuerpo de funciones racionales funciona para cuerpos en general excepto en la característica 2; en todos los casos está disponible la definición geométrica como una doble cubierta ramificada de la línea proyectiva, si se supone que la extensión es separable.
Las curvas hiperelípticas se pueden utilizar en la criptografía de curvas hiperelípticas para criptosistemas basados en el problema del logaritmo discreto .
Las curvas hiperelípticas también aparecen componiendo componentes enteros conexos de ciertos estratos del espacio de módulos de diferenciales abelianos. [2]
La hiperelipticidad de las curvas de género 2 se utilizó para demostrar la conjetura del área de llenado de Gromov en el caso de rellenos de género = 1.
Las curvas hiperelípticas de un género dado g tienen un espacio de módulos, estrechamente relacionado con el anillo de invariantes de una forma binaria de grado 2 g +2. [ especificar ]
Las funciones hiperelípticas fueron publicadas por primera vez [ cita necesaria ] por Adolph Göpel (1812-1847) en su último artículo Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Trascendentes abelianos de primer orden) (en Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 35, 1847). Independientemente, Johann G. Rosenhain trabajó en ese asunto y publicó Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (en Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851).
