Holonomía

Concepto en geometría diferencial

Transporte paralelo sobre una esfera a lo largo de una trayectoria suave por partes. El vector inicial se etiqueta como , se transporta en paralelo a lo largo de la curva y el vector resultante se etiqueta como . El resultado del transporte paralelo será diferente si se varía la trayectoria. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\gamma }(V)}$

En geometría diferencial , la holonomía de una conexión en una variedad lisa es el grado en el que el transporte paralelo alrededor de bucles cerrados no logra preservar los datos geométricos que se transportan. La holonomía es una consecuencia geométrica general de la curvatura de la conexión. Para las conexiones planas, la holonomía asociada es un tipo de monodromía y es una noción inherentemente global. Para las conexiones curvas, la holonomía tiene características locales y globales no triviales.

Cualquier tipo de conexión en una variedad da lugar, a través de sus mapas de transporte paralelos, a alguna noción de holonomía. Las formas más comunes de holonomía son para conexiones que poseen algún tipo de simetría . Ejemplos importantes incluyen: holonomía de la conexión de Levi-Civita en geometría de Riemann (llamada holonomía de Riemann ), holonomía de conexiones en fibrados vectoriales , holonomía de conexiones de Cartan y holonomía de conexiones en fibrados principales . En cada uno de estos casos, la holonomía de la conexión puede identificarse con un grupo de Lie , el grupo de holonomía . La holonomía de una conexión está estrechamente relacionada con la curvatura de la conexión, a través del teorema de Ambrose-Singer .

El estudio de la holonomía de Riemann ha dado lugar a una serie de importantes avances. La holonomía fue introducida por Élie Cartan  (1926) con el fin de estudiar y clasificar espacios simétricos . No fue hasta mucho más tarde que los grupos de holonomía se utilizarían para estudiar la geometría de Riemann en un contexto más general. En 1952, Georges de Rham demostró el teorema de descomposición de De Rham , un principio para descomponer una variedad de Riemann en un producto cartesiano de variedades de Riemann dividiendo el fibrado tangente en espacios irreducibles bajo la acción de los grupos de holonomía locales. Más tarde, en 1953, Marcel Berger clasificó las posibles holonomías irreducibles. La descomposición y clasificación de la holonomía de Riemann tiene aplicaciones en la física y en la teoría de cuerdas .

Definiciones

Holonomía de una conexión en un fibrado vectorial

Sea E un fibrado vectorial de rango k sobre una variedad suave M , y sea ∇ una conexión sobre E . Dado un bucle suave por partes γ  : [0,1] → M basado en x en M , la conexión define una función de transporte paralela P _γ  : E _x → E _x sobre la fibra de E en x . Esta función es lineal e invertible, y por lo tanto define un elemento del grupo lineal general GL( E _x ). El grupo de holonomía de ∇ basado en x se define como

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.}$

El grupo de holonomía restringida basado en x es el subgrupo que proviene de los bucles  contráctiles γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$

Si M está conectado , entonces el grupo de holonomía depende del punto base x solo hasta la conjugación en GL( k , R ). Explícitamente, si γ es un camino de x a y en M , entonces

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

La elección de diferentes identificaciones de E _x con R ^k también da lugar a subgrupos conjugados. A veces, en particular en discusiones generales o informales (como la que se muestra a continuación), se puede prescindir de la referencia al punto base, con el entendimiento de que la definición es válida hasta la conjugación.

Algunas propiedades importantes del grupo de holonomía incluyen:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$es un subgrupo de Lie conexo de GL( k , R ).
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$es el componente de identidad de ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla ).}$
• Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo natural donde es el grupo fundamental de M , que envía la clase de homotopía a la clase lateral ${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle [\gamma ]}$ ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Si M está simplemente conexo , entonces ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ es plano (es decir, tiene una curvatura que se desvanece) si y solo si es trivial. ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$

Holonomía de una conexión en un fibrado principal

La definición de holonomía de conexiones en fibrados principales procede de manera paralela. Sea G un grupo de Lie y P un fibrado principal G sobre una variedad suave M que es paracompacta . Sea ω una conexión en P. Dado un bucle suave por partes γ  : [0,1] → M basado en x en M y un punto p en la fibra sobre x , la conexión define una elevación horizontal única tal que El punto final de la elevación horizontal, , no será generalmente p sino algún otro punto p · g en la fibra sobre x . Defina una relación de equivalencia ~ en P diciendo que p ~ q si pueden unirse por un camino horizontal suave por partes en P. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

El grupo de holonomía de ω basado en p se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

El grupo de holonomía restringida basado en p es el subgrupo que proviene de los levantamientos horizontales de bucles  contráctiles γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Si M y P están conectados , entonces el grupo de holonomía depende del punto base p solo hasta la conjugación en G. Explícitamente, si q es cualquier otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe un único g ∈ G tal que q ~ p · g . Con este valor de g ,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

En particular,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

Además, si p ~ q entonces , como se indicó anteriormente, a veces se omite la referencia al punto base del grupo de holonomía, con el entendimiento de que la definición es buena hasta la conjugación. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$

Algunas propiedades importantes de los grupos de holonomía y holonomía restringida incluyen:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$es un subgrupo de Lie conexo de G .
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$es el componente de identidad de ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$
• Existe un homomorfismo de grupo sobreyectivo natural ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Si M está simplemente conexo entonces ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω es plano (es decir, tiene una curvatura que se desvanece) si y solo si es trivial. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Paquetes de holonomía

Sea M una variedad paracompacta lisa conexa y P un fibrado principal G con conexión ω, como se indica anteriormente. Sea p ∈ P un punto arbitrario del fibrado principal. Sea H ( p ) el conjunto de puntos en P que se pueden unir a p mediante una curva horizontal. Entonces se puede demostrar que H ( p ), con la función de proyección evidente, es un fibrado principal sobre M con grupo de estructura . Este fibrado principal se denomina fibrado holonomico (a través de p ) de la conexión. La conexión ω se restringe a una conexión sobre H ( p ), ya que sus funciones de transporte paralelo preservan H ( p ). Por lo tanto, H ( p ) es un fibrado reducido para la conexión. Además, dado que ningún subfibrado de H ( p ) se preserva mediante transporte paralelo, es la reducción mínima de este tipo. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

Al igual que con los grupos de holonomía, el fibrado de holonomía también se transforma de manera equivariante dentro del fibrado principal ambiental P . En detalle, si q ∈ P es otro punto base elegido para la holonomía, entonces existe un g ∈ G único tal que q ~ p g (ya que, por suposición, M está conectado por trayectorias). Por lo tanto, H ( q ) = H ( p ) g . Como consecuencia, las conexiones inducidas en fibrados de holonomía correspondientes a diferentes elecciones de punto base son compatibles entre sí: sus mapas de transporte paralelos diferirán precisamente en el mismo elemento g .

Monodromía

El fibrado holonomico H ( p ) es un fibrado principal para y por lo tanto también admite una acción del grupo holonomico restringido (que es un subgrupo normal del grupo holonomico completo). El grupo discreto se llama grupo monodromía de la conexión; actúa sobre el fibrado cociente. Existe un homomorfismo sobreyectivo de modo que actúa sobre Esta acción del grupo fundamental es una representación monodromía del grupo fundamental. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ ${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$ ${\displaystyle \varphi \left(\pi _{1}(M)\right)}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Holonomía local e infinitesimal

Si π: P → M es un fibrado principal, y ω es una conexión en P , entonces la holonomía de ω puede restringirse a la fibra sobre un subconjunto abierto de M . De hecho, si U es un subconjunto abierto conexo de M , entonces ω se restringe para dar una conexión en el fibrado π ⁻¹ U sobre U . La holonomía (resp. holonomía restringida) de este fibrado se denotará por (resp. ) para cada p con π( p ) ∈ U . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

Si U ⊂ V son dos conjuntos abiertos que contienen π( p ), entonces hay una inclusión evidente

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

El grupo de holonomía local en un punto p se define por

${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

para cualquier familia de conjuntos abiertos conexos anidados U _k con . ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

El grupo de holonomía local tiene las siguientes propiedades:

1. Es un subgrupo de Lie conexo del grupo de holonomía restringida. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. Cada punto p tiene un vecindario V tal que En particular, el grupo de holonomía local depende sólo del punto p , y no de la elección de la secuencia U _k utilizada para definirlo. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. La holonomía local es equivariante con respecto a la traslación por elementos del grupo de estructura G de P ; es decir, para todo g ∈ G . (Nótese que, por la propiedad 1, el grupo de holonomía local es un subgrupo de Lie conexo de G , por lo que el adjunto está bien definido). ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )}$

El grupo holométrico local no se comporta bien como un objeto global. En particular, su dimensión puede no ser constante. Sin embargo, se cumple el siguiente teorema:

Si la dimensión del grupo de holonomía local es constante, entonces la holonomía local y restringida concuerdan: ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Teorema de Ambrose-Singer

El teorema de Ambrose-Singer (creado por Warren Ambrose e Isadore M. Singer  (1953)) relaciona la holonomía de una conexión en un fibrado principal con la forma de curvatura de la conexión. Para que este teorema sea plausible, consideremos el caso conocido de una conexión afín (o una conexión en el fibrado tangente, la conexión de Levi-Civita, por ejemplo). La curvatura surge cuando uno se desplaza alrededor de un paralelogramo infinitesimal.

En detalle, si σ: [0, 1] × [0, 1] → M es una superficie en M parametrizada por un par de variables x e y , entonces un vector V puede ser transportado alrededor del límite de σ: primero a lo largo de ( x , 0 ), luego a lo largo de (1, y ), seguido por ( x , 1 ) yendo en la dirección negativa, y luego (0, y ) de vuelta al punto de origen. Este es un caso especial de un bucle de holonomía: el vector V es actuado por el elemento del grupo de holonomía correspondiente a la elevación del límite de σ. La curvatura entra explícitamente cuando el paralelogramo se encoge a cero, atravesando el límite de paralelogramos más pequeños sobre [0, x ] × [0, y ]. Esto corresponde a tomar una derivada de los mapas de transporte paralelos en x = y = 0:

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

donde R es el tensor de curvatura . ^[3] Por lo tanto, en términos generales, la curvatura da la holonomía infinitesimal sobre un bucle cerrado (el paralelogramo infinitesimal). Más formalmente, la curvatura es la diferencial de la acción de la holonomía en la identidad del grupo de holonomía. En otras palabras, R ( X , Y ) es un elemento del álgebra de Lie de ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

En general, considere la holonomía de una conexión en un fibrado principal P → M sobre P con grupo de estructura G . Sea g el álgebra de Lie de G , la forma de curvatura de la conexión es una forma 2-valorada en g Ω sobre P . El teorema de Ambrose-Singer establece: ^[4]

El álgebra de Lie de está abarcada por todos los elementos de g de la forma cuando q abarca todos los puntos que pueden unirse a p mediante una curva horizontal ( q ~ p ), y X e Y son vectores tangentes horizontales en q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Alternativamente, el teorema puede reformularse en términos del haz holonomico: ^[5]

El álgebra de Lie de es el subespacio de g generado por elementos de la forma donde q ∈ H ( p ) y X e Y son vectores horizontales en q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Holonomía de Riemann

La holonomía de una variedad de Riemann ( M , g ) es el grupo de holonomía de la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente a M . Una variedad de Riemann 'genérica' n - dimensional tiene una holonomía O( n ) , o SO( n ) si es orientable . Las variedades cuyos grupos de holonomía son subgrupos propios de O( n ) o SO( n ) tienen propiedades especiales.

Uno de los primeros resultados fundamentales sobre la holonomía de Riemann es el teorema de Borel y Lichnerowicz (1952), que afirma que el grupo de holonomía restringida es un subgrupo de Lie cerrado de O( n ). En particular, es compacto .

Holonomía reducible y descomposición de De Rham

Sea x ∈ M un punto arbitrario. Entonces el grupo de holonomía Hol( M ) actúa sobre el espacio tangente T _x M . Esta acción puede ser irreducible como representación de grupo, o reducible en el sentido de que hay una división de T _x M en subespacios ortogonales T _x M = T′ _x M ⊕ T″ _x M , cada uno de los cuales es invariante bajo la acción de Hol( M ). En el último caso, se dice que M es reducible .

Supóngase que M es una variedad reducible. Permitiendo que el punto x varíe, los fibrados T′ M y T″ M formados por la reducción del espacio tangente en cada punto son distribuciones suaves que son integrables en el sentido de Frobenius . Las variedades integrales de estas distribuciones son subvariedades totalmente geodésicas. Por lo tanto, M es localmente un producto cartesiano M′ × M″ . El isomorfismo de De Rham (local) se obtiene al continuar este proceso hasta que se logra una reducción completa del espacio tangente: ^[6]

Sea M una variedad riemanniana simplemente conexa , ^[7] y T M = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} M la reducción completa del fibrado tangente bajo la acción del grupo de holonomía. Supóngase que T ⁽⁰⁾ M consiste en vectores invariantes bajo el grupo de holonomía (es decir, tales que la representación de la holonomía es trivial). Entonces, localmente M es isométrica a un producto

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

donde V ₀ es un conjunto abierto en un espacio euclidiano , y cada V _i es una variedad integral para T ^{( i )} M . Además, Hol( M ) se descompone como un producto directo de los grupos de holonomía de cada M _i , la variedad integral máxima de T ^{( i )} a través de un punto.

Si, además, se supone que M es geodésicamente completa , entonces el teorema se cumple globalmente y cada M _i es una variedad geodésicamente completa. ^[8]

La clasificación de Berger

En 1955, M. Berger dio una clasificación completa de los posibles grupos de holonomía para variedades riemannianas simplemente conexas que son irreducibles (no son localmente un espacio producto) y no simétricas (no son localmente un espacio simétrico riemanniano ). La lista de Berger es la siguiente:

Las variedades con holonomía Sp( n )·Sp(1) fueron estudiadas simultáneamente en 1965 por Edmond Bonan y Vivian Yoh Kraines y construyeron la 4-forma paralela.

Las variedades con holonomía G ₂ o Spin(7) fueron introducidas por primera vez por Edmond Bonan en 1966, quien construyó todas las formas paralelas y demostró que esas variedades eran Ricci-planas.

La lista original de Berger también incluía la posibilidad de que Spin(9) fuera un subgrupo de SO(16). Posteriormente, D. Alekseevski y Brown-Gray demostraron de forma independiente que las variedades riemannianas con dicha holonomía eran necesariamente localmente simétricas, es decir, localmente isométricas al plano de Cayley F ₄ /Spin(9) o localmente planas. Véase más abajo.) Ahora se sabe que todas estas posibilidades se dan como grupos de holonomía de variedades riemannianas. Los dos últimos casos excepcionales fueron los más difíciles de encontrar. Véase variedad G 2 y variedad Spin(7) .

Nótese que Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ), por lo que cada variedad hiperkähler es una variedad de Calabi–Yau , cada variedad de Calabi–Yau es una variedad de Kähler y cada variedad de Kähler es orientable .

La extraña lista anterior fue explicada por la prueba de Simons del teorema de Berger. Una prueba simple y geométrica del teorema de Berger fue dada por Carlos E. Olmos en 2005. Primero se muestra que si una variedad de Riemann no es un espacio localmente simétrico y la holonomía reducida actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente, entonces actúa transitivamente sobre la esfera unitaria. Los grupos de Lie que actúan transitivamente sobre esferas son conocidos: consisten en la lista anterior, junto con 2 casos adicionales: el grupo Spin(9) que actúa sobre R ¹⁶ , y el grupo T · Sp( m ) que actúa sobre R ^{4 m} . Finalmente, se verifica que el primero de estos dos casos adicionales solo ocurre como un grupo de holonomía para espacios localmente simétricos (que son localmente isomorfos al plano proyectivo de Cayley ), y el segundo no ocurre en absoluto como un grupo de holonomía.

La clasificación original de Berger también incluía una holonomía no localmente simétrica y métrica pseudo-riemanniana no definida positiva. Esa lista consistía en SO( p , q ) de firma ( p , q ), U( p , q ) y SU( p , q ) de firma (2 p , 2 q ), Sp( p , q ) y Sp( p , q )·Sp(1) de firma (4 p , 4 q ), SO( n , C ) de firma ( n , n ), SO( n , H ) de firma (2 n , 2 n ), G ₂ desdoblado de firma (4, 3), G ₂ ( C ) de firma (7, 7), Spin(4, 3) de firma (4, 4), Spin(7, C ) de firma (7,7), Spin(5,4) de firma (8,8) y, por último, Spin(9, C ) de firma (16,16). El Spin(9) desdoblado y complejizado son necesariamente localmente simétricos como antes y no deberían haber estado en la lista. Las holonomías complejizadas SO( n , C ), G ₂ ( C ) y Spin(7, C ) pueden realizarse complejizando variedades riemannianas analíticas reales. R. McLean demostró que el último caso, variedades con holonomía contenida en SO( n , H ), son localmente planas. ^[9]

Los espacios simétricos de Riemann, que son localmente isométricos a los espacios homogéneos G / H , tienen holonomía local isomorfa a H. Estos también han sido completamente clasificados .

Finalmente, el artículo de Berger enumera posibles grupos de holonomía de variedades con solo una conexión afín libre de torsión ; esto se analiza a continuación.

Holonomía especial y espinores

Las variedades con holonomía especial se caracterizan por la presencia de espinores paralelos , es decir, campos de espinores con derivada covariante que se desvanece. ^[10] En particular, se cumplen los siguientes hechos:

• Hol(ω) ⊂ U (n) si y sólo si M admite un campo de espinor puro proyectivo covariantemente constante (o paralelo ).
• Si M es una variedad de espín , entonces Hol(ω) ⊂ SU (n) si y solo si M admite al menos dos campos de espín puros paralelos linealmente independientes. De hecho, un campo de espín puro paralelo determina una reducción canónica del grupo de estructura a SU ( n ).
• Si M es una variedad de espín de siete dimensiones, entonces M lleva un campo de espín paralelo no trivial si y solo si la holonomía está contenida en G ₂ .
• Si M es una variedad de espín de ocho dimensiones, entonces M lleva un campo de espín paralelo no trivial si y solo si la holonomía está contenida en Spin(7).

Las holonomías unitarias y unitarias especiales se estudian a menudo en conexión con la teoría de twistores , ^[11] así como en el estudio de estructuras casi complejas . ^[10]

Aplicaciones

Teoría de cuerdas

Las variedades de Riemann con holonomía especial desempeñan un papel importante en las compactificaciones de la teoría de cuerdas . ^[12] Esto se debe a que las variedades de holonomía especial admiten espinores covariantemente constantes (paralelos) y, por lo tanto, preservan alguna fracción de la supersimetría original . Las más importantes son las compactificaciones en variedades de Calabi–Yau con holonomía SU(2) o SU(3). También son importantes las compactificaciones en variedades G 2 .

Aprendizaje automático

Se ha sugerido que el cálculo de la holonomía de las variedades de Riemann es una forma de aprender la estructura de las variedades de datos en el aprendizaje automático , en particular en el contexto del aprendizaje de variedades . Como el grupo de holonomía contiene información sobre la estructura global de la variedad de datos, se puede utilizar para identificar cómo la variedad de datos podría descomponerse en un producto de subvariedades. La holonomía no se puede calcular con exactitud debido a los efectos de muestreo finito, pero es posible construir una aproximación numérica utilizando ideas de la teoría de grafos espectrales similares a los mapas de difusión vectorial. El algoritmo resultante, el Estimador de componentes de variedad geométrica ( GeoManCEr ), proporciona una aproximación numérica a la descomposición de De Rham que se puede aplicar a datos del mundo real. ^[13]

Holonomía afín

Los grupos de holonomías afines son los grupos que surgen como holonomías de conexiones afines libres de torsión ; aquellos que no son grupos de holonomías riemannianas o pseudo-riemannianas también se conocen como grupos de holonomías no métricas. El teorema de descomposición de De Rham no se aplica a los grupos de holonomías afines, por lo que una clasificación completa está fuera de alcance. Sin embargo, sigue siendo natural clasificar las holonomías afines irreducibles.

En el camino hacia su clasificación de los grupos de holonomía de Riemann, Berger desarrolló dos criterios que debe satisfacer el álgebra de Lie del grupo de holonomía de una conexión afín libre de torsión que no sea localmente simétrica : uno de ellos, conocido como el primer criterio de Berger , es una consecuencia del teorema de Ambrose-Singer, de que la curvatura genera el álgebra de holonomía; el otro, conocido como el segundo criterio de Berger , proviene del requisito de que la conexión no debe ser localmente simétrica. Berger presentó una lista de grupos que actúan irreduciblemente y satisfacen estos dos criterios; esto puede interpretarse como una lista de posibilidades para holonomías afines irreducibles.

Más tarde se demostró que la lista de Berger estaba incompleta: R. Bryant (1991) y Q. Chi, S. Merkulov y L. Schwachhöfer (1996) encontraron más ejemplos, que a veces se conocen como holonomías exóticas . La búsqueda de ejemplos condujo finalmente a una clasificación completa de holonomías afines irreducibles por parte de Merkulov y Schwachhöfer (1999), y Bryant (2000) demostró que todos los grupos de su lista aparecen como grupos de holonomías afines.

La clasificación de Merkulov-Schwachhöfer se ha clarificado considerablemente mediante una conexión entre los grupos de la lista y ciertos espacios simétricos, a saber, los espacios simétricos hermíticos y los espacios simétricos cuaterniones-Kähler . La relación es particularmente clara en el caso de holonomías afines complejas, como lo demostró Schwachhöfer (2001).

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita, sea H ⊂ Aut( V ) un subgrupo de Lie complejo semisimple irreducible conexo y sea K ⊂ H un subgrupo compacto maximal .

1. Si existe un espacio simétrico hermítico irreducible de la forma G /(U(1) · K ), entonces tanto H como C *· H son grupos de holonomía afines irreducibles no simétricos, donde V es la representación tangente de K .
2. Si existe un espacio simétrico cuaternion-Kähler irreducible de la forma G /(Sp(1) · K ), entonces H es un grupo de holonomía afín irreducible no simétrico, como lo es C * · H si dim V = 4. Aquí la representación tangente complejizada de Sp(1) · K es C ² ⊗ V , y H conserva una forma simpléctica compleja en V .

Estas dos familias producen todos los grupos holonomicos afines complejos irreducibles no simétricos, excepto los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

Utilizando la clasificación de espacios simétricos hermíticos, la primera familia da los siguientes grupos de holonomía afines complejos:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}}$

donde Z _C es trivial o el grupo C *.

Utilizando la clasificación de espacios simétricos de cuaterniones-Kähler, la segunda familia da los siguientes grupos de holonomía simpléctica complejos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}}$

(En la segunda fila, Z _C debe ser trivial a menos que n = 2.)

A partir de estas listas, se puede observar un resultado análogo al de Simons, según el cual los grupos de holonomía de Riemann actúan transitivamente sobre esferas: las representaciones de holonomía complejas son todas espacios vectoriales prehomogéneos . No se conoce una prueba conceptual de este hecho.

La clasificación de las holonomías afines reales irreducibles se puede obtener a partir de un análisis cuidadoso, utilizando las listas anteriores y el hecho de que las holonomías afines reales se complejizan en complejas.

Etimología

Existe una palabra similar, " holomórfica ", que fue introducida por dos de los estudiantes de Cauchy , Briot (1817-1882) y Bouquet (1819-1895), y que deriva del griego ὅλος ( holos ) que significa "entero", y μορφή ( morphē ) que significa "forma" o "apariencia". ^[14] La etimología de "holonomía" comparte la primera parte con "holomórfica" ( holos ). Sobre la segunda parte:

"Resulta muy difícil encontrar la etimología de holonómico (u holonomía) en la web. Encontré lo siguiente (gracias a John Conway de Princeton): 'Creo que fue utilizado por primera vez por Poinsot en su análisis del movimiento de un cuerpo rígido. En esta teoría, un sistema se llama "holonómico" si, en cierto sentido, se puede recuperar información global a partir de información local, por lo que el significado de "ley completa" es bastante apropiado. El rodar de una pelota sobre una mesa no es holonómico, porque si se rueda por diferentes caminos hacia el mismo punto se puede poner en diferentes orientaciones. Sin embargo, tal vez sea un poco demasiado simplista decir que "holonomía" significa "ley completa". La raíz "nom" tiene muchos significados entrelazados en griego, y tal vez se refiera más a menudo a "contar". Proviene de la misma raíz indoeuropea que nuestra palabra "número". ' "

—S  . Golwala, ^[15]

Véase νόμος ( nomos ) y -nomy.

Véase también

• Precesión de Thomas

Notas

1. Kobayashi y Nomizu 1963, §II.7
2. Sharpe 1997, §3.7
3. Spivak 1999, pág. 241
4. Sternberg 1964, Teorema VII.1.2
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6. Kobayashi y Nomizu 1963, §IV.5
7. Este teorema se generaliza a variedades no simplemente conexas, pero el enunciado es más complicado.
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Lectura adicional

• Literatura sobre variedades de holonomía especial, una bibliografía de Frederik Witt.