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Homomorfismo de grupo

Representación de un homomorfismo de grupo ( h ) de G (izquierda) a H (derecha). El óvalo dentro de H es la imagen de h . N es el núcleo de h y aN es una clase lateral de N .

En matemáticas , dados dos grupos , ( G ,∗) y ( H , ·), un homomorfismo de grupo de ( G ,∗) a ( H , ·) es una función h  : GH tal que para todo u y v en G se cumple que

donde la operación de grupo en el lado izquierdo de la ecuación es la de G y en el lado derecho la de H .

De esta propiedad se puede deducir que h asigna el elemento identidad e G de G al elemento identidad e H de H ,

y también asigna inversas a inversas en el sentido de que

Por lo tanto se puede decir que h "es compatible con la estructura del grupo".

En áreas de las matemáticas en las que se consideran grupos dotados de estructura adicional, un homomorfismo a veces significa una función que respeta no solo la estructura del grupo (como se indicó anteriormente) sino también la estructura adicional. Por ejemplo, a menudo se requiere que un homomorfismo de grupos topológicos sea continuo.

Propiedades

De la definición de homomorfismo de grupo,

Sea y también . Entonces

.

Similarmente,

Por lo tanto .

Tipos

Monomorfismo
Un homomorfismo de grupo que es inyectivo (o biunívoco), es decir, que preserva la distinción.
Epimorfismo
Un homomorfismo de grupo que es sobreyectivo (o sobre), es decir, alcanza todos los puntos del codominio.
Isomorfismo
Un homomorfismo de grupo que es biyectivo , es decir, inyectivo y sobreyectivo. Su inverso también es un homomorfismo de grupo. En este caso, los grupos G y H se denominan isomorfos ; difieren solo en la notación de sus elementos (excepto el elemento identidad) y son idénticos para todos los fines prácticos. Es decir, reetiquetamos todos los elementos excepto el elemento identidad.
Endomorfismo
Homomorfismo de grupo, h : GG ; el dominio y el codominio son iguales. También se denomina endomorfismo de G .
Automorfismo
Un endomorfismo de grupo que es biyectivo y, por lo tanto, un isomorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G , con composición funcional como operación, forma en sí mismo un grupo, el grupo de automorfismos de G . Se denota por Aut( G ). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de ( Z , + ) contiene solo dos elementos, la transformación identidad y la multiplicación por −1; es isomorfo a ( Z /2 Z , + ).

Imagen y kernel

Definimos el núcleo de h como el conjunto de elementos en G que se asignan a la identidad en H

y la imagen de h para ser

El núcleo y la imagen de un homomorfismo se pueden interpretar como una medida de lo cerca que está de ser un isomorfismo. El primer teorema de isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo de grupo, h ( G ), es isomorfo al grupo cociente G /ker h .

El núcleo de h es un subgrupo normal de G. Supóngase y demuestre para cualquier valor arbitrario :

La imagen de h es un subgrupo de H.

El homomorfismo, h , es un monomorfismo de grupo; es decir, h es inyectivo (uno a uno) si y solo si ker( h ) = { e G }. La inyección indica directamente que hay un elemento único en el núcleo y, a la inversa, un elemento único en el núcleo indica la inyección:

Ejemplos

Categoría de grupos

Si h  : GH y k  : HK son homomorfismos de grupo, entonces también lo es kh  : GK . Esto muestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupo como morfismos, forma una categoría (específicamente la categoría de grupos ).

Homomorfismos de grupos abelianos

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom( G , H ) de todos los homomorfismos de grupo desde G hasta H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos está definida por

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) para todo u en G .

La conmutatividad de H es necesaria para demostrar que h + k es nuevamente un homomorfismo de grupo.

La adición de homomorfismos es compatible con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f está en Hom( K , G ) , h , k son elementos de Hom( G , H ) , y g está en Hom( H , L ) , entonces

( h + k ) ∘ f = ( hf ) + ( kf )    y    g ∘ ( h + k ) = ( gh ) + ( gk ) .

Puesto que la composición es asociativa , esto muestra que el conjunto End( G ) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo , el anillo de endomorfismo de G. Por ejemplo, el anillo de endomorfismo del grupo abeliano que consiste en la suma directa de m copias de Z / n Z es isomorfo al anillo de matrices m -por- m con entradas en Z / n Z. La compatibilidad anterior también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos de grupo forma una categoría preaditiva ; la existencia de sumas directas y núcleos de buen comportamiento hace de esta categoría el ejemplo prototípico de una categoría abeliana .

Véase también

Referencias

Enlaces externos