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Coordenadas armónicas

En la geometría de Riemann , una rama de las matemáticas , las coordenadas armónicas son un tipo de diagrama de coordenadas en una variedad uniforme , determinado por una métrica de Riemann en la variedad. Son útiles en muchos problemas de análisis geométrico debido a sus propiedades de regularidad.

En dos dimensiones, ciertas coordenadas armónicas conocidas como coordenadas isotérmicas se han estudiado desde principios del siglo XIX. Las coordenadas armónicas en dimensiones superiores fueron desarrolladas inicialmente en el contexto de la geometría lorentziana y la relatividad general por Albert Einstein y Cornelius Lanczos (véase condición de coordenadas armónicas ). [1] Tras el trabajo de Dennis DeTurck y Jerry Kazdan en 1981, comenzaron a desempeñar un papel importante en la literatura de análisis geométrico , aunque Idzhad Sabitov y SZ Šefel habían hecho el mismo descubrimiento cinco años antes. [2]

Definición

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana de dimensión n . Se dice que una carta de coordenadas ( x 1 , ..., x n ) , definida en un subconjunto abierto U de M , es armónica si cada función de coordenadas individual x i es una función armónica en U . [3] Es decir, se requiere que

donde ∆ g es el operador de Laplace-Beltrami . Trivialmente, el sistema de coordenadas es armónico si y solo si, como una función U → ℝ n , las coordenadas son una función armónica . Un cálculo directo con la definición local del operador de Laplace-Beltrami muestra que ( x 1 , ..., x n ) es una tabla de coordenadas armónica si y solo si

en el cual Γyo
ijson los símbolos de Christoffel del gráfico dado. [4] En relación con un gráfico de coordenadas de "fondo" fijo ( V , y ) , se puede ver ( x 1 , ..., x n ) como una colección de funciones x ∘ y −1 en un subconjunto abierto del espacio euclidiano. El tensor métrico relativo a x se obtiene del tensor métrico relativo a y mediante un cálculo local que tiene que ver con las primeras derivadas de x ∘ y −1 , y por lo tanto los símbolos de Christoffel relativos a x se calculan a partir de las segundas derivadas de x ∘ y −1 . Por lo tanto, ambas definiciones de coordenadas armónicas, como se dio anteriormente, tienen el carácter cualitativo de tener que ver con ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden para las funciones de coordenadas.

Utilizando la definición de los símbolos de Christoffel, la fórmula anterior es equivalente a

Existencia y teoría básica

Las coordenadas armónicas siempre existen (localmente), un resultado que se desprende fácilmente de los resultados estándar sobre la existencia y regularidad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . [5] En particular, la ecuación ∆ g u j = 0 tiene una solución en algún conjunto abierto alrededor de cualquier punto dado p , tal que u ( p ) y du p están ambos prescritos.

El teorema de regularidad básico concerniente a la métrica en coordenadas armónicas es que si los componentes de la métrica están en el espacio de Hölder C k , α cuando se expresan en algún gráfico de coordenadas, independientemente de la suavidad del gráfico en sí, entonces la función de transición de ese gráfico de coordenadas a cualquier gráfico de coordenadas armónicas estará en el espacio de Hölder C k + 1, α . [6] En particular, esto implica que la métrica también estará en C k , α en relación con los gráficos de coordenadas armónicas. [7]

Como lo descubrió por primera vez Cornelius Lanczos en 1922, en relación con un diagrama de coordenadas armónicas, la curvatura de Ricci está dada por

El aspecto fundamental de esta fórmula es que, para cualquier i y j fijos , el primer término en el lado derecho es un operador elíptico aplicado a la función definida localmente g ij . Por lo tanto, es automático a partir de la regularidad elíptica , y en particular de las estimaciones de Schauder , que si g es C 2 y Ric(g) es C k , α en relación con un gráfico de coordenadas armónicas, entonces g es C k + 2, α en relación con el mismo gráfico. [8] De manera más general, si g es C k , α (con k mayor que uno) y Ric(g) es C l , α en relación con algunos gráficos de coordenadas, entonces la función de transición a un gráfico de coordenadas armónicas será C k + 1, α , y por lo tanto Ric(g) será C min( l , k ), α en gráficos de coordenadas armónicas. Entonces, por el resultado anterior, g será C min( l , k ) + 2, α en gráficos de coordenadas armónicas. [9]

Como otra aplicación de la fórmula de Lanczos, se deduce que una métrica de Einstein es analítica en coordenadas armónicas. [10] En particular, esto muestra que cualquier métrica de Einstein en una variedad suave determina automáticamente una estructura analítica en la variedad, dada por la colección de gráficos de coordenadas armónicas.

Debido al análisis anterior, al analizar las coordenadas armónicas, lo habitual es considerar métricas de Riemann que sean al menos dos veces continuamente diferenciables. Sin embargo, con el uso de espacios de funciones más exóticos , los resultados anteriores sobre la existencia y regularidad de las coordenadas armónicas se pueden extender a entornos en los que la métrica tiene una regularidad muy débil. [11]

Coordenadas armónicas en espacios asintóticamente planos

Robert Bartnik utilizó las coordenadas armónicas para entender las propiedades geométricas de las variedades riemannianas asintóticamente planas . [12] Supóngase que uno tiene una variedad riemanniana completa ( M , g ) , y que hay un subconjunto compacto K de M junto con un difeomorfismo Φ de M ∖ K a ℝ n ∖ B R (0) , tal que Φ * g , relativo a la métrica euclidiana estándar δ en ℝ n ∖ B R (0) , tiene valores propios que están uniformemente acotados arriba y abajo por números positivos, y tales que (Φ * g )( x ) converge, en algún sentido preciso, a δ cuando x diverge al infinito. Tal difeomorfismo se conoce como una estructura en el infinito o como coordenadas asintóticamente planas para ( M , g ) . [13]

El resultado principal de Bartnik es que la colección de coordenadas asintóticamente planas (si no está vacía) tiene una estructura asintótica simple, en la que la función de transición entre dos coordenadas asintóticamente planas se aproxima, cerca del infinito, mediante una transformación afín . [14] Esto es significativo para establecer que la energía ADM de una variedad riemanniana asintóticamente plana es un invariante geométrico que no depende de una elección de coordenadas asintóticamente planas. [15]

La herramienta clave para establecer este hecho es la aproximación de coordenadas asintóticamente planas arbitrarias para ( M , g ) mediante coordenadas asintóticamente planas que son armónicas. El trabajo técnico clave está en el establecimiento de una teoría de Fredholm para el operador de Laplace-Beltrami, cuando actúa entre ciertos espacios de Banach de funciones en M que decaen en el infinito. [16] Entonces, dadas cualesquiera coordenadas asintóticamente planas Φ , del hecho de que

que decae en el infinito, se sigue de la teoría de Fredholm que hay funciones z k que decaen en el infinito tales que Δ g Φ k = Δ g z k , y por lo tanto que Φ k − z k son armónicas. Esto proporciona las coordenadas armónicas asintóticamente planas deseadas. El resultado principal de Bartnik se sigue entonces del hecho de que el espacio vectorial de funciones armónicas que decaen asintóticamente en M tiene dimensión n + 1 , lo que tiene la consecuencia de que cualesquiera dos coordenadas armónicas asintóticamente planas en M están relacionadas por una transformación afín. [17]

El trabajo de Bartnik se basa en la existencia de coordenadas asintóticamente planas. Basándose en sus métodos, Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue e Hiraku Nakajima demostraron que la disminución de la curvatura en términos de la distancia desde un punto, junto con el crecimiento polinomial del volumen de grandes bolas geodésicas y la conectividad simple de sus complementos, implica la existencia de coordenadas asintóticamente planas. [18] El punto esencial es que sus suposiciones geométricas, a través de algunos de los resultados discutidos a continuación sobre el radio armónico, brindan un buen control sobre las coordenadas armónicas en regiones cercanas al infinito. Mediante el uso de una partición de la unidad , estas coordenadas armónicas se pueden unir para formar un solo gráfico de coordenadas, que es el objetivo principal. [19]

Radio armónico

Un resultado fundamental, debido a Michael Anderson , es que dada una variedad riemanniana suave, cualquier número positivo α entre 0 y 1 y cualquier número positivo Q , hay un número r que depende de α , de Q , de los límites superior e inferior de la curvatura de Ricci, de la dimensión y de un límite inferior positivo para el radio de inyectividad, de modo que cualquier bola geodésica de radio menor que r es el dominio de coordenadas armónicas, en relación con el cual el tamaño C 1, α de g y la cercanía uniforme de g a la métrica euclidiana están controlados por Q. [20] Esto también se puede reformular en términos de "normas" de variedades riemannianas puntiagudas, donde la norma C 1, α a una escala r corresponde al valor óptimo de Q para coordenadas armónicas cuyos dominios son bolas geodésicas de radio r . [21] Varios autores han encontrado versiones de tales estimaciones de "radio armónico", tanto antes como después del trabajo de Anderson. [22] El aspecto esencial de la prueba es el análisis, a través de métodos estándar de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , de la fórmula de Lanczos para la curvatura de Ricci en un gráfico de coordenadas armónicas. [23]

Así, hablando libremente, el uso de coordenadas armónicas muestra que las variedades de Riemann pueden ser cubiertas por gráficos de coordenadas en los que las representaciones locales de la métrica de Riemann están controladas únicamente por el comportamiento geométrico cualitativo de la propia variedad de Riemann. Siguiendo las ideas expuestas por Jeff Cheeger en 1970, se pueden considerar secuencias de variedades de Riemann que están controladas geométricamente de manera uniforme y, utilizando las coordenadas, se puede ensamblar una variedad de Riemann "límite". [24] Debido a la naturaleza de dicha "convergencia de Riemann", se deduce, por ejemplo, que hasta el difeomorfismo solo hay un número finito de variedades suaves de una dimensión dada que admiten métricas de Riemann con un límite fijo en la curvatura y el diámetro de Ricci, con un límite inferior positivo fijo en el radio de inyectividad. [25]

Estas estimaciones del radio armónico también se utilizan para construir funciones de corte controladas geométricamente y, por lo tanto, también particiones de la unidad . Por ejemplo, para controlar la segunda derivada covariante de una función mediante una segunda derivada parcial definida localmente, es necesario controlar la primera derivada de la representación local de la métrica. Estas construcciones son fundamentales para estudiar los aspectos básicos de los espacios de Sobolev en variedades de Riemann no compactas. [26]

Referencias

Notas al pie

  1. ^ Einstein 1916; Lanczos 1922.
  2. ^ DeTurck y Kazdan 1981; Sabitov y Šefel 1976.
  3. ^ Besse 2008, pag. 143; Hebey 1999, pág. 13; Petersen 2016, pág. 409; Sakai 1996, pág. 313.
  4. ^ DeTurck y Kazdan 1981, Lema 1.1.
  5. ^ Besse 2008, pag. 143; Petersen 2016, Lema 11.2.5.
  6. ^ DeTurck y Kazdan 1981, Lema 1.2; Besse 2008, Proposición 5.19.
  7. ^ DeTurck y Kazdan 1981, Teorema 2.1.
  8. ^ DeTurck y Kazdan 1981, teorema 4.5 (b); Besse 2008, Teorema 5.20b.
  9. ^ DeTurck y Kazdan 1981, Teorema 4.5 (c).
  10. ^ DeTurck y Kazdan 1981, teorema 5.2; Besse 2008, Teorema 5.26.
  11. ^ Taylor 2000, Secciones 3.9 y 3.10.
  12. ^ Bartnik 1986.
  13. ^ Bartnik 1986, Definición 2.1; Lee y Parker 1987, pág. 75-76.
  14. ^ Bartnik 1986, Corolario 3.22; Lee y Parker 1987, Teorema 9.5.
  15. ^ Bartnik 1986, Teorema 4.2; Lee y Parker 1987, Teorema 9.6.
  16. ^ Bartnik 1986, secciones 1 y 2; Lee y Parker 1987, Teorema 9.2.
  17. ^ Bartnik 1986, pag. 678; Lee y Parker 1987, pág. 78.
  18. ^ Bando, Kasue y Nakajima 1989, Teorema 1.1 y Observación 1.8 (2).
  19. ^ Bando, Kasue y Nakajima 1989, págs. 324–325.
  20. ^ Anderson 1990, Lema 2.2; Hebey 1999, Definición 1.1 y Teorema 1.2.
  21. ^ Petersen 2016, Secciones 11.3.1 y 11.3.4.
  22. ^ Hebey 1999, Teorema 1.2; Petersen 2016, Teorema 11.4.15; Sakai 1996, Teorema A6.10.
  23. ^ Anderson 1990, págs. 434–435; Petersen 2016, págs. 427, 429.
  24. ^ Anderson 1990, Lema 2.1; Petersen 2016, Teorema 11.3.6 y Corolarios 11.3.7 y 11.3.8; Sakai 1996, pág. 313.
  25. ^ Anderson 1990, Teorema 1.1; Petersen 2016, Corolario 11.4.4; Sakai 1996, Observación A6.12.
  26. ^ Hebey 1999, Proposición 3.2, Proposición 3.3, Teorema 3.4, Teorema 3.5.

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