Forma diagonal

Tipo de polinomio homogéneo

En matemáticas , una forma diagonal es una forma algebraica ( polinomio homogéneo ) sin términos cruzados que involucran diferentes indeterminados . Es decir, tiene la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{m}\ }$

para algún grado m .

Estas formas F y las hipersuperficies F = 0 que definen en el espacio proyectivo son muy especiales en términos geométricos, con muchas simetrías. También incluyen casos famosos como las curvas de Fermat y otros ejemplos bien conocidos en la teoría de ecuaciones diofánticas .

Se ha trabajado mucho sobre su teoría: geometría algebraica , funciones zeta locales mediante sumas de Jacobi y método del círculo de Hardy-Littlewood .

Diagonalización

Cualquier polinomio homogéneo de grado 2 se puede transformar a una forma diagonal mediante sustitución de variables. ^[1] Los polinomios homogéneos de grado superior se pueden diagonalizar si y solo si su catalecticante es distinto de cero.

El proceso es particularmente simple para las formas de grado 2 ( formas cuadráticas ), basadas en los valores propios de la matriz simétrica que representa la forma cuadrática.

Ejemplos

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0}$es el circulo unitario en P ²

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}-Z^{2}=0}$es la hipérbola unitaria en P ² .

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0}$da la superficie cúbica de Fermat en P ³ con 27 líneas. Las 27 líneas en este ejemplo son fáciles de describir explícitamente: son las 9 líneas de la forma ( x  : ax  : y  : by ) donde a y b son números fijos con cubo −1, y sus 18 conjugados bajo permutaciones de coordenadas.

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$da una superficie K3 en P ³ .

Referencias

1. Mullikin, Chad AS "Diagonalización de formas cuadráticas" (PDF) .