Función de demanda hicksiana

Concepto en microeconomía

En microeconomía , la función de demanda hicksiana de un consumidor o función de demanda compensada para un bien es la cantidad demandada como parte de la solución para minimizar su gasto en todos los bienes mientras se obtiene un nivel fijo de utilidad . Básicamente, una función de demanda hicksiana muestra cómo reaccionaría un agente económico al cambio en el precio de un bien, si el ingreso del agente fuera compensado para garantizarle la misma utilidad previa al cambio en el precio del bien: el agente permanecerá en la misma curva de indiferencia antes y después del cambio en el precio del bien. La función recibe su nombre de John Hicks .

Matemáticamente, ^[1]

${\displaystyle h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle {\rm {subject~to}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}}}$.

donde h ( p , u ) es la función de demanda hicksiana, o paquete de bienes demandado, en el vector de precios p y nivel de utilidad . Aquí p es un vector de precios, y x es un vector de cantidades demandadas, por lo que la suma de todos los p _i x _i es el gasto total en todos los bienes. (Obsérvese que si hay más de un vector de cantidades que minimiza el gasto para la utilidad dada, tenemos una correspondencia de demanda hicksiana en lugar de una función ). ${\displaystyle {\bar {u}}}$

Las funciones de demanda hicksianas son útiles para aislar el efecto de los precios relativos sobre las cantidades demandadas de bienes, en contraste con las funciones de demanda marshallianas , que combinan eso con el efecto de la reducción del ingreso real del consumidor por un aumento de precio, como se explica a continuación.

Relación con otras funciones

Las funciones de demanda hicksianas suelen ser convenientes para la manipulación matemática porque no requieren que se representen los ingresos o la riqueza. Además, la función que se debe minimizar es lineal en , lo que da un problema de optimización más simple. Sin embargo, las funciones de demanda marshallianas de la forma que describen la demanda dados los precios p y los ingresos son más fáciles de observar directamente. Las dos están relacionadas por ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x(p,w)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle h(p,u)=x(p,e(p,u)),\ }$

donde es la función de gasto (la función que da la riqueza mínima requerida para llegar a un nivel de utilidad dado), y por ${\displaystyle e(p,u)}$

${\displaystyle h(p,v(p,w))=x(p,w),\ }$

donde es la función de utilidad indirecta (que da el nivel de utilidad de tener una riqueza dada bajo un régimen de precios fijos). Sus derivadas están relacionadas de manera más fundamental mediante la ecuación de Slutsky . ${\displaystyle v(p,w)}$

Mientras que la demanda marshalliana surge del problema de maximización de la utilidad, la demanda hicksiana surge del problema de minimización del gasto. Los dos problemas son duales matemáticos y, por lo tanto, el teorema de dualidad proporciona un método para demostrar las relaciones descritas anteriormente.

La función de demanda de Hicks está íntimamente relacionada con la función de gasto . Si la función de utilidad del consumidor es localmente no satisfecha y estrictamente convexa , entonces, por el lema de Shephard, es cierto que ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle h(p,u)=\nabla _{p}e(p,u).}$

Demanda hicksiana y cambios de precios compensados

Las curvas de demanda marshallianas muestran el efecto de los cambios de precio sobre la cantidad demandada. Cuando el precio de un bien aumenta, normalmente la cantidad demandada de ese bien disminuirá, pero no en todos los casos. El aumento de precio tiene tanto un efecto sustitución como un efecto renta . El efecto sustitución es el cambio en la cantidad demandada debido a un cambio de precio que altera la pendiente de la restricción presupuestaria pero deja al consumidor en la misma curva de indiferencia (es decir, en el mismo nivel de utilidad). El efecto sustitución siempre es comprar menos de ese bien. El efecto renta es el cambio en la cantidad demandada debido al efecto del cambio de precio sobre el poder adquisitivo total del consumidor. Dado que para la función de demanda marshalliana el ingreso nominal del consumidor se mantiene constante, cuando un precio aumenta su ingreso real disminuye y es más pobre. Si el bien en cuestión es un bien normal y su precio aumenta, el efecto renta de la caída del poder adquisitivo refuerza el efecto sustitución. Si el bien es un bien inferior , el efecto renta compensará en algún grado el efecto sustitución. Si el bien es un bien Giffen , el efecto ingreso es tan fuerte que la cantidad marshalliana demandada aumenta cuando el precio aumenta.

La función de demanda hicksiana aísla el efecto sustitución al suponer que el consumidor recibe una compensación de ingresos adicionales exactamente suficiente después del aumento de precio para comprar algún paquete en la misma curva de indiferencia. ^[2] Si la función de demanda hicksiana tiene mayor pendiente que la demanda marshalliana, el bien es un bien normal; de lo contrario, el bien es inferior. La demanda hicksiana siempre tiene pendiente negativa.

Propiedades matemáticas

Si la función de utilidad del consumidor es continua y representa una relación de preferencia localmente no satisfecha , entonces la correspondencia de demanda hicksiana satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle h(p,u)}$

i. Homogeneidad de grado cero en p : Para todo , . Esto se debe a que la misma x que se minimiza también se minimiza sujeta a la misma restricción. ^[3] ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle h(ap,u)=h(p,u)}$ ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}x_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i}ap_{i}x_{i}}$

ii. No hay exceso de demanda: la restricción se cumple con igualdad estricta, . Esto se desprende de la continuidad de la función de utilidad. De manera informal, podrían simplemente gastar menos hasta que la utilidad fuera exactamente . ${\displaystyle u(hx)\geq {\bar {u}}}$ ${\displaystyle u(x)={\bar {u}}}$ ${\displaystyle {\bar {u}}}$

Véase también

• Función de demanda marshalliana
• Preferencias convexas
• Problema de minimización de gastos
• Ecuación de Slutsky
• Dualidad (optimización)
• Leyes de demanda derivada de Hicks-Marshall

Referencias

1. Jonathan Levin; Paul Milgrom. "Teoría del consumidor" (PDF) . pág. 12.
2. Varian, Hal R. "Capítulo 8: Ecuación de Slutsky". Ensayo. En Intermediate Microeconomics with Calculus, 1.ª ed., 155–56. Nueva York, NY: WW Norton, 2014.
3. Silberberg E. (2008) Demandas hicksianas y marshallianas. En: Palgrave Macmillan (eds) The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Londres. https://doi.org/10.1057/978-1-349-95121-5_2702-1

• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael y Green, Jerry (1995). Teoría microeconómica . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.