En geometría , el empaquetado compacto de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición (o red ) infinita y regular . Carl Friedrich Gauss demostró que la densidad promedio más alta (es decir, la mayor fracción de espacio ocupada por esferas) que se puede lograr mediante un empaquetamiento reticular es
La misma densidad de empaquetamiento también se puede lograr mediante apilamientos alternos de los mismos planos de esferas muy juntos, incluidas estructuras que son aperiódicas en la dirección de apilamiento. La conjetura de Kepler afirma que ésta es la densidad más alta que se puede alcanzar con cualquier disposición de esferas, ya sea regular o irregular. Esta conjetura fue probada por TC Hales . [1] [2] La densidad más alta se conoce solo para 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones. [3]
Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaquetado compacto de un solo tipo de átomo, o en un empaquetado compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Las disposiciones cúbica y hexagonal tienen mucha energía entre sí y puede resultar difícil predecir qué forma será la preferida a partir de los primeros principios.
Hay dos celosías regulares simples que logran esta densidad promedio más alta. Se les llama cúbicos centrados en las caras ( FCC ) (también llamados cúbicos compactos ) y hexagonales compactos ( HCP ), en función de su simetría . Ambos se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un mosaico triangular; se diferencian en cómo se apilan las hojas unas sobre otras. Los matemáticos también conocen la red FCC como la generada por el sistema de raíces A 3 . [4]
El problema del empaquetado compacto de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le planteara una pregunta sobre el apilamiento de balas de cañón en los barcos en su expedición a América. [5] Las balas de cañón generalmente se apilaban en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro lados. Ambas disposiciones producen una red cúbica centrada en las caras, con diferente orientación con respecto al suelo. El empaquetamiento hexagonal daría como resultado una pirámide de seis lados con una base hexagonal.
El problema de las balas de cañón pregunta qué disposiciones cuadradas y planas de balas de cañón se pueden apilar en una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación diofántica o y conjeturó que las únicas soluciones son y . Aquí está el número de capas en la disposición de apilamiento piramidal y el número de balas de cañón a lo largo de un borde en la disposición cuadrada plana.
Tanto en el acuerdo FCC como en el HCP, cada esfera tiene doce vecinos. Por cada esfera hay un espacio rodeado por seis esferas ( octaédrico ) y dos espacios más pequeños rodeados por cuatro esferas (tetraédrico). Las distancias a los centros de estos espacios desde los centros de las esferas circundantes son √ 3 ⁄ 2 para el tetraédrico y √ 2 para el octaédrico, cuando el radio de la esfera es 1.
Respecto a una capa de referencia con posicionamiento A, son posibles dos posicionamientos más B y C. Cada secuencia de A, B y C sin repetición inmediata de la misma es posible y proporciona un empaquetamiento igualmente denso para esferas de un radio dado.
Los más regulares son
Hay un número infinito e incontable de disposiciones desordenadas de planos (por ejemplo, ABCACBABABAC...) que a veces se denominan colectivamente "empaquetamientos de Barlow", en honor al cristalógrafo William Barlow . [6]
En empaquetado compacto, el espaciado de centro a centro de las esferas en el plano xy es un mosaico simple en forma de panal con un paso (distancia entre los centros de las esferas) de un diámetro de esfera. La distancia entre los centros de las esferas, proyectada sobre el eje z (vertical), es:
donde d es el diámetro de una esfera; esto se desprende de la disposición tetraédrica de esferas muy compactas.
El número de coordinación de HCP y FCC es 12 y sus factores de empaquetamiento atómico (APF) son iguales al número mencionado anteriormente, 0,74._and_Hexagonal_Closet_Packing_(HCP).png/1280px-Cubic_Closest_Packing_(CCP)_and_Hexagonal_Closet_Packing_(HCP).png)
Al formar cualquier red de empaquetamiento de esferas, el primer hecho a tener en cuenta es que siempre que dos esferas se tocan, se puede trazar una línea recta desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra intersectando el punto de contacto. La distancia entre los centros a lo largo del camino más corto, es decir, la línea recta, será, por tanto, r 1 + r 2 donde r 1 es el radio de la primera esfera y r 2 es el radio de la segunda. En un empaque compacto, todas las esferas comparten un radio común, r . Por lo tanto, dos centros simplemente tendrían una distancia 2 r .
Para formar un empaquetamiento cerrado hexagonal ABAB-... de esferas, los puntos de coordenadas de la red serán los centros de las esferas. Supongamos que el objetivo es llenar una caja con esferas según HCP. La caja se colocaría en el espacio de coordenadas x - y - z .
Primero forma una fila de esferas. Todos los centros estarán en línea recta. Su coordenada x variará en 2 r ya que la distancia entre cada centro de las esferas que se tocan es 2 r . La coordenada y y la coordenada z serán las mismas. Para simplificar, digamos que las bolas son la primera fila y que sus coordenadas y y z son simplemente r , de modo que sus superficies descansan en los planos cero. Las coordenadas de los centros de la primera fila se verán como (2 r , r , r ), (4 r , r , r ), (6 r , r , r ), (8 r , r , r ), ... .
Ahora, forma la siguiente fila de esferas. Nuevamente, todos los centros estarán en una línea recta con diferencias de coordenadas x de 2 r , pero habrá un desplazamiento de la distancia r en la dirección x de modo que el centro de cada esfera en esta fila se alinee con la coordenada x . de donde se tocan dos esferas en la primera fila. Esto permite que las esferas de la nueva fila se deslicen más cerca de la primera fila hasta que todas las esferas de la nueva fila toquen dos esferas de la primera fila. Dado que las nuevas esferas tocan dos esferas, sus centros forman un triángulo equilátero con los centros de esos dos vecinos. Las longitudes de los lados son todas 2 r , por lo que la altura o la diferencia de coordenadas y entre las filas es √ 3 r . Así, esta fila tendrá coordenadas como esta:
La primera esfera de esta fila solo toca una esfera en la fila original, pero su ubicación sigue la misma que la del resto de la fila.
La siguiente fila sigue este patrón de desplazar la coordenada x en r y la coordenada y en √ 3 . Agregue filas hasta alcanzar los bordes máximos x e y del cuadro.
En un patrón de apilamiento ABAB-..., los planos impares de esferas tendrán exactamente las mismas coordenadas, excepto por una diferencia de tono en las coordenadas z , y los planos pares de esferas compartirán las mismas coordenadas x e y . Ambos tipos de aviones se forman usando el patrón mencionado anteriormente, pero el punto de partida para la primera esfera de la primera fila será diferente.
Usando el plano descrito precisamente arriba como plano #1, el plano A, coloque una esfera encima de este plano de modo que toque tres esferas en el plano A. Las tres esferas ya se están tocando entre sí, formando un triángulo equilátero, y como todas tocan la nueva esfera, los cuatro centros forman un tetraedro regular . [7] Todos los lados son iguales a 2 r porque todos los lados están formados por dos esferas que se tocan. cuya altura o la diferencia de coordenadas z entre los dos "planos" es√ 6 r 2/3. Esto, combinado con los desplazamientos en las coordenadas xey , da los centros de la primera fila en el plano B:
Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente y son:
La diferencia con el siguiente plano, el plano A, es nuevamente√ 6 r 2/3en la dirección z y un desplazamiento en xey para que coincida con las coordenadas xey del primer plano A. [8]
En general, las coordenadas de los centros de las esferas se pueden escribir como:
donde i , j y k son índices que comienzan en 0 para las coordenadas x , y y z .
Las características cristalográficas de los sistemas HCP, como vectores y familias de planos atómicos, se pueden describir utilizando una notación de índice de Miller de cuatro valores ( hkil ) en la que el tercer índice i denota un componente degenerado pero conveniente que es igual a − h − k . Las direcciones de los índices h , i y k están separadas por 120° y, por tanto, no son ortogonales; el componente l es mutuamente perpendicular a las direcciones del índice h , i y k .
Los empaquetamientos FCC y HCP son los empaquetamientos más densos conocidos de esferas iguales con la simetría más alta (unidades de repetición más pequeñas). Se conocen empaquetamientos de esferas más densos , pero implican empaquetamientos de esferas desiguales . Una densidad de empaquetamiento de 1, que llena el espacio por completo, requiere formas no esféricas, como panales .
Reemplazar cada punto de contacto entre dos esferas con un borde que conecta los centros de las esferas en contacto produce tetraedros y octaedros de longitudes de borde iguales. La disposición FCC produce el panal tetraédrico-octaédrico . La disposición HCP produce el panal tetraédrico-octaédrico giratorio . Si, en cambio, cada esfera se aumenta con los puntos en el espacio que están más cerca de ella que de cualquier otra esfera, se producen los duales de estos panales: el panal dodecaédrico rómbico para FCC, y el panal dodecaédrico trapezo-rómbico para HCP.
Aparecen burbujas esféricas en agua con jabón en una disposición FCC o HCP cuando se drena el agua de los espacios entre las burbujas. Este patrón también se acerca al panal dodecaédrico rómbico o al panal dodecaédrico trapezo-rómbico . Sin embargo, dichas espumas FCC o HCP de contenido líquido muy pequeño son inestables, ya que no satisfacen las leyes de Plateau . La espuma Kelvin y la espuma Weaire-Phelan son más estables y tienen una energía interfacial más pequeña en el límite de un contenido líquido muy pequeño. [9]
Hay dos tipos de agujeros intersticiales que dejan las conformaciones hcp y fcc; vacío tetraédrico y octaédrico. Cuatro esferas rodean el agujero tetraédrico, tres esferas en una capa y una esfera en la siguiente capa. Seis esferas rodean vacíos octaédricos con tres esferas provenientes de una capa y tres esferas provenientes de la siguiente capa. Las estructuras de muchos compuestos químicos simples, por ejemplo, a menudo se describen en términos de átomos pequeños que ocupan huecos tetraédricos u octaédricos en sistemas empaquetados cerrados que se forman a partir de átomos más grandes.
Las estructuras en capas se forman alternando planos octaédricos vacíos y llenos. Dos capas octaédricas generalmente permiten cuatro disposiciones estructurales que pueden llenarse con un hpc o sistemas de empaquetadura fcc. Al llenar agujeros tetraédricos, un relleno completo conduce a una matriz de campo fcc. En las celdas unitarias, el relleno de huecos a veces puede conducir a matrices poliédricas con una mezcla de capas hcp y fcc. [10]
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}( k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bb83425e28ac94a674a3f1b10f04541208ef7a)