Relación giromagnética

Relación entre momento magnético y momento angular

En física , la relación giromagnética (también conocida a veces como relación magnetogírica ^[1] en otras disciplinas) de una partícula o sistema es la relación entre su momento magnético y su momento angular , y a menudo se denota con el símbolo γ , gamma. Su unidad SI es el radian por segundo por tesla (rad⋅s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ ) o, de manera equivalente, el culombio por kilogramo (C⋅kg ⁻¹ ).

El término "relación giromagnética" se utiliza a menudo ^[2] como sinónimo de una cantidad diferente pero estrechamente relacionada, el factor g . El factor g sólo se diferencia de la relación giromagnética en que no tiene dimensiones .

Para un cuerpo giratorio clásico

Considere un cuerpo cargado no conductor que gira alrededor de un eje de simetría. Según las leyes de la física clásica, tiene un momento dipolar magnético debido al movimiento de la carga y un momento angular debido al movimiento de la masa que surge de su rotación. Se puede demostrar que mientras su carga, densidad de masa y flujo ^{[ se necesita aclaración ]} se distribuyan de manera idéntica y rotacionalmente simétrica, su relación giromagnética es

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

¿Dónde está su carga y su masa? ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {m}}$

La derivación de esta relación es la siguiente. Basta demostrar esto para un anillo circular infinitamente estrecho dentro del cuerpo, ya que el resultado general se deriva de una integración . Supongamos que el anillo tiene radio r , área A = πr ² , masa m , carga q y momento angular L = mvr . Entonces la magnitud del momento dipolar magnético es

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.}$

Para un electrón aislado

Un electrón aislado tiene un momento angular y un momento magnético resultantes de su espín . Si bien el espín de un electrón a veces se visualiza como una rotación literal alrededor de un eje, no se puede atribuir a una masa distribuida de manera idéntica a la carga. La relación clásica anterior no se cumple, dando un resultado incorrecto por el valor absoluto del factor g del electrón , que se denota g _e :

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,}$$

μ _Bmagnetón de Bohr

La relación giromagnética debida al espín del electrón es el doble que la debida a la órbita de un electrón.

En el marco de la mecánica cuántica relativista,

$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$$

constante de estructura finag = 2momento dipolar magnético anómalogmomento magnético del electrón^[3] ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).}$$

La relación giromagnética del electrón es ^{[4] [5] [6]}

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1}{\cdot }T^{-1}} }$$

$${\displaystyle {\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{-1}} .}$$

El factor g del electrón y γ concuerdan perfectamente con la teoría; consulte Pruebas de precisión de QED para obtener más detalles. ^[7]

El factor giromagnético no es consecuencia de la relatividad.

Dado que de la ecuación de Dirac se desprende un factor giromagnético igual a 2, es un error frecuente pensar que un factor g 2 es una consecuencia de la relatividad; No lo es. El factor 2 se puede obtener a partir de la linealización tanto de la ecuación de Schrödinger como de la ecuación relativista de Klein-Gordon (que conduce a la de Dirac). En ambos casos se obtiene un espinor de 4 y para ambas linealizaciones se encuentra que el factor g es igual a 2; Por tanto, el factor 2 es consecuencia del acoplamiento mínimo y del hecho de tener el mismo orden de derivadas para el espacio y el tiempo. ^[8]

Giro físico1/2Las partículas que no pueden describirse mediante la ecuación de Dirac medida lineal satisfacen la ecuación de Klein-Gordon medida extendida por g. mi/4 σ ^μν F _μν término según,^[9]

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

Aquí,1/2σ ^μν y F ^μν representan los generadores del grupo de Lorentz en el espacio de Dirac y el tensor electromagnético respectivamente, mientras que A ^μ es el cuatro potencial electromagnético . Un ejemplo de tal partícula, ^[9] es el espín1/2compañero para girar3/2en el espacio de representación D ^(½,1) ⊕ D ^(1,½) del grupo de Lorentz . Se ha demostrado que esta partícula se caracteriza por g = −+2/3 y en consecuencia comportarse como un fermión verdaderamente cuadrático.

Para un núcleo

El signo de la relación giromagnética, γ , determina el sentido de precesión. Si bien los momentos magnéticos (las flechas negras) están orientados de la misma manera para ambos casos de γ , la precesión es en direcciones opuestas. El giro y el momento magnético están en la misma dirección para γ > 0 (como para los protones).

Los protones , los neutrones y muchos núcleos llevan espín nuclear , lo que da lugar a una relación giromagnética como la anterior. La relación se escribe convencionalmente en términos de masa y carga del protón, incluso para neutrones y otros núcleos, en aras de la simplicidad y la coherencia. La fórmula es:

${\displaystyle \gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

donde está el magnetón nuclear y es el factor g del nucleón o núcleo en cuestión. La relación igual a , es 7,622593285(47) MHz/T. ^[10] ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle g_{\rm {n}}}$ ${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$ ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

La relación giromagnética de un núcleo desempeña un papel en la resonancia magnética nuclear (RMN) y la resonancia magnética (IRM). Estos procedimientos se basan en el hecho de que la magnetización masiva debida a los espines nucleares precede en un campo magnético a una velocidad llamada frecuencia de Larmor , que es simplemente el producto de la relación giromagnética por la intensidad del campo magnético. Con este fenómeno, el signo de γ determina el sentido (en sentido horario o antihorario) de precesión.

Los núcleos más comunes, como ^{el 1} H y ^{el 13} C, tienen relaciones giromagnéticas positivas. ^{[11] [12]} En la siguiente tabla se dan valores aproximados para algunos núcleos comunes. ^{[13] [14]}

Precesión de Larmor

Cualquier sistema libre con una relación giromagnética constante, como un sistema rígido de cargas, un núcleo o un electrón , cuando se coloca en un campo magnético externo B (medido en teslas) que no está alineado con su momento magnético , precederá a una velocidad frecuencia f (medida en hercios ), que es proporcional al campo externo:

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

Por esta razón, los valores deγ/2 π , en unidades de hercios por tesla (Hz/T), a menudo se citan en lugar de γ .

Derivación heurística

La derivación de esta relación es la siguiente: Primero debemos demostrar que el par resultante de someter un momento magnético a un campo magnético es La identidad de la forma funcional de los campos eléctrico y magnético estacionarios ha llevado a definir la magnitud del dipolo magnético momento igual de bien , o de la siguiente manera, imitando el momento p de un dipolo eléctrico: El dipolo magnético se puede representar mediante la aguja de una brújula con cargas magnéticas ficticias en los dos polos y un vector de distancia entre los polos bajo la influencia de el campo magnético de la tierra Según la mecánica clásica, el par en esta aguja es Pero como se indicó anteriormente, surge la fórmula deseada. es el vector unitario de distancia. ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pm q_{\rm {m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$ ${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}}$

El modelo del electrón giratorio que utilizamos en la derivación tiene una analogía evidente con un giroscopio. Para cualquier cuerpo en rotación, la tasa de cambio del momento angular es igual al par aplicado : ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

Observemos como ejemplo la precesión de un giroscopio. La atracción gravitacional de la Tierra aplica una fuerza o torque al giroscopio en dirección vertical, y el vector de momento angular a lo largo del eje del giroscopio gira lentamente alrededor de una línea vertical que pasa por el pivote. En lugar del giroscopio, imagine una esfera que gira alrededor del eje y con su centro en el pivote del giroscopio, y a lo largo del eje del giroscopio dos vectores dirigidos de manera opuesta, ambos originados en el centro de la esfera, hacia arriba y hacia abajo. Reemplace la gravedad. con una densidad de flujo magnético ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} .}$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$representa la velocidad lineal de la pica de la flecha a lo largo de un círculo cuyo radio es donde está el ángulo entre y la vertical. Por tanto, la velocidad angular de rotación del espín es ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$ ${\displaystyle \,\phi \,}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

Como consecuencia, ${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}}$

Esta relación también explica una aparente contradicción entre los dos términos equivalentes, relación giromagnética versus relación magnetogírica : mientras que es una relación entre una propiedad magnética (es decir, momento dipolar ) y una propiedad girórica (rotacional, del griego : γύρος , "giro") ( es decir, momento angular ), también es, al mismo tiempo , una relación entre la frecuencia de precesión angular (otra propiedad gírica ) ω = 2 πf y el campo magnético .

La frecuencia de precesión angular tiene un significado físico importante: Es la frecuencia angular del ciclotrón , la frecuencia de resonancia de un plasma ionizado estando bajo la influencia de un campo magnético finito estático, cuando le superponemos un campo electromagnético de alta frecuencia.

Ver también

• Relación carga-masa
• Cambio químico
• Landé g --factor
• ecuación de larmor
• Relación giromagnética de protones

Referencias

1. Unión Internacional de Química Pura y Aplicada (1993). Cantidades, unidades y símbolos en química física , 2.ª edición, Oxford: Blackwell Science. ISBN  0-632-03583-8 . pag. 21. Versión electrónica.
2. Por ejemplo, consulte: Giancoli, DC Física para científicos e ingenieros (3ª ed.). pag. 1017;o ver: Tipler, PA; Llewellyn, RA Física Moderna (4ª ed.). pag. 309.
3. Ventilador, X.; Myers, TG; Sukra, MALO; Gabrielse, G. (13 de febrero de 2023). "Medición del momento magnético del electrón". Cartas de revisión física . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Código bibliográfico : 2023PhRvL.130g1801F. doi :10.1103/PhysRevLett.130.071801. PMID  36867820. S2CID  123962197.
4. "relación giromagnética de electrones". NIST .Tenga en cuenta que NIST pone un signo positivo a la cantidad; sin embargo, para ser coherente con las fórmulas de este artículo, aquí se pone un signo negativo en γ . De hecho, muchas referencias dicen que γ < 0 para un electrón; por ejemplo, Weil y Bolton (2007). Resonancia Paramagnética Electrónica . Wiley. pag. 578. ^{[ cita completa necesaria ]} También tenga en cuenta que las unidades de radianes se agregan para mayor claridad.
5. "relación giromagnética de electrones". NIST .
6. "relación giromagnética de electrones en MHz / T". NIST .
7. Knecht, Marc (12 de octubre de 2002). "Los momentos magnéticos anómalos del electrón y el muón". En Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vicente (eds.). Seminario Poincaré 2002 . Seminario Poincaré. Progresos en Física Matemática. vol. 30. París, FR: Birkhäuser (publicado en 2003). ISBN 3-7643-0579-7. Archivado desde el original ( PostScript ) el 15 de octubre de 2005.
8. Greiner, Walter (4 de octubre de 2000). Mecánica cuántica: una introducción. Springer Verlag . ISBN 9783540674580- a través de libros de Google.
9. Delgado Acosta, EG; Banda Guzmán, VM; Kirchbach, M. (2015). "Factores giromagnéticos g _s de las partículas de espín 1/2 en la tríada (1/2 ⁺ -1/2 ^- -1/2 ^- ) del espinor de cuatro vectores, ψ _μ , irreducibilidad y linealidad". Revista Internacional de Física Moderna E. 24 (7): 1550060. arXiv : 1507.03640 . Código Bib : 2015IJMPE..2450060D. doi :10.1142/S0218301315500603. S2CID  119303031.
10. "Magnetón nuclear en MHz/T: μ N / h {\displaystyle \mu _{\rm {N}}/h}". NIST . 2014.(citando CODATA -valores recomendados)
11. Levitt, MH (2008). Dinámica de giro . John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0470511176.
12. Palmer, Arthur G. (2007). Espectroscopia de RMN de proteínas . Prensa académica de Elsevier . ISBN 978-0121644918.
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