Factor g de Landé

Factor G para electrón con espín y momento angular orbital

En física , el factor g de Landé es un ejemplo particular de factor g , concretamente para un electrón con momentos angulares orbitales y de espín . Lleva el nombre de Alfred Landé , quien lo describió por primera vez en 1921. ^[1]

En física atómica , el factor g de Landé es un término multiplicativo que aparece en la expresión de los niveles de energía de un átomo en un campo magnético débil . Los estados cuánticos de los electrones en los orbitales atómicos normalmente tienen energía degenerada , y todos estos estados degenerados comparten el mismo momento angular. Sin embargo, cuando el átomo se coloca en un campo magnético débil, se elimina la degeneración.

Descripción

El factor surge durante el cálculo de la perturbación de primer orden en la energía de un átomo cuando se aplica al sistema un campo magnético uniforme débil (es decir, débil en comparación con el campo magnético interno del sistema). Formalmente podemos escribir el factor como, ^[2]

${\displaystyle g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

El orbital es igual a 1, y bajo la aproximación , la expresión anterior se simplifica a ${\displaystyle g_{L}}$ ${\displaystyle g_{S}=2}$

${\displaystyle g_{J}(g_{L}=1,g_{S}=2)=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

Aquí, J es el momento angular electrónico total , L es el momento angular orbital y S es el momento angular de espín . Porque para los electrones, a menudo se ve esta fórmula escrita con 3/4 en lugar de . Las cantidades g _L y g _S son otros factores g de un electrón. Para un átomo, y para un átomo, . ${\displaystyle S=1/2}$ ${\displaystyle S(S+1)}$ ${\displaystyle S=0}$ ${\displaystyle g_{J}=1}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle g_{J}=2}$

Si deseamos conocer el factor g para un átomo con momento angular atómico total (núcleo + electrones), de modo que el número cuántico del momento angular atómico total pueda tomar valores de , dando ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}}$ ${\displaystyle F=J+I,J+I-1,\dots ,|J-I|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{F}&=g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}+g_{I}{\frac {\mu _{\text{N}}}{\mu _{\text{B}}}}{\frac {F(F+1)+I(I+1)-J(J+1)}{2F(F+1)}}\\&\approx g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}\end{aligned}}}$

Aquí está el magnetón de Bohr y es el magnetón nuclear . Esta última aproximación se justifica porque es menor que por la relación entre la masa del electrón y la masa del protón. ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{N}}}$ ${\displaystyle \mu _{N}}$ ${\displaystyle \mu _{B}}$

Una derivación

El siguiente trabajo es una derivación común. ^{[3] [4]}

Tanto el momento angular orbital como el momento angular de espín del electrón contribuyen al momento magnético. En particular, cada uno de ellos por sí solo contribuye al momento magnético de la siguiente forma

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}=-{\vec {L}}g_{L}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}=-{\vec {S}}g_{S}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}={\vec {\mu }}_{L}+{\vec {\mu }}_{S}}$

dónde

${\displaystyle g_{L}=1}$

${\displaystyle g_{S}\approx 2}$

Tenga en cuenta que los signos negativos en las expresiones anteriores se deben a que un electrón lleva carga negativa y el valor de puede derivarse naturalmente de la ecuación de Dirac . El momento magnético total , como operador vectorial, no depende de la dirección del momento angular total , porque los factores g para la parte orbital y de espín son diferentes. Sin embargo, debido al teorema de Wigner-Eckart , su valor esperado depende efectivamente de cuya dirección se puede emplear en la determinación del factor g de acuerdo con las reglas del acoplamiento del momento angular . En particular, el factor g se define como consecuencia del propio teorema. ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle }$

Por lo tanto,

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J'_{z}}\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-\sum _{J'_{z}}g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }$

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\quad \hbar ^{2}J(J+1)}$

uno consigue

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{J}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle &=\langle J,J_{z}|g_{L}{{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}+g_{S}{{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}|J,J_{z}\rangle \\&=\langle J,J_{z}|g_{L}{({\vec {L}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}+g_{S}{({\vec {S}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}|J,J_{z}\rangle \\&={\frac {g_{L}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)+L(L+1)-S(S+1))+{\frac {g_{S}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)-L(L+1)+S(S+1))\\g_{J}&=g_{L}{\frac {J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}\end{aligned}}}$

Ver también

• Efecto Einstein-de Haas
• efecto zeeman

Referencias

1. Landé, Alfred (1921). "Über den anomalen Zeemaneffekt". Zeitschrift für Physik . 5 (4): 231. Código bibliográfico : 1921ZPhy....5..231L. doi :10.1007/BF01335014.
2. Nave, CR (25 de enero de 1999). "Interacciones magnéticas y el factor g de Lande". Hiperfísica . Universidad Estatal de Georgia . Consultado el 14 de octubre de 2014 .
3. Ashcroft, Neil W.; Mermín, N. David (1976). Física del estado sólido. Colegio Saunders. ISBN 9780030493461.
4. Yang, Fujia; Hamilton, José H. (2009). Física atómica y nuclear moderna (edición revisada). Científico mundial. pag. 132.ISBN​ 9789814277167.