Grupo supersoluble

Grupo con series de subgrupos normales donde todos los factores son cíclicos

En matemáticas , un grupo es supersoluble (o supersoluble ) si tiene una serie normal invariante donde todos los factores son grupos cíclicos . La supersolubilidad es más fuerte que la noción de solubilidad .

Definición

Sea G un grupo . G es supersoluble si existe una serie normal

${\displaystyle \{1\}=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{s-1}\triangleleft H_{s}=G}$

de modo que cada grupo cociente es cíclico y cada uno es normal en . ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}\;}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle G}$

Por el contrario, para un grupo resoluble la definición requiere que cada cociente sea abeliano . En otra dirección, un grupo policíclico debe tener una serie subnormal con cada cociente cíclico, pero no hay ningún requisito de que cada uno sea normal en . Como todo grupo resoluble finito es policíclico, esto puede verse como una de las diferencias clave entre las definiciones. Para un ejemplo concreto, el grupo alternado en cuatro puntos, , es resoluble pero no supersoluble. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{4}}$

Propiedades básicas

Algunos datos sobre los grupos supersolubles:

• Los grupos supersolubles son siempre policíclicos y, por lo tanto, solubles .
• Todo grupo nilpotente finitamente generado es supersoluble.
• Todo grupo metacíclico es supersoluble.
• El subgrupo conmutador de un grupo supersoluble es nilpotente.
• Los subgrupos y grupos cocientes de grupos supersolubles son supersolubles.
• Un grupo supersoluble finito tiene una serie normal invariante con cada factor cíclico de orden primo.
• De hecho, los primos pueden elegirse en un orden preciso: para cada primo p, y para π el conjunto de primos mayores que p, un grupo finito supersoluble tiene un único subgrupo π de Hall . A estos grupos se los denomina a veces grupos de torre de Sylow ordenados.
• Todo grupo de orden libre de cuadrados , y todo grupo con subgrupos de Sylow cíclicos (un grupo Z ), es supersoluble.
• Toda representación compleja irreducible de un grupo finito supersoluble es monomial, es decir, inducida a partir de un carácter lineal de un subgrupo. En otras palabras, todo grupo finito supersoluble es un grupo monomial .
• Cada subgrupo máximo en un grupo supersoluble tiene índice primo .
• Un grupo finito es supersoluble si y sólo si cada subgrupo máximo tiene índice primo.
• Un grupo finito es supersoluble si y solo si cada cadena máxima de subgrupos tiene la misma longitud. Esto es importante para quienes están interesados ​​en la red de subgrupos de un grupo y a veces se denomina condición de cadena de Jordan-Dedekind .
• Además, un grupo finito es supersoluble si y sólo si su red de subgrupos es una red supersoluble , un fortalecimiento significativo de la condición de cadena de Jordan-Dedekind.
• Según el teorema de Baum, cada grupo finito supersoluble tiene un algoritmo DFT que se ejecuta en un tiempo O ( n log n ). ^{[ aclaración necesaria ]}

Referencias

• Schenkman, Eugene. Teoría de grupos . Krieger, 1975.
• Schmidt, Roland. Redes de subgrupos de grupos . de Gruyter, 1994.
• Keith Conrad, SERIE DE SUBGRUPOS II, Sección 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf