Grupo Janko J2

Grupo simple esporádico

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J ₂ o el grupo de Hall-Janko HJ es un grupo simple esporádico de orden

   2 ⁷  · 3 ³  · 5 ²  · 7 = 604800

≈ 6 × 10⁵ .

Historia y propiedades

J ₂ es uno de los 26 grupos esporádicos y también se denomina grupo de Hall–Janko–Wales . En 1969, Zvonimir Janko predijo J ₂ como uno de los dos nuevos grupos simples que tienen 2 ¹⁺⁴ :A ₅ como centralizador de una involución (el otro es el grupo de Janko J3 ). Fue construido por Marshall Hall y David Wales (1968) como un grupo de permutación de rango 3 en 100 puntos.

Tanto el multiplicador de Schur como el grupo de automorfismos externos tienen orden 2. Como grupo de permutación en 100 puntos, J ₂ tiene involuciones que se mueven en los 100 puntos y en solo 80 puntos. Las primeras involuciones son productos de 25 transportes dobles, un número impar y, por lo tanto, se elevan a 4 elementos en la doble cobertura 2.A ₁₀₀ . La doble cobertura 2.J ₂ se presenta como un subgrupo del grupo de Conway Co ₀ .

J ₂ es el único de los 4 grupos de Janko que es un subcociente del grupo monstruo ; por lo tanto, forma parte de lo que Robert Griess llama la Familia Feliz. Como también se encuentra en el grupo de Conway Co1 , forma parte de la segunda generación de la Familia Feliz.

Representaciones

Es un subgrupo de índice dos del grupo de automorfismos del grafo de Hall-Janko , lo que lleva a una representación de permutación de grado 100. También es un subgrupo de índice dos del grupo de automorfismos del octógono cercano de Hall-Janko , ^[1] lo que lleva a una representación de permutación de grado 315.

Tiene una representación modular de dimensión seis sobre el cuerpo de cuatro elementos; si en la característica dos tenemos w ² + w + 1 = 0 , entonces J ₂ es generado por las dos matrices

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\mathbf {B} }={\begin{pmatrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{pmatrix}}.}$

Estas matrices satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle {\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.}$

(Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices en un cuerpo finito de orden 4 se define de forma ligeramente diferente a la multiplicación de matrices ordinarias. Consulte Campo finito § Campo con cuatro elementos para las tablas de adición y multiplicación específicas, con w igual a a y w ² igual a 1 + a .)

J ₂ es, por tanto, un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo de triángulos (2,3,7) .

La representación matricial dada arriba constituye una incrustación en el grupo de Dickson G ₂ (4) . Sólo hay una clase de conjugación de J ₂ en G ₂ (4). Cada subgrupo J ₂ contenido en G ₂ (4) se extiende a un subgrupo J ₂ :2  = Aut(J ₂ ) en G ₂ (4):2  = Aut( G ₂ (4)) ( G ₂ (4) extendido por los automorfismos de cuerpo de F ₄ ). G ₂ (4) es a su vez isomorfo a un subgrupo del grupo de Conway Co ₁ .

Subgrupos máximos

Existen 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de J ₂ . Algunas se describen aquí en términos de acción en el gráfico de Hall-Janko.

• U ₃ (3) orden 6048 – estabilizador de un punto, con órbitas de 36 y 63

Simple, contiene 36 subgrupos simples de orden 168 y 63 involuciones, todas conjugadas, cada una de las cuales se mueve 80 puntos. Una involución dada se encuentra en 12 subgrupos de 168, por lo que los fija bajo conjugación. Su centralizador tiene la estructura 4.S ₄ , que contiene 6 involuciones adicionales.

• 3.PGL(2,9) orden 2160 – tiene un subcociente A ₆
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅ orden 1920 – centralizador de involución que se mueve 80 puntos
• 2 ²⁺⁴ :(3 × S ₃ ) orden 1152
• Un orden de ₄ × _{5 720}

Contiene 2 ² × A ₅ (orden 240), centralizador de 3 involuciones que mueven cada una 100 puntos

• A ₅ × D ₁₀ orden 600
• PGL(2,7) orden 336
• 5 ² :D ₁₂ orden 300
• Un ₅ orden 60

Clases de conjugación

El orden máximo de cualquier elemento es 15. Como permutaciones, los elementos actúan sobre los 100 vértices del gráfico de Hall-Janko.

Referencias

1. "El octágono cercano en 315 puntos".

• Robert L. Griess , Jr., "Doce grupos esporádicos", Springer-Verlag, 1998.
• Hall, Marshall ; Wales, David (1968), "El grupo simple de orden 604.800", Journal of Algebra , 9 (4): 417–450, doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 , ISSN  0021-8693, MR  0240192(Griess relata [p. 123] cómo Marshall Hall, como editor de The Journal of Algebra , recibió un artículo muy breve titulado "Un grupo simple de orden 604801". Sí, 604801 es primo.)
• Janko, Zvonimir (1969), "Algunos nuevos grupos simples de orden finito. I", Symposia Mathematica (INDAM, Roma, 1967/68), Vol. 1 , Boston, MA: Academic Press , pp. 25–64, MR  0244371
• Gales, David B., "La unicidad del grupo simple de orden 604800 como subgrupo de SL(6,4)", Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
• Wales, David B., "Generadores del grupo Hall–Janko como subgrupo de G2(4)", Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, doi :10.1016/0021-8693(69)90113-6, MR 0251133, ISSN  0021-8693

Enlaces externos

• MathWorld: Grupos de Janko
• Atlas de representaciones de grupos finitos: J2
• La red de subgrupos de J2