Cerca del polígono

Concepto de geometría de incidencia

Un polígono denso cercano con diámetro d  = 2

En matemáticas , un polígono cercano es un concepto en geometría de incidencia introducido por Ernest E. Shult y Arthur Yanushka en 1980. ^[1] Shult y Yanushka mostraron la conexión entre los llamados sistemas de líneas tetraédricos cerrados en espacios euclidianos y una clase de geometrías de línea-punto que llamaron polígonos cercanos. Estas estructuras generalizan la noción de polígono generalizado ya que cada 2 n -gono generalizado es un 2 n -gono cercano de un tipo particular. Los polígonos cercanos fueron ampliamente estudiados y la conexión entre ellos y los espacios polares duales ^[2] se demostró en la década de 1980 y principios de la de 1990. Algunos grupos simples esporádicos , por ejemplo el grupo Hall-Janko y los grupos Mathieu , actúan como grupos de automorfismos de polígonos cercanos.

Definición

Un d -gono cercano a 2 es una estructura de incidencia ( ), donde es el conjunto de puntos, es el conjunto de líneas y es la relación de incidencia , tal que: ${\displaystyle P,L,I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$

• La distancia máxima entre dos puntos (el llamado diámetro) es d .
• Para cada punto y cada línea existe un único punto que está más próximo a . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Nótese que la distancia se mide en el gráfico de colinealidad de puntos, es decir, el gráfico formado al tomar puntos como vértices y unir un par de vértices si son incidentes con una línea común. También podemos dar una definición teórica de grafos alternativa , un 2 d -gono cercano es un grafo conexo de diámetro finito d con la propiedad de que para cada vértice x y cada camarilla máxima M existe un único vértice x' en M más cercano a x . Las camarillas máximas de un grafo de este tipo corresponden a las líneas en la definición de la estructura de incidencia. Un 0-gono cercano ( d = 0) es un único punto mientras que un 2-gono cercano ( d = 1) es solo una única línea, es decir, un grafo completo . Un cuadrángulo cercano ( d = 2) es lo mismo que un cuadrángulo generalizado (posiblemente degenerado) . De hecho, se puede demostrar que cada 2 d -gono generalizado es un 2 d -gono cercano que satisface las siguientes dos condiciones adicionales:

• Cada punto incide con al menos dos líneas.
• Para cada dos puntos x ,  y a una distancia i  <  d , existe un vecino único de y a una distancia i  − 1 de  x .

Un polígono denso se denomina denso si cada línea incide con al menos tres puntos y si cada dos puntos a una distancia de dos tienen al menos dos vecinos comunes. Se dice que tiene orden ( s ,  t ) si cada línea incide con exactamente s  + 1 puntos y cada punto incide con exactamente t  + 1 líneas. Los polígonos densos tienen una rica teoría y varias clases de ellos (como los polígonos delgados densos densos) han sido completamente clasificados. ^[3]

Ejemplos

• Todos los grafos bipartitos conexos son polígonos cercanos. De hecho, cualquier polígono cercano que tenga exactamente dos puntos por línea debe ser un grafo bipartito conexo.
• Todos los polígonos generalizados finitos excepto los planos proyectivos.
• Todos los espacios polares duales .
• El octágono cercano de Hall-Janko, también conocido como octágono cercano de Cohen- Tits ^[4] asociado con el grupo de Hall-Janko . Se puede construir eligiendo la clase de conjugación de 315 involuciones centrales del grupo de Hall-Janko como puntos y líneas como subconjuntos de tres elementos {x, y, xy} siempre que x e y conmuten.
• El hexágono cercano M ₂₄ relacionado con el grupo de Mathieu M24 y el código binario extendido de Golay . Se construye tomando las 759 octadas (bloques) en el diseño de Witt S (5, 8, 24) correspondientes al código de Golay como puntos y un triple de tres octadas disjuntas por pares como líneas. ^[5]
• Tomemos las particiones de {1, 2, ..., 2 n + 2} en n + 1 2-subconjuntos como puntos y las particiones en n − 1 2-subconjuntos y un 4-subconjunto como líneas. Un punto es incidente a una línea si como partición es un refinamiento de la línea. Esto nos da un 2 n -gono cercano con tres puntos en cada línea, usualmente denotado H _n . Su grupo de automorfismos completo es el grupo simétrico S _{2 n +2} . ^{[6] [7]}

Polígonos regulares cercanos

Un cuasi -gono finito S se llama regular si tiene un orden y si existen constantes , tales que por cada dos puntos y a una distancia , existen precisamente líneas que pasan por él y que contienen un punto (necesariamente único) a una distancia de . Resulta que los cuasi -gonos regulares son precisamente aquellos cuasi -gonos cuyo gráfico de puntos (también conocido como gráfico de colinealidad ) es un gráfico regular de distancia . Un cuasi-gono generalizado de orden es un cuasi -gono regular con parámetros ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t_{i}+1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i-1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t}$

Véase también

• Geometría finita
• Espacio polar
• Espacio lineal parcial
• Esquema de asociación
• Gráfica de Hall-Janko

Notas

1. Shult, Ernest; Yanushka, Arthur. "N-gonos y sistemas de líneas".
2. Cameron, Peter J. "Espacios polares duales".
3. De Bruyn, Bart. Cerca de polígonos
4. "El octágono cercano en 315 puntos".
5. "Los diseños de Witt, los códigos de Golay y los grupos de Mathieu" (PDF) . tue.nl . Consultado el 25 de abril de 2023 .
6. Brouwer, AE; Wilbrink, HA, Dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF)
7. De Bruyn, Bart, Incrustaciones isométricas entre los polígonos cercanos Hn y Gn (PDF)

Referencias

• Brouwer, AE; Cohen, AM; Wilbrink, HA; Hall, JJ (1994), "Cerca de polígonos y espacios de Fischer" (PDF) , Geometriae Dedicata , 49 (3): 349–368, doi : 10.1007/BF01264034.

• Brouwer, AE ; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), Gráficos regulares de distancia , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, Sr.  1002568.

• Brouwer, AE ; Wilbrink, HA (1983), Dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF) , Informe ZW194/83, Mathematisch Centrum.

• Cameron, Peter J. (1982), "Espacios polares duales", Geometriae Dedicata , 12 : 75–85, doi : 10.1007/bf00147332 , SEÑOR  0645040.

• Cameron, Peter J. (1991), Espacios proyectivos y polares, QMW Maths Notes, vol. 13, Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR  1153019.
• De Bruyn, Bart (2006), Cerca de polígonos , fronteras en las matemáticas, Birkhäuser Verlag, doi :10.1007/978-3-7643-7553-9, ISBN 3-7643-7552-3, Sr.  2227553.

• De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Manual de geometría de incidencia , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs..
• Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi :10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.

• Shult, Ernesto; Yanushka, Arthur (1980), "Cerca de n-gons y sistemas de líneas", Geometriae Dedicata , 9 : 1–72, doi : 10.1007/BF00156473 , MR  0566437.