Análisis geométrico

Campo de las matemáticas superiores

Superficie mínima de torre de silla de montar . Las superficies mínimas se encuentran entre los objetos de estudio del análisis geométrico.

El análisis geométrico es una disciplina matemática en la que se utilizan herramientas de ecuaciones diferenciales , especialmente ecuaciones diferenciales parciales elípticas (EDP), para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial . El uso de EDP elípticas lineales se remonta al menos a la teoría de Hodge . Más recientemente, se refiere en gran medida al uso de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para estudiar propiedades geométricas y topológicas de espacios, como subvariedades del espacio euclidiano , variedades riemannianas y variedades simplécticas . Este enfoque se remonta al trabajo de Tibor Radó y Jesse Douglas sobre superficies mínimas , John Forbes Nash Jr. sobre incrustaciones isométricas de variedades riemannianas en el espacio euclidiano, el trabajo de Louis Nirenberg sobre el problema de Minkowski y el problema de Weyl, y el trabajo de Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Aleksei Pogorelov sobre hipersuperficies convexas . En la década de 1980, las contribuciones fundamentales de Karen Uhlenbeck , ^[1] Clifford Taubes , Shing-Tung Yau , Richard Schoen y Richard Hamilton dieron inicio a una era particularmente emocionante y productiva del análisis geométrico que continúa hasta el día de hoy. Un logro celebrado fue la solución de la conjetura de Poincaré por parte de Grigori Perelman , completando un programa iniciado y en gran medida llevado a cabo por Richard Hamilton.

Alcance

El alcance del análisis geométrico incluye tanto el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales (cuando también se conoce como "EDP geométrica"), como la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría. Incorpora problemas que involucran curvas y superficies, o dominios con límites curvos, pero también el estudio de variedades de Riemann en dimensión arbitraria. El cálculo de variaciones a veces se considera parte del análisis geométrico, porque las ecuaciones diferenciales que surgen de principios variacionales tienen un fuerte contenido geométrico. El análisis geométrico también incluye el análisis global , que se ocupa del estudio de ecuaciones diferenciales en variedades , y la relación entre ecuaciones diferenciales y topología .

La siguiente es una lista parcial de los principales temas dentro del análisis geométrico:

• Teoría de calibre
• Mapas armónicos
• Métricas de Kähler-Einstein
• Flujo de curvatura media
• Subvariedades mínimas
• Teoremas de energía positiva
• Curvas pseudoholomórficas
• Flujo de Ricci
• Problema de Yamabe
• Ecuaciones de Yang-Mills

Referencias

1. Jackson, Allyn. (2019). Fundador del análisis geométrico galardonado con el Premio Abel. Consultado el 20 de marzo de 2019.

Lectura adicional

• Schoen, Richard ; Yau, Shing Tung (2010). Lecciones sobre geometría diferencial . Prensa internacional de Boston. ISBN 978-1-571-46198-8.
• Andrews, Ben (2010). El flujo de Ricci en la geometría de Riemann: una prueba completa del teorema de la esfera de pinzamiento 1/4 diferenciable (1.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-642-16285-5.
• Jost, Jürgen (2005). Geometría riemanniana y análisis geométrico (4.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-540-25907-7.
• Lee, Jeffrey M. (2009). Variedades y geometría diferencial . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Helgason, Sigurdur (2000). Grupos y análisis geométrico (Geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas) (2.ª ed.). American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-2673-7.
• Helgason, Sigurdur (2008). Análisis geométrico en espacios simétricos (2.ª ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4530-1.