La rotación alrededor de un eje fijo o rotación axial es un caso especial de movimiento de rotación alrededor de un eje de rotación fijo, estacionario o estático en un espacio tridimensional . Este tipo de movimiento excluye la posibilidad de que el eje de rotación instantáneo cambie su orientación y no puede describir fenómenos como la oscilación o la precesión . Según el teorema de rotación de Euler , la rotación simultánea a lo largo de varios ejes estacionarios al mismo tiempo es imposible; si se fuerzan dos rotaciones al mismo tiempo, resultará un nuevo eje de rotación.
Este concepto supone que la rotación también es estable, de modo que no se requiere torsión para mantenerla en marcha. La cinemática y dinámica de rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido son matemáticamente mucho más simples que las de la rotación libre de un cuerpo rígido ; son completamente análogos a los del movimiento lineal a lo largo de una única dirección fija, lo que no es cierto para la rotación libre de un cuerpo rígido . Las expresiones para la energía cinética del objeto y para las fuerzas sobre las partes del objeto también son más simples para la rotación alrededor de un eje fijo que para el movimiento de rotación general. Por estas razones, la rotación alrededor de un eje fijo generalmente se enseña en cursos de introducción a la física después de que los estudiantes hayan dominado el movimiento lineal ; La generalidad completa del movimiento de rotación no suele enseñarse en las clases de introducción a la física.
Un cuerpo rígido es un objeto de extensión finita en el que todas las distancias entre las partículas que lo componen son constantes. No existe ningún cuerpo verdaderamente rígido; Las fuerzas externas pueden deformar cualquier sólido. Entonces, para nuestros propósitos, un cuerpo rígido es un sólido que requiere grandes fuerzas para deformarlo apreciablemente.
Un cambio en la posición de una partícula en el espacio tridimensional se puede especificar completamente mediante tres coordenadas. Un cambio en la posición de un cuerpo rígido es más complicado de describir. Puede considerarse como una combinación de dos tipos distintos de movimiento: movimiento de traslación y movimiento circular.
El movimiento puramente de traslación ocurre cuando cada partícula del cuerpo tiene la misma velocidad instantánea que cualquier otra partícula; entonces el camino recorrido por cualquier partícula es exactamente paralelo al camino recorrido por todas las demás partículas del cuerpo. En el movimiento de traslación, el cambio en la posición de un cuerpo rígido se especifica completamente mediante tres coordenadas, como x , y y z , que dan el desplazamiento de cualquier punto, como el centro de masa, fijado al cuerpo rígido.
El movimiento puramente de rotación ocurre si cada partícula del cuerpo se mueve en círculo alrededor de una sola línea. Esta línea se llama eje de rotación. Entonces los vectores de radio desde el eje hasta todas las partículas experimentan el mismo desplazamiento angular al mismo tiempo. No es necesario que el eje de rotación atraviese el cuerpo. En general, cualquier rotación puede especificarse completamente mediante los tres desplazamientos angulares con respecto a los ejes de coordenadas rectangulares x , y y z . Por tanto, cualquier cambio en la posición del cuerpo rígido se describe completamente mediante tres coordenadas de traslación y tres de rotación.
Se puede llegar a cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido sometiendo primero el cuerpo a un desplazamiento seguido de una rotación, o por el contrario, a una rotación seguida de un desplazamiento. Ya sabemos que para cualquier conjunto de partículas, ya sea en reposo unas con respecto a otras, como en un cuerpo rígido, o en movimiento relativo, como los fragmentos de un proyectil que explotan, la aceleración del centro de masa está dada por
Dada una partícula que se mueve a lo largo de la circunferencia de un círculo de radio , habiendo movido una longitud de arco , su posición angular es relativa a su posición inicial, donde .
En matemáticas y física es convencional tratar el radian , una unidad de ángulo plano, como 1, omitiéndolo a menudo. Las unidades se convierten de la siguiente manera:
Un desplazamiento angular es un cambio de posición angular:
El cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo se llama velocidad angular con dirección a lo largo del eje de rotación. El símbolo de la velocidad angular es y las unidades suelen ser rad s −1 . La velocidad angular es la magnitud de la velocidad angular.
La velocidad angular instantánea está dada por
Usando la fórmula para la posición angular y dejando , también tenemos
La velocidad angular y la frecuencia están relacionadas por
Una velocidad angular cambiante indica la presencia de una aceleración angular en un cuerpo rígido, generalmente medida en rad s −2 . La aceleración angular promedio durante un intervalo de tiempo Δ t está dada por
La aceleración instantánea α ( t ) viene dada por
Por tanto, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, así como la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad.
La aceleración de traslación de un punto sobre el objeto que gira está dada por
La aceleración radial (perpendicular a la dirección del movimiento) está dada por
La aceleración angular es causada por el par , que puede tener un valor positivo o negativo de acuerdo con la convención de frecuencia angular positiva y negativa. La relación entre el par y la aceleración angular (qué tan difícil es iniciar, detener o cambiar la rotación) viene dada por el momento de inercia : .
Cuando la aceleración angular es constante, las cinco cantidades desplazamiento angular , velocidad angular inicial , velocidad angular final , aceleración angular y tiempo pueden relacionarse mediante cuatro ecuaciones de cinemática :
El momento de inercia de un objeto, simbolizado por , es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en su rotación. El momento de inercia se mide en kilogramo metro² (kg m 2 ). Depende de la masa del objeto: al aumentar la masa de un objeto aumenta el momento de inercia. También depende de la distribución de la masa: distribuir la masa más lejos del centro de rotación aumenta en mayor medida el momento de inercia. Para una sola partícula de masa a una distancia del eje de rotación, el momento de inercia está dado por
El par es el efecto de torsión de una fuerza F aplicada a un objeto giratorio que se encuentra en la posición r desde su eje de rotación. Matemáticamente,
El trabajo realizado por un par que actúa sobre un objeto es igual a la magnitud del par multiplicado por el ángulo a través del cual se aplica el par:
La potencia de un par es igual al trabajo realizado por el par por unidad de tiempo, por lo tanto:
El momento angular es una medida de la dificultad para detener un objeto en rotación. esta dado por
El momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular:
El análogo del momento lineal en el movimiento de rotación es el momento angular. Cuanto mayor es el momento angular de un objeto que gira, como una peonza, mayor es su tendencia a seguir girando.
El momento angular de un cuerpo en rotación es proporcional a su masa y a la rapidez con la que gira. Además, el momento angular depende de cómo se distribuye la masa con respecto al eje de rotación: cuanto más lejos esté la masa del eje de rotación, mayor será el momento angular. Un disco plano, como un tocadiscos, tiene menos momento angular que un cilindro hueco de la misma masa y velocidad de rotación.
Al igual que el momento lineal, el momento angular es una cantidad vectorial y su conservación implica que la dirección del eje de giro tiende a permanecer sin cambios. Por esta razón, la peonza permanece erguida, mientras que la que está parada se cae inmediatamente.
La ecuación del momento angular se puede utilizar para relacionar el momento de la fuerza resultante sobre un cuerpo alrededor de un eje (a veces llamado par) y la velocidad de rotación alrededor de ese eje.
El par y el momento angular están relacionados según
La energía cinética debida a la rotación del cuerpo está dada por
La energía cinética es la energía del movimiento. La cantidad de energía cinética de traslación encontrada en dos variables: la masa del objeto ( ) y la velocidad del objeto ( ), como se muestra en la ecuación anterior. La energía cinética siempre debe ser cero o un valor positivo. Si bien la velocidad puede tener un valor positivo o negativo, la velocidad al cuadrado siempre será positiva. [1]
El desarrollo anterior es un caso especial de movimiento de rotación general. En el caso general, se consideran vectores el desplazamiento angular, la velocidad angular, la aceleración angular y el par .
Se considera que un desplazamiento angular es un vector, que apunta a lo largo del eje, de magnitud igual a la de . Se utiliza la regla de la mano derecha para encontrar en qué dirección apunta a lo largo del eje; Si los dedos de la mano derecha están curvados para señalar la forma en que el objeto ha girado, entonces el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección del vector.
El vector de velocidad angular también apunta a lo largo del eje de rotación de la misma manera que los desplazamientos angulares que provoca. Si un disco gira en sentido antihorario visto desde arriba, su vector de velocidad angular apunta hacia arriba. De manera similar, el vector de aceleración angular apunta a lo largo del eje de rotación en la misma dirección que apuntaría la velocidad angular si la aceleración angular se mantuviera durante mucho tiempo.
El vector de par apunta a lo largo del eje alrededor del cual el par tiende a provocar la rotación. Para mantener la rotación alrededor de un eje fijo, el vector de torsión total tiene que estar a lo largo del eje, de modo que solo cambie la magnitud y no la dirección del vector de velocidad angular. En el caso de una bisagra, sólo la componente del vector de par a lo largo del eje influye en la rotación, otras fuerzas y pares son compensados por la estructura.
En matemáticas , la representación eje-ángulo parametriza una rotación en un espacio euclidiano tridimensional mediante dos cantidades: un vector unitario e que indica la dirección (geometría) de un eje de rotación , y un ángulo de rotación θ que describe la magnitud y el sentido ( por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj ) de la rotación alrededor del eje. Sólo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario e con raíz en el origen porque la magnitud de e está limitada. Por ejemplo, los ángulos de elevación y azimut de e son suficientes para ubicarlo en cualquier sistema de coordenadas cartesiano en particular.
Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el ángulo y el eje determinan una transformación que hace girar vectores tridimensionales. La rotación se produce en el sentido prescrito por la regla de la mano derecha .
El eje de rotación a veces se denomina eje de Euler. La representación eje-ángulo se basa en el teorema de rotación de Euler , que dicta que cualquier rotación o secuencia de rotaciones de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional es equivalente a una rotación pura alrededor de un único eje fijo.
Es uno de los muchos formalismos de rotación en tres dimensiones .El caso más simple de rotación alrededor de un eje fijo es el de velocidad angular constante. Entonces el par total es cero. En el ejemplo de la Tierra que gira alrededor de su eje, hay muy poca fricción. Para un ventilador , el motor aplica un par para compensar la fricción. Al igual que el ventilador, los equipos que se encuentran en la industria manufacturera de producción en masa demuestran de manera efectiva la rotación alrededor de un eje fijo. Por ejemplo, se utiliza un torno multihusillo para rotar el material sobre su eje para aumentar efectivamente la productividad de las operaciones de corte, deformación y torneado. [2] El ángulo de rotación es una función lineal del tiempo, cuyo módulo 360° es una función periódica.
Un ejemplo de ello es el problema de los dos cuerpos con órbitas circulares .
La tensión de tracción interna proporciona la fuerza centrípeta que mantiene unido un objeto en rotación. Un modelo de cuerpo rígido ignora la deformación que lo acompaña . Si el cuerpo no es rígido, esta tensión hará que cambie de forma. Esto se expresa como el objeto que cambia de forma debido a la " fuerza centrífuga ".
Los cuerpos celestes que giran entre sí suelen tener órbitas elípticas . El caso especial de las órbitas circulares es un ejemplo de rotación alrededor de un eje fijo: este eje es la línea que pasa por el centro de masa perpendicular al plano de movimiento. La fuerza centrípeta la proporciona la gravedad ; véase también problema de dos cuerpos . Por lo general, esto también se aplica a un cuerpo celeste que gira, por lo que no es necesario que sea sólido para mantenerse unido a menos que la velocidad angular sea demasiado alta en relación con su densidad. (Sin embargo, tenderá a volverse achatado .) Por ejemplo, un cuerpo celeste de agua que gira debe tardar al menos 3 horas y 18 minutos en girar, independientemente del tamaño, o el agua se separará [ cita necesaria ] . Si la densidad del fluido es mayor el tiempo puede ser menor. Ver período orbital . [3]
En geometría , un plano de rotación es un objeto abstracto utilizado para describir o visualizar rotaciones en el espacio.
El uso principal de los planos de rotación es describir rotaciones más complejas en un espacio de cuatro dimensiones y dimensiones superiores , donde se pueden utilizar para dividir las rotaciones en partes más simples. Esto se puede hacer usando álgebra geométrica , con los planos de rotación asociados con bivectores simples en el álgebra. [4]
Los planos de rotación no se utilizan mucho en dos y tres dimensiones , ya que en dos dimensiones solo hay un plano (por lo que identificar el plano de rotación es trivial y rara vez se hace), mientras que en tres dimensiones el eje de rotación cumple el mismo propósito y es el enfoque más establecido.
Matemáticamente, estos planos se pueden describir de varias maneras. Se pueden describir en términos de planos y ángulos de rotación . Se pueden asociar con bivectores del álgebra geométrica . Están relacionados con los valores propios y vectores propios de una matriz de rotación . Y en dimensiones particulares están relacionadas con otras propiedades algebraicas y geométricas, que luego pueden generalizarse a otras dimensiones.
