La geometría diferencial afín es un tipo de geometría diferencial que estudia invariantes de transformaciones afines que preservan el volumen . El nombre de geometría diferencial afín proviene del programa Erlangen de Klein . La diferencia básica entre la geometría diferencial afín y la de Riemann es que la geometría diferencial afín estudia variedades equipadas con una forma de volumen en lugar de una métrica .
Aquí consideramos el caso más simple, es decir, variedades de codimensión uno. Sea M ⊂ R n +1 una variedad de n dimensiones y sea ξ un campo vectorial en R n +1 transversal a M tal que T p R n +1 = T p M ⊕ Span(ξ) para todo p ∈ M , donde ⊕ denota la suma directa y Span el tramo lineal .
Para una variedad suave, digamos N , sea Ψ( N ) el módulo de campos vectoriales suaves sobre N . Sea D : Ψ( R n +1 )×Ψ( R n +1 ) → Ψ( R n +1 ) la derivada covariante estándar en R n +1 donde D ( X , Y ) = D X Y . Podemos descomponer D X Y en una componente tangente a M y una componente transversal, paralela a ξ. Esto da la ecuación de Gauss : D X Y = ∇ X Y + h ( X , Y )ξ, donde ∇ : Ψ( M )×Ψ( M ) → Ψ( M ) es la conexión inducida en M y h : Ψ ( M )×Ψ( M ) → R es una forma bilineal . Observe que ∇ y h dependen de la elección del campo vectorial transversal ξ. Consideramos sólo aquellas hipersuperficies para las cuales h no es degenerado . Esta es una propiedad de la hipersuperficie M y no depende de la elección del campo vectorial transversal ξ. [1] Si h no es degenerado, entonces decimos que M no es degenerado. En el caso de curvas en el plano, las curvas no degeneradas son aquellas sin inflexiones . En el caso de superficies en 3 espacios, las superficies no degeneradas son aquellas sin puntos parabólicos .
También podemos considerar la derivada de ξ en alguna dirección tangente, digamos X. Esta cantidad, D X ξ, se puede descomponer en una componente tangente a M y una componente transversal, paralela a ξ. Esto da la ecuación de Weingarten : D X ξ = − SX + τ( X )ξ. El tensor de tipo (1,1) S : Ψ( M ) → Ψ( M ) se llama operador de forma afín, el uniforme diferencial τ : Ψ( M ) → R se llama forma de conexión transversal. Nuevamente, tanto S como τ dependen de la elección del campo vectorial transversal ξ.
Sea Ω : Ψ( R n +1 ) n +1 → R una forma de volumen definida en R n +1 . Podemos inducir una forma de volumen en M dada por ω : Ψ( M ) n → R dada por ω( X 1 ,..., X n ) := Ω( X 1 ,..., X n ,ξ). Esta es una definición natural: en la geometría diferencial euclidiana, donde ξ es la unidad euclidiana normal, entonces el volumen euclidiano estándar abarcado por X 1 ,..., X n es siempre igual a ω( X 1 ,..., X n ). Observe que ω depende de la elección del campo vectorial transversal ξ.
Para vectores tangentes X 1 ,..., X n sea H := ( h i,j ) la matriz n × n dada por h i,j := h ( X i , X j ). Definimos una segunda forma de volumen en M dada por ν : Ψ( M ) n → R , donde ν( X 1 ,..., X n ) := |det(H)| 1 ⁄ 2 . Nuevamente, esta es una definición natural. Si M = R n y h es el producto escalar euclidiano, entonces ν( X 1 ,..., X n ) es siempre el volumen euclidiano estándar abarcado por los vectores X 1 ,..., X n . Dado que h depende de la elección del campo vectorial transversal ξ, se deduce que ν también lo hace.
Imponemos dos condiciones naturales. La primera es que la conexión inducida ∇ y la forma de volumen inducida ω sean compatibles, es decir, ∇ω ≡ 0. Esto significa que ∇ X ω = 0 para todo X ∈ Ψ( M ). En otras palabras, si transportamos en paralelo los vectores X 1 ,..., X n a lo largo de alguna curva en M , con respecto a la conexión ∇, entonces el volumen abarcado por X 1 ,..., X n , con respecto a la forma de volumen ω, no cambia. Un cálculo directo [1] muestra que ∇ X ω = τ( X )ω y por lo tanto ∇ X ω = 0 para todo X ∈ Ψ( M ) si, y sólo si, τ ≡ 0, es decir, D X ξ ∈ Ψ( M ) para todo X ∈ Ψ( M ). Esto significa que la derivada de ξ, en una dirección tangente X , con respecto a D siempre produce un vector tangente, posiblemente cero, a M. La segunda condición es que las dos formas de volumen ω y ν coincidan, es decir, ω ≡ ν.
Se puede demostrar [1] que existe, hasta el signo, una elección única de campo vectorial transversal ξ para la cual se satisfacen las dos condiciones de que ∇ω ≡ 0 y ω ≡ ν . Estos dos campos vectoriales transversales especiales se denominan campos vectoriales normales afines o, a veces, campos normales de Blaschke . [2] De su dependencia de las formas de volumen para su definición, vemos que el campo vectorial normal afín es invariante bajo transformaciones afines que preservan el volumen . Estas transformaciones están dadas por SL( n +1, R ) ⋉ R n +1 , donde SL( n +1, R ) denota el grupo lineal especial de ( n +1) × ( n +1 ) matrices con entradas reales y determinante 1, y ⋉ denota el producto semidirecto . SL( n +1, R ) ⋉ R n +1 forma un grupo de Lie .
La recta normal afín en un punto p ∈ M es la recta que pasa por p y es paralela a ξ.
El campo vectorial normal afín para una curva en el plano tiene una buena interpretación geométrica. [2] Sea I ⊂ R un intervalo abierto y sea γ : I → R 2 una parametrización suave de una curva plana. Suponemos que γ( I ) es una curva no degenerada (en el sentido de Nomizu y Sasaki [1] ), es decir, sin puntos de inflexión . Considere un punto p = γ( t 0 ) en la curva plana. Dado que γ( I ) no tiene puntos de inflexión, se deduce que γ( t 0 ) no es un punto de inflexión y, por lo tanto, la curva será localmente convexa, [3] es decir, todos los puntos γ( t ) con t 0 − ε < t < t 0 + ε, para ε suficientemente pequeño, estará en el mismo lado de la recta tangente a γ( I ) en γ( t 0 ).
Considere la línea tangente a γ( I ) en γ( t 0 ), y considere líneas paralelas cercanas en el lado de la línea tangente que contiene el tramo de curva P := {γ(t) ∈ R 2 : t 0 − ε < t < t 0 + ε}. Para líneas paralelas suficientemente cercanas a la línea tangente, cortarán a P exactamente en dos puntos. En cada línea paralela marcamos el punto medio del segmento de línea que une estos dos puntos de intersección. Para cada línea paralela obtenemos un punto medio, por lo que el lugar geométrico de los puntos medios traza una curva que comienza en p . La línea tangente limitante al lugar geométrico de los puntos medios cuando nos aproximamos a p es exactamente la línea normal afín, es decir, la línea que contiene el vector normal afín a γ( I ) en γ( t 0 ). Observe que esta es una construcción invariante afín ya que el paralelismo y los puntos medios son invariantes bajo transformaciones afines.
Considere la parábola dada por la parametrización γ( t ) = ( t + 2 t 2 , t 2 ) . Esto tiene la ecuación x 2 + 4 y 2 − 4 xy − y = 0. La recta tangente en γ(0) tiene la ecuación y = 0 y, por lo tanto, las rectas paralelas están dadas por y = k para k ≥ 0 suficientemente pequeño. La recta y = k interseca la curva en x = 2 k ± √ k . El lugar geométrico de los puntos medios viene dado por {(2 k , k ) : k ≥ 0}. Estos forman un segmento de línea, por lo que la línea tangente limitante a este segmento de línea cuando tendemos a γ(0) es solo la línea que contiene este segmento de línea, es decir, la línea x = 2 y . En ese caso, la línea normal afín a la curva en γ(0) tiene la ecuación x = 2 y . De hecho, el cálculo directo muestra que el vector normal afín en γ(0), es decir, ξ(0), viene dado por ξ(0) = 2 1 ⁄ 3 ·(2,1). [4] En la figura, la curva roja es la curva γ, las líneas negras son la línea tangente y algunas líneas tangentes cercanas, los puntos negros son los puntos medios en las líneas mostradas y la línea azul es el lugar de los puntos medios.
Existe un análogo similar para encontrar la línea normal afín en puntos elípticos de superficies lisas en 3 espacios. Esta vez se toman planos paralelos al plano tangente. Estos, para planos suficientemente cercanos al plano tangente, intersecan la superficie para formar curvas planas convexas. Cada curva plana convexa tiene un centro de masa . El lugar geométrico de los centros de masa traza una curva en el espacio tridimensional. La línea tangente limitante a este lugar cuando uno tiende al punto de la superficie original es la línea normal afín, es decir, la línea que contiene el vector normal afín.