En matemáticas , geometría y topología es un término general para las disciplinas históricamente distintas de geometría y topología , ya que los marcos generales permiten que ambas disciplinas se manipulen de manera uniforme, más visiblemente en teoremas locales a globales en la geometría de Riemann y resultados como el teorema de Gauss-Bonnet y la teoría de Chern-Weil .
Sin embargo, se pueden establecer distinciones claras entre geometría y topología, como se analiza más adelante. [ aclaración necesaria ]
También es el título de una revista Geometry & Topology que cubre estos temas.
Se distingue de la "topología geométrica", que implica de forma más específica aplicaciones de la topología a la geometría.
Incluye:
No incluye partes de la topología algebraica como la teoría de la homotopía , pero algunas áreas de la geometría y la topología (como la teoría de la cirugía, particularmente la teoría de la cirugía algebraica ) son fuertemente algebraicas.
La geometría tiene una estructura local (o infinitesimal ), mientras que la topología solo tiene una estructura global . Por otra parte, la geometría tiene módulos continuos , mientras que la topología tiene módulos discretos .
Por ejemplo, un ejemplo de geometría es la geometría de Riemann , mientras que un ejemplo de topología es la teoría de la homotopía . El estudio de los espacios métricos es la geometría, el estudio de los espacios topológicos es la topología.
Los términos no se utilizan de forma completamente consistente: las variedades simplécticas son un caso límite y la geometría burda es global, no local.
Por definición, las variedades diferenciables de dimensión fija son todas localmente difeomorfas respecto del espacio euclidiano , por lo que, aparte de la dimensión, no existen invariantes locales. Por lo tanto, las estructuras diferenciables en una variedad son de naturaleza topológica.
Por el contrario, la curvatura de una variedad de Riemann es un invariante local (de hecho, infinitesimal) [ aclaración necesaria ] (y es el único invariante local bajo isometría ).
Si una estructura tiene módulos discretos (si no tiene deformaciones , o si una deformación de una estructura es isomorfa a la estructura original), se dice que la estructura es rígida , y su estudio (si es una estructura geométrica o topológica) es la topología. Si tiene deformaciones no triviales, se dice que la estructura es flexible , y su estudio es la geometría.
El espacio de clases de homotopía de aplicaciones es discreto, [a] por lo que estudiar aplicaciones hasta la homotopía es topología. De manera similar, las estructuras diferenciables en una variedad suelen ser un espacio discreto y, por lo tanto, un ejemplo de topología, pero las R 4 exóticas tienen módulos continuos de estructuras diferenciables.
Las variedades algebraicas tienen espacios de módulos continuos , por lo que su estudio es la geometría algebraica . Estos son espacios de módulos de dimensión finita.
El espacio de las métricas de Riemann en una variedad diferenciable dada es un espacio de dimensión infinita.
Las variedades simplécticas son un caso límite, y partes de su estudio se denominan topología simpléctica y geometría simpléctica .
Según el teorema de Darboux , una variedad simpléctica no tiene estructura local, lo que sugiere que su estudio se llame topología.
Por el contrario, el espacio de estructuras simplécticas en una variedad forma módulos continuos, lo que sugiere que su estudio se llame geometría.
Sin embargo, hasta la isotopía , el espacio de estructuras simplécticas es discreto (cualquier familia de estructuras simplécticas es isotópica). [1]