Cónica generalizada

En matemáticas , una cónica generalizada es un objeto geométrico definido por una propiedad que es una generalización de alguna propiedad definitoria de la cónica clásica . Por ejemplo, en geometría elemental , una elipse puede definirse como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (los focos ) en el plano es una constante. La curva obtenida cuando el conjunto de dos puntos fijos se reemplaza por un conjunto arbitrario, pero fijo y finito de puntos en el plano se llama n -elipse y puede considerarse como una elipse generalizada. Dado que una elipse es el conjunto equidistante de dos círculos, donde un círculo está dentro del otro, el conjunto equidistante de dos conjuntos arbitrarios de puntos en un plano puede verse como una cónica generalizada. En coordenadas cartesianas rectangulares , la ecuación y = x ² representa una parábola . La ecuación generalizada y = x ^r , para r ≠ 0 y r ≠ 1, puede considerarse como la definición de una parábola generalizada. La idea de la cónica generalizada ha encontrado aplicaciones en la teoría de aproximación y la teoría de optimización . ^[1]

Entre las diversas formas posibles en que se puede generalizar el concepto de cónica, el enfoque más utilizado es definirla como una generalización de la elipse . El punto de partida de este enfoque es considerar una elipse como una curva que satisface la "propiedad de los dos focos": una elipse es una curva que es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos dados es constante. Los dos puntos son los focos de la elipse. La curva obtenida al reemplazar el conjunto de dos puntos fijos por un conjunto arbitrario, pero fijo y finito de puntos en el plano puede considerarse como una elipse generalizada. Las cónicas generalizadas con tres focos se denominan elipses trifocales. Esto se puede generalizar aún más a curvas que se obtienen como el lugar geométrico de los puntos de manera que alguna suma ponderada de las distancias a un conjunto finito de puntos sea una constante. Es posible una generalización aún mayor suponiendo que los pesos asignados a las distancias pueden ser de signo arbitrario, es decir, más o menos. Finalmente, también se puede eliminar la restricción de que el conjunto de puntos fijos, llamado el conjunto de focos de la cónica generalizada, sea finito. Se puede suponer que el conjunto es finito o infinito. En el caso infinito, la media aritmética ponderada tiene que ser reemplazada por una integral apropiada. Las cónicas generalizadas en este sentido también se denominan polielipses , óvulos o elipses generalizadas . Dado que estas curvas fueron estudiadas por el matemático alemán Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651-1708), también se las conoce como Tschirnhaus'sche Eikurve . ^{[2] También} René Descartes ^[3] y James Clerk Maxwell han discutido estas generalizaciones . ^[4]

Curvas ovaladas multifocales

Construcción del óvalo definido por AP + 2 BP = c utilizando alfileres, lápiz y cuerda según lo descrito por James Clerk Maxwell.

Construcción del óvalo definido por AP + BP + CP = c utilizando alfileres, lápiz y cuerda según lo descrito por James Clerk Maxwell.

René Descartes (1596-1650), padre de la geometría analítica, en su obra La Géometrie publicada en 1637, reservó una sección de unas 15 páginas para analizar lo que había llamado elipses bifocales. Allí se definía un óvalo bifocal como el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de manera que donde A y B son puntos fijos en el plano y λ y c son constantes que pueden ser positivas o negativas. Descartes había introducido estos óvalos, que ahora se conocen como óvalos cartesianos , para determinar las superficies del vidrio de manera que después de la refracción los rayos se encuentran en el mismo punto. Descartes también había reconocido estos óvalos como generalizaciones de las cónicas centrales, porque para ciertos valores de λ estos óvalos se reducen a las cónicas centrales conocidas, es decir, el círculo, la elipse o la hipérbola. ^[3] ${\displaystyle AP+\lambda BP=c}$

Los óvalos multifocales fueron redescubiertos por James Clerk Maxwell (1831-1879) cuando todavía era estudiante. A la temprana edad de 15 años, Maxwell escribió un artículo científico sobre estos óvalos con el título "Observaciones sobre figuras circunscritas que tienen una pluralidad de focos y radios de varias proporciones" y lo presentó el profesor JD Forbes en una reunión de la Royal Society de Edimburgo en 1846. El profesor JD Forbes también publicó un relato del artículo en las Actas de la Royal Society de Edimburgo. ^{[4] [5]} En su artículo, aunque Maxwell no utilizó el término "cónica generalizada", estaba considerando curvas definidas por condiciones que eran generalizaciones de la condición definitoria de una elipse.

Definición

Un óvalo multifocal es una curva que se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que

${\displaystyle \lambda _{1}A_{1}P+\lambda _{2}A_{2}P+\cdots +\lambda _{n}A_{n}P=c}$

donde A ₁ , A ₂ , . . . , A _n son puntos fijos en un plano y λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _n son números racionales fijos y c es una constante. Propuso métodos sencillos con lápiz, hilo y alfiler para dibujar dichos óvalos.

El método para dibujar el óvalo definido por la ecuación ilustra el enfoque general adoptado por Maxwell para dibujar tales curvas. Fije dos alfileres en los focos A y B . Tome una cuerda cuya longitud sea c + AB y ate un extremo de la cuerda al alfiler en A . Un lápiz se ata al otro extremo de la cuerda y la cuerda se pasa alrededor del alfiler en el foco B . Luego, el lápiz se mueve guiado por el seno de la cuerda. La curva trazada por el lápiz es el lugar geométrico de P . Su ingenio es más visible en su descripción del método para dibujar un óvalo trifocal definido por una ecuación de la forma . Dejen que tres alfileres se fijen en los tres focos A , B , C . Dejen que un extremo de la cuerda se fije en el alfiler en C y dejen que la cuerda pase alrededor de los otros alfileres. Dejen que el lápiz se ate al otro extremo de la cuerda. Dejen que el lápiz enganche un seno en la cuerda entre A y C y luego se estire hasta P . El lápiz se mueve de manera que la cuerda esté tensa. La figura resultante sería parte de una elipse trifocal. Es posible que haya que ajustar la posición de la cuerda para obtener el óvalo completo. ${\displaystyle AP+2BP=c}$ ${\displaystyle AP+BP+CP=c}$

En los dos años posteriores a la presentación de su artículo en la Royal Society de Edimburgo, Maxwell desarrolló sistemáticamente las propiedades geométricas y ópticas de estos óvalos. ^[5]

Especialización y generalización del enfoque de Maxwell

Como caso especial del enfoque de Maxwell, considere la n-elipse , el lugar geométrico de un punto que se mueve de manera tal que se satisface la siguiente condición:

${\displaystyle A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P=c.\,}$

Dividiendo por n y reemplazando c / n por c , esta condición definitoria se puede expresar como

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P)=c}$

Esto sugiere una interpretación sencilla: la cónica generalizada es una curva tal que la distancia media de cada punto P de la curva desde el conjunto { A ₁ , A ₂ , . . . , A _n } tiene el mismo valor constante. Esta formulación del concepto de cónica generalizada se ha generalizado aún más de varias maneras diferentes.

• Cambiar la definición de la media . En la formulación, la media se interpretó como la media aritmética. Esto puede ser reemplazado por otras nociones de medias como la media geométrica de las distancias. Si se utiliza la media geométrica para especificar la media, las curvas resultantes resultan ser lemniscatas . "Las lemniscatas son conjuntos cuyos puntos tienen la misma media geométrica de las distancias (es decir, su producto es constante). Las lemniscatas juegan un papel central en la teoría de la aproximación. La aproximación polinómica de una función holomorfa puede interpretarse como la aproximación de las curvas de nivel con lemniscatas. El producto de las distancias corresponde al valor absoluto de la descomposición de la raíz de los polinomios en el plano complejo". ^[6]
• Cambiar la cardinalidad del conjunto focal . Modificar la definición de modo que se pueda aplicar incluso en el caso en que el conjunto focal sea infinito. Esta posibilidad fue introducida por primera vez por C. Gross y T.-K. Strempel [2] y plantearon el problema de si qué resultados (del caso clásico) se pueden extender al caso de infinitos puntos focales o a un conjunto continuo de focos. ^[7]
• Cambiar la dimensión del espacio subyacente . Se puede suponer que los puntos se encuentran en algún espacio de dimensión d .
• Cambiar la definición de distancia . Tradicionalmente se emplean definiciones euclidianas. En su lugar, se pueden utilizar otras nociones de distancia como la distancia en taxi . ^{[6] [8]} Las cónicas generalizadas con esta noción de distancia han encontrado aplicaciones en la tomografía geométrica . ^{[6] [9]}

La formulación de la definición de la cónica generalizada en el caso más general cuando la cardinalidad del conjunto focal es infinita involucra las nociones de conjuntos medibles y de integración de Lebesgue. Todas ellas han sido empleadas por diferentes autores y las curvas resultantes han sido estudiadas con especial énfasis en las aplicaciones.

Definición

Sea una métrica y una medida en un conjunto compacto con . La función cónica generalizada no ponderada asociada con es ${\displaystyle d:R^{n}\rightarrow R}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle K\subset R^{n}}$ ${\displaystyle \mu (K)>0}$ ${\displaystyle f_{K}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f_{K}(x)=\int _{K}g(x,y)d(x,y)\,d_{\mu }y}$

donde es una función de núcleo asociada a . es el conjunto de focos. Los conjuntos de niveles se denominan cónicas generalizadas. ^[6] ${\displaystyle g:R^{n}\times R^{n}\rightarrow R}$ ${\displaystyle f_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x\in R^{n}:f_{K}(x)<c\}}$

Cónicas generalizadas mediante ecuaciones polares

La figura muestra la posición inicial de un cono circular recto, junto con una sección plana, antes de desplegarse sobre un plano.

La figura muestra una posición arbitraria de un cono circular recto, junto con una sección plana, mientras el cono se desenrolla sobre un plano. La figura también muestra la cónica generalizada (curva punteada en el plano) en la que la sección cónica del cono se desenrolla sobre el plano.

Dada una cónica, eligiendo un foco de la cónica como polo y la línea que pasa por el polo dibujada paralela a la directriz de la cónica como eje polar, la ecuación polar de la cónica se puede escribir en la siguiente forma:

${\displaystyle r={\frac {ed}{1+e\sin \theta }}}$

Aquí e es la excentricidad de la cónica y d es la distancia de la directriz al polo. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian en su estudio de curvas dibujadas en las superficies de conos circulares rectos introdujeron una nueva clase de curvas que llamaron cónicas generalizadas. ^{[10] [11]} Se trata de curvas cuyas ecuaciones polares son similares a las ecuaciones polares de las cónicas ordinarias y las cónicas ordinarias aparecen como casos especiales de estas cónicas generalizadas.

Definición

Para constantes r ₀ ≥ 0, λ ≥ 0 y k real , una curva plana descrita por la ecuación polar

${\displaystyle r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}}}$

Se denomina cónica generalizada . ^[11] La cónica se denomina elipse, parábola o hipérbola generalizada según λ < 1, λ = 1 o λ > 1.

Casos especiales

• En el caso especial cuando k = 1, la cónica generalizada se reduce a una cónica ordinaria.
• En el caso especial cuando k > 1, existe un método geométrico simple para la generación de la cónica generalizada correspondiente. ^[11]

Sea α un ángulo tal que sen α = 1/ k . Considérese un cono circular recto con un ángulo semivertical igual a α . Considérese la intersección de este cono con un plano tal que la intersección sea una cónica con excentricidad λ . Desdoblemos el cono hasta un plano. Entonces, la curva en el plano en el que se desdobla la sección cónica de excentricidad λ es una cónica generalizada con ecuación polar como se especifica en la definición.

• En el caso especial en que k < 1, la cónica generalizada no se puede obtener desdoblando una sección cónica. En este caso hay otra interpretación.

Consideremos una cónica ordinaria dibujada en un plano. Envuelva el plano para formar un cono circular recto de modo que la cónica se convierta en una curva en el espacio tridimensional. La proyección de la curva sobre un plano perpendicular al eje del cono será una cónica generalizada en el sentido de Apostol y Mnatsakanian con k < 1.

Ejemplos

Cónicas generalizadas en aproximación de curvas

En 1996, Ruibin Qu introdujo una nueva noción de cónica generalizada como herramienta para generar aproximaciones a curvas. ^[12] El punto de partida de esta generalización es el resultado de que la secuencia de puntos definida por ${\displaystyle \{P_{k}:k=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle P_{k+1}=2\alpha P_{k}-P_{k-1}}$

Se encuentran en una cónica. En este enfoque, la cónica generalizada se define ahora como se muestra a continuación.

Definición

Una cónica generalizada es una curva tal que si los dos puntos y están sobre ella, entonces los puntos generados por la relación recursiva ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \{P_{k}:k>1\}}$

${\displaystyle P_{k+1}=2\alpha P_{k}+\beta P_{k-1}}$

para algunos y satisfacer las relaciones ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \alpha \beta \neq 0,\quad (\alpha ,\beta )\neq (\pm 1,-1),\quad \alpha ^{2}+\beta \neq 0}$

También están en ello.

Cónicas generalizadas como conjuntos equidistantes

Animación que muestra la generación de una elipse como el conjunto equidistante de dos círculos.

Definición

Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea A un subconjunto no vacío de X . Si x es un punto en X , la distancia de x desde A se define como d ( x , A ) = inf{ d ( x , a ): a en A }. Si A y B son ambos subconjuntos no vacíos de X entonces el conjunto equidistante determinado por A y B se define como el conjunto { x en X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Este conjunto equidistante se denota por { A = B }. El término cónica generalizada se utiliza para denotar un conjunto equidistante general. ^[13]

Ejemplos

Las cónicas clásicas pueden representarse como conjuntos equidistantes. Por ejemplo, si A es un conjunto unitario y B es una línea recta, entonces el conjunto equidistante { A = B } es una parábola. Si A y B son círculos tales que A está completamente dentro de B, entonces el conjunto equidistante { A = B } es una elipse. Por otro lado, si A se encuentra completamente fuera de B, el conjunto equidistante { A = B } es una hipérbola.

Un enfoque similar considera una generalización de la interpretación de foco/directriz/excentricidad de las cónicas, al retener un único punto F para el foco, cualquier curva diferenciable d que sirve como directriz, y e > 0, la excentricidad. Sea X un punto variable en d. La cónica generalizada resultante es el conjunto de puntos P (cada uno de ellos situado sobre una normal a d a través de X ) para los que las distancias PF y PX satisfacen la relación PF/PX = e . Norman ^[14] y Poplin ^[15] se refirieron a estas curvas como pseudocónicas y se ha descartado la restricción de que la distancia desde P a la directriz sea mínima.

Pseudoparábolas con directrices parabólicas y cúbicas, respectivamente

Si se mantiene el requisito de minimalidad, entonces el conjunto de puntos P que satisfacen este requisito se considera la pseudocónica primaria, y el resto de la curva es la rama secundaria de la pseudocónica. Se pueden encontrar ejemplos similares de parábolas generalizadas en Joseph et al. [ ^{16] .}

Referencias

1. Csaba Vincze. «Geometría Convexa» . Consultado el 11 de noviembre de 2015 .
2. Gyula Sz.-Nagy (junio de 1950). "Tschirnhaus'sche Eiflachen und EiKurven". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 1 (2): 167–181. doi :10.1007/BF02021309. S2CID  121088250.
3. Ivor Grattan-Guinness (2005). Escritos emblemáticos en matemáticas occidentales 1640-1940. Elsevier. pág. 13. ISBN 9780080457444. Recuperado el 15 de diciembre de 2015 .
4. James Clerk Maxwell (1990). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846–1862 (Trabajo sobre la descripción de curvas ovaladas). Archivo CUP. pp. 35–42. ISBN 9780521256254. Recuperado el 11 de noviembre de 2015 .
5. PM Harman, Peter Michael Harman (febrero de 2001). La filosofía natural de James Clerk Maxwell. Cambridge University Press. págs. 11-15. ISBN 9780521005852. Recuperado el 15 de diciembre de 2015 .
6. Abris nagy (2015). «Una breve revisión de la teoría de las cónicas generalizadas» (PDF) . Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis . 31 : 81–96 . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
7. C. Gross y T.-K. Strempel (1998). "Sobre generalizaciones de cónicas y sobre una generalización del problema de Fermat-Torricelli". American Mathematical Monthly . 105 (8): 732–743. doi :10.2307/2588990. JSTOR  2588990.
8. Akos G. Horvath, Horst Martini (2011). "Cónicas en planos normados" (PDF) . Extracta Mathematicae . 26 (1): 29–43 . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
9. Abris Nagy. «Cónicas generalizadas y tomografía geométrica» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2015. Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
10. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (mayo de 2007). "Desenvolviendo curvas a partir de cilindros y conos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 114 (5): 388–416. doi :10.1080/00029890.2007.11920429. JSTOR  27642220. S2CID  5953158. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 11 de diciembre de 2015 .
11. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (2012). Nuevos horizontes en geometría . La Asociación Matemática de América. pag. 197.ISBN​ 9780883853542.
12. Ruibin Qu (diciembre de 1997). "Curvas cónicas generalizadas y sus aplicaciones en la aproximación de curvas". Teoría de la aproximación y sus aplicaciones . 13 (4): 57–74.
13. Mario Ponce, Patricio Santibánez (enero de 2014). «Sobre conjuntos equidistantes y cónicas generalizadas: lo antiguo y lo nuevo». The American Mathematical Monthly . 121 (1): 18–32. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.01.018. hdl : 10533/140755 . S2CID  :207521114 . Consultado el 10 de noviembre de 2015 .
14. Norman, FA (1986). Investigación de cónicas generalizadas: una oportunidad para que los estudiantes creen matemáticas.  Reflexiones, 33 (2), 12-15.
15. Poplin, PL (1990). Pseudoconics . Tesis de maestría. Departamento de Matemáticas, Appalachian State University. Boone, NC.
16. Dan Joseph, Gregory Hartman y Caleb Gibson (2011) Parábolas generalizadas, The College Mathematics Journal , 42:4, 275-282, DOI: 10.4169/college.math.j.42.4.275

Lectura adicional

• Para una discusión detallada de las cónicas generalizadas desde el punto de vista de la geometría diferencial, consulte el capítulo sobre cónicas generalizadas en el libro Convex Geometry de Csaba Vincze disponible en línea. ^[1]

1. Csaba Vincze. "Geometría convexa Capítulo 10. Cónicas generalizadas". Digitalis Tankonyvtar . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .