En geometría , un óvalo cartesiano es una curva plana formada por puntos que tienen la misma combinación lineal de distancias desde dos puntos fijos ( focos ). Estas curvas llevan el nombre del matemático francés René Descartes , quien las utilizó en óptica .
Sean P y Q puntos fijos en el plano, y sean d( P , S ) y d( Q , S ) las distancias euclidianas desde estos puntos hasta un tercer punto variable S. Sean m y a números reales arbitrarios . Entonces el óvalo cartesiano es el lugar geométrico de los puntos S que satisfacen d( P , S ) + m d( Q , S ) = a . Los dos óvalos formados por las cuatro ecuaciones d( P , S ) + m d( Q , S ) = ± a y d( P , S ) − m d( Q , S ) = ± a están estrechamente relacionados; juntos forman una curva plana de cuarto grado llamada óvalos de Descartes . [1]
En la ecuación d( P , S ) + m d( Q , S ) = a , cuando m = 1 y a > d( P , Q ) la forma resultante es una elipse . En el caso límite en el que P y Q coinciden, la elipse se convierte en una circunferencia . Cuando es un limaçon de Pascal. Si y la ecuación da una rama de una hipérbola y por tanto no es un óvalo cerrado.
El conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación polinómica de cuarto grado [1] [2]
donde c es la distancia entre los dos focos fijos P = (0, 0) y Q = ( c , 0) , forma dos óvalos, los conjuntos de puntos satisfacen dos de las siguientes cuatro ecuaciones
que tienen soluciones reales. Los dos óvalos generalmente son disjuntos , excepto en el caso de que P o Q les pertenezca. Al menos una de las dos perpendiculares a PQ que pasan por los puntos P y Q corta esta curva cuártica en cuatro puntos reales; de esto se deduce que están necesariamente anidados, con al menos uno de los dos puntos P y Q contenidos en el interior de ambos. [2] Para una parametrización diferente y la cuartica resultante, consulte Lawrence. [3]
Como descubrió Descartes, los óvalos cartesianos se pueden utilizar en el diseño de lentes . Eligiendo la relación de distancias entre P y Q para que coincida con la relación de senos en la ley de Snell , y utilizando la superficie de revolución de uno de estos óvalos, es posible diseñar una llamada lente aplanática , que no tiene aberración esférica . [4]
Además, si un frente de onda esférico se refracta a través de una lente esférica o se refleja desde una superficie esférica cóncava, el frente de onda refractado o reflejado adquiere la forma de un óvalo cartesiano. Por lo tanto, la cáustica formada en este caso por aberración esférica puede describirse como la evolución de un óvalo cartesiano. [5]
Los óvalos de Descartes fueron estudiados por primera vez por René Descartes en 1637, en relación con sus aplicaciones en óptica.
Estas curvas también fueron estudiadas por Newton a partir de 1664. Un método para dibujar ciertos óvalos cartesianos específicos, ya utilizado por Descartes, es análogo a la construcción estándar de una elipse mediante un hilo fijado con alfileres. Si uno estira un hilo desde un alfiler en un foco para enrollarlo alrededor de un alfiler en un segundo foco, y ata el extremo libre del hilo a una pluma, el camino tomado por la pluma, cuando el hilo está tenso, forma una línea cartesiana. ovalado con una relación de 2:1 entre las distancias de los dos focos. [6] Sin embargo, Newton rechazó tales construcciones por considerarlas insuficientemente rigurosas . [7] Definió el óvalo como la solución de una ecuación diferencial , construyó sus subnormales y nuevamente investigó sus propiedades ópticas. [8]
El matemático francés Michel Chasles descubrió en el siglo XIX que, si un óvalo cartesiano está definido por dos puntos P y Q , entonces hay en general un tercer punto R en la misma recta tal que el mismo óvalo también está definido por cualquier par de estos tres puntos. [2]
James Clerk Maxwell redescubrió estas curvas, las generalizó a curvas definidas manteniendo constante la suma ponderada de distancias desde tres o más focos y escribió un artículo titulado Observaciones sobre figuras circunscritas que tienen una pluralidad de focos y radios de varias proporciones . JD Forbes escribió un informe de sus resultados, titulado Sobre la descripción de curvas ovaladas y de aquellas que tienen una pluralidad de focos , y lo presentó a la Royal Society de Edimburgo en 1846, cuando Maxwell tenía 14 años (casi 15). ). [6] [9] [10]
![{\displaystyle \left[(1-m^{2})(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{ 2}\derecha]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec08f0af05f94639c4686ce0c6212969fe33472)
