factorial doble

función matemática

Los quince diagramas de cuerdas diferentes en seis puntos, o equivalentemente las quince coincidencias perfectas diferentes en un gráfico completo de seis vértices . Estos se cuentan mediante el factorial doble 15 = (6 − 1) ‼.

En matemáticas , el doble factorial de un número n , denotado por n ‼, es el producto de todos los números enteros positivos hasta n que tienen la misma paridad (par o impar) que n . ^[1] Es decir,

$${\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .}$$

Reformulado, esto dice que incluso para n , el doble factorial es

$${\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,}$$

n

$${\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.}$$

9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 9450‼ = 1producto vacío^{[2] [3]}

La secuencia de factoriales dobles para n = 0, 2, 4, 6, 8,... comienza como

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ... (secuencia A000165 en el OEIS )

La secuencia de factoriales dobles para n impar = 1, 3, 5, 7, 9,... comienza como

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (secuencia A001147 en el OEIS )

El término factorial impar se utiliza a veces para el factorial doble de un número impar. ^{[4] [5]}

Knuth también utiliza el término semifactorial como sinónimo de doble factorial. ^[6]

Historia y uso

En un artículo de 1902, el físico Arthur Schuster escribió: ^[7]

La representación simbólica de los resultados de este artículo se ve facilitada mucho por la introducción de un símbolo separado para el producto de factores alternativos, si es impar o si es impar [sic]. Propongo escribir para dichos productos y, si se requiere un nombre para el producto, llamarlo "factorial alternativo" o "factorial doble". ${\displaystyle n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\cdot n-2\cdots 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!!}$

Meserve (1948) ^[8] afirma que el doble factorial se introdujo originalmente con el fin de simplificar la expresión de ciertas integrales trigonométricas que surgen en la derivación del producto de Wallis . Los factoriales dobles también surgen al expresar el volumen de una hiperesfera y tienen muchas aplicaciones en combinatoria enumerativa . ^{[1] [9]} Ocurren en la distribución t de Student (1908), aunque Gosset no utilizó la notación de doble signo de exclamación.

Relación con el factorial

Debido a que el factorial doble sólo involucra aproximadamente la mitad de los factores del factorial ordinario , su valor no es sustancialmente mayor que la raíz cuadrada del factorial n . , ¡y es mucho más pequeño que el factorial iterado ( n !)! .

El factorial de un n positivo se puede escribir como el producto de dos factoriales dobles: ^[2]

$${\displaystyle n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,}$$

$${\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,}$$

n = 0

Para un entero par no negativo n = 2 k con k ≥ 0 , el factorial doble se puede expresar como

$${\displaystyle (2k)!!=2^{k}k!\,.}$$

Para n = 2 k − 1 impar con k ≥ 1 , combinando las dos fórmulas anteriores se obtiene

$${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.}$$

Para un entero positivo impar n = 2 k − 1 con k ≥ 1 , el factorial doble se puede expresar en términos de k -permutaciones de 2 k ^{[1] [10]} o un factorial descendente como

$${\displaystyle (2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.}$$

Aplicaciones en combinatoria enumerativa

Los quince árboles binarios con raíces diferentes (con hijos desordenados) en un conjunto de cuatro hojas etiquetadas, que ilustran 15 = (2 × 4 − 3)‼ (ver el texto del artículo).

Los factoriales dobles están motivados por el hecho de que ocurren con frecuencia en combinatoria enumerativa y otros entornos. Por ejemplo, n ‼ para valores impares de n recuentos

• Coincidencias perfectas del gráfico completo K _{n + 1} para n impar . En un gráfico de este tipo, cualquier vértice v tiene n posibles opciones de vértice con los que se puede hacer coincidir, y una vez que se hace esta elección, el problema restante es seleccionar una coincidencia perfecta en un gráfico completo con dos vértices menos. Por ejemplo, un gráfico completo con cuatro vértices a , b , c y d tiene tres coincidencias perfectas: ab y cd , ac y bd , y ad y bc . ^[1] Las coincidencias perfectas pueden describirse de varias otras formas equivalentes, incluidas involuciones sin puntos fijos en un conjunto de n + 1 elementos ( permutaciones en las que cada ciclo es un par) ^[1] o diagramas de cuerdas (conjuntos de cuerdas de un conjunto de n + 1 puntos espaciados uniformemente en un círculo de modo que cada punto sea el punto final de exactamente una cuerda, también llamados diagramas de Brauer ). ^{[9] [11] [12]} Los números de coincidencias en gráficos completos, sin obligar a que las coincidencias sean perfectas, están dados por los números de teléfono , que pueden expresarse como una suma que involucra factoriales dobles. ^[13]
• Permutaciones de Stirling , permutaciones del conjunto múltiple de números 1, 1, 2, 2, ..., k , k en las que cada par de números iguales está separado solo por números mayores, donde k =norte + 1/2. Las dos copias de k deben ser adyacentes; eliminarlos de la permutación deja una permutación en la que el elemento máximo es k − 1 , con n posiciones en las que se pueden colocar el par adyacente de k valores. De esta construcción recursiva se desprende por inducción una prueba de que las permutaciones de Stirling se cuentan por las permutaciones dobles. ^[1] Alternativamente, en lugar de la restricción de que los valores entre un par pueden ser mayores que él, también se pueden considerar las permutaciones de este conjunto múltiple en el que las primeras copias de cada par aparecen en orden ordenado; dicha permutación define una coincidencia en las 2 k posiciones de la permutación, por lo que nuevamente el número de permutaciones puede contarse mediante las permutaciones dobles. ^[9]
• Árboles ordenados en montón , árboles con k + 1 nodos etiquetados 0, 1, 2, ... k , de modo que la raíz del árbol tiene la etiqueta 0, cada uno de los demás nodos tiene una etiqueta más grande que su padre y los hijos de cada nodo tienen un orden fijo. Un recorrido de Euler por el árbol (con aristas duplicadas) da una permutación de Stirling, y cada permutación de Stirling representa un árbol de esta manera. ^{[1] [14]}
• Árboles binarios sin raíz connorte + 5/2hojas etiquetadas. Cada uno de estos árboles puede formarse a partir de un árbol con una hoja menos, subdividiendo uno de los n bordes del árbol y haciendo que el nuevo vértice sea el padre de una nueva hoja.
• Árboles binarios enraizados connorte + 3/2hojas etiquetadas. Este caso es similar al caso sin raíz, pero el número de aristas que se pueden subdividir es par, y además de subdividir una arista es posible agregar un nodo a un árbol con una hoja menos agregando una nueva raíz cuyos dos hijos son el árbol más pequeño y la nueva hoja. ^{[1] [9]}

Callan (2009) y Dale & Moon (1993) enumeran varios objetos adicionales con la misma secuencia de conteo , incluidas "palabras trapezoidales" ( numerales en un sistema de bases mixtas con bases impares crecientes), caminos de Dyck con etiquetas de altura , árboles ordenados con etiquetas de altura , "rutas salientes" y ciertos vectores que describen la hoja descendiente con el número más bajo de cada nodo en un árbol binario enraizado. Para pruebas biyectivas de que algunos de estos objetos son equinumeros, consulte Rubey (2008) y Marsh & Martin (2011). ^{[15] [16]}

Los factoriales pares dobles dan el número de elementos de los grupos hiperoctaédricos (permutaciones con signo o simetrías de un hipercubo )

Asintóticas

La aproximación de Stirling para el factorial se puede utilizar para derivar un equivalente asintótico para el factorial doble. En particular, dado que uno tiene como tiende al infinito que ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is even}},\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$$

Extensiones

Argumentos negativos

El factorial ordinario, cuando se extiende a la función gamma , tiene un polo en cada entero negativo, lo que impide que el factorial se defina en estos números. Sin embargo, el doble factorial de números impares se puede extender a cualquier argumento de entero impar negativo invirtiendo su relación de recurrencia.

$${\displaystyle n!!=n\times (n-2)!!}$$

$${\displaystyle n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.}$$

1/3^[1]n

$${\displaystyle (-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.}$$

Argumentos complejos

Sin tener en cuenta la definición anterior de n !! para valores pares de  n , el factorial doble para enteros impares se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos z observando que cuando z es un entero impar positivo entonces ^{[17] [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}}$$

función gamma ${\displaystyle \Gamma (z)}$

¡¡La expresión final está definida para todos los números complejos excepto los enteros pares negativos y satisface ( z + 2)!! = ( z + 2) · z !! en todas partes está definido. Al igual que ocurre con la función gamma que extiende la función factorial ordinaria, esta función factorial doble es logarítmicamente convexa en el sentido del teorema de Bohr-Mollerup . Asintóticamente, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$

¡¡La fórmula generalizada no concuerda con la fórmula del producto anterior para z !! para valores enteros  pares no negativos de z . En cambio, esta fórmula generalizada implica la siguiente alternativa: ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}$

$${\displaystyle (2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,}$$

• ${\displaystyle 0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\dots }$(secuencia A076668 en la OEIS ).

Usando esta fórmula generalizada como definición, el volumen de una hiperesfera de n dimensiones de radio R se puede expresar como ^[19]

$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,.}$$

Identidades adicionales

Para valores enteros de n ,

$${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.}$$

Los factoriales dobles también se pueden utilizar para evaluar integrales de polinomios trigonométricos más complicados. ^{[8] [20]}

Los factoriales dobles de números impares están relacionados con la función gamma por la identidad:

$${\displaystyle (2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.}$$

Algunas identidades adicionales que involucran factoriales dobles de números impares son: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}}$$

Una aproximación a la razón del doble factorial de dos números enteros consecutivos es

$${\displaystyle {\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.}$$

nIntegral de Wallis

Generalizaciones

Definiciones

De la misma manera que el factorial doble generaliza la noción de factorial único , la siguiente definición de funciones factoriales múltiples con valores enteros (multifactoriales), o funciones α -factoriales, amplía la noción de función factorial doble para enteros positivos : ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>\alpha \,;\\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{and}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{ if }}n\leq 0{\text{ and is not a negative multiple of }}\alpha \,;\end{cases}}}$$

Extensión alternativa del multifactorial.

Alternativamente, el multifactorial z ! _{( α )} se puede extender a la mayoría de los números reales y complejos z observando que cuando z es uno más que un múltiplo positivo del entero positivo α entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}}$$

Esta última expresión se define de manera mucho más amplia que la original. De la misma manera que z ! no está definido para números enteros negativos, y z ‼ no está definido para números enteros pares negativos, z ! _{( α )} no está definido para múltiplos negativos de α . Sin embargo, ¡está definido y satisface ( z + α )! _{( α )} = ( z + α )· z ! _{( α )} para todos los demás números complejos  z . Esta definición es consistente con la definición anterior solo para aquellos números enteros z que satisfacen  z ≡ 1 mod α .

Además de extender z ! _{( α )} para la mayoría de los números complejos  z , esta definición tiene la característica de funcionar para todos los valores reales positivos de  α . Además, cuando α = 1 , esta definición es matemáticamente equivalente a la función Π( z ) , descrita anteriormente. Además, cuando α = 2 , esta definición es matemáticamente equivalente a la extensión alternativa del doble factorial.

Números de Stirling generalizados que amplían las funciones multifactoriales

Una clase de números de Stirling generalizados del primer tipo se define para α > 0 mediante la siguiente relación de recurrencia triangular:

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.}$$

¡ Estos coeficientes α -factoriales generalizados generan los distintos productos polinomiales simbólicos que definen las funciones factoriales múltiples o α -factoriales, ( x − 1)! _{( α )} , como

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}}$$

Las distintas expansiones polinómicas en las ecuaciones anteriores en realidad definen los productos factoriales α para múltiples casos distintos de los residuos mínimos x ≡ n ₀ mod α para n ₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1} .

Los polinomios α -factoriales generalizados , σ^{( α )}
_norte( x ) donde σ⁽¹⁾
_norte( x ) ≡ σ _n ( x ) , que generalizan los polinomios de convolución de Stirling desde el caso factorial único a los casos multifactoriales, se definen por

$${\displaystyle \sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}}$$

para 0 ≤ norte ≤ x . Estos polinomios tienen una función generadora ordinaria de forma cerrada particularmente agradable dada por

$${\displaystyle \sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.}$$

En Schmidt (2010) se consideran otras propiedades combinatorias y expansiones de estos triángulos α -factoriales generalizados y secuencias polinomiales. ^[21]

Sumas finitas exactas que involucran múltiples funciones factoriales

Supongamos que n ≥ 1 y α ≥ 2 tienen valores enteros. ¡Entonces podemos expandir las siguientes sumas finitas individuales que involucran las funciones multifactoriales o α -factoriales, ( αn − 1)! _{( α )} , en términos del símbolo de Pochhammer y los coeficientes binomiales generalizados de valores racionales como

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}}$$

y además, de manera similar tenemos expansiones de doble suma de estas funciones dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}}$$

Las dos primeras sumas anteriores son similares en forma a una identidad combinatoria no redonda conocida para la función factorial doble cuando α  := 2 dada por Callan (2009).

$${\displaystyle (2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.}$$

Se pueden obtener identidades similares mediante gramáticas libres de contexto. ^[22] ¡Expansiones adicionales de suma finita de congruencias para las funciones factoriales α , ( αn − d )! _{( α )} , módulo cualquier entero prescrito h ≥ 2 para cualquier 0 ≤ d < α están dados por Schmidt (2018). ^[23]

Referencias

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