trama de presagio

Gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema de control.

Figura 1A: Filtro de paso alto (primer orden, unipolar) Gráfico de magnitud de Bode (arriba) y gráfico de fase de Bode (abajo). La curva de datos roja se aproxima a la línea recta negra.

Figura 1B: Filtro de paso bajo (primer orden, unipolar) Gráfico de magnitud de Bode (arriba) y gráfico de fase de Bode (abajo). La curva de datos roja se aproxima a la línea recta negra.

En ingeniería eléctrica y teoría de control , un diagrama de Bode / ˈ b oʊ d i / es una gráfica de la respuesta de frecuencia de un sistema. Suele ser una combinación de un gráfico de magnitud de Bode , que expresa la magnitud (normalmente en decibelios ) de la respuesta en frecuencia, y un gráfico de fase de Bode , que expresa el cambio de fase .

Tal como lo concibió originalmente Hendrik Wade Bode en la década de 1930, la gráfica es una aproximación asintótica de la respuesta en frecuencia, utilizando segmentos de línea recta . ^[1]

Descripción general

Entre sus varias contribuciones importantes a la teoría de circuitos y la teoría de control , el ingeniero Hendrik Wade Bode , mientras trabajaba en los Laboratorios Bell en la década de 1930, ideó un método simple pero preciso para representar gráficos de ganancia y cambio de fase. Estos llevan su nombre, Trama de ganancia de Bode y Trama de fase de Bode . "Bode" se pronuncia a menudo / ˈ b oʊ d i / BOH -dee , aunque la pronunciación holandesa es Bo-duh. ( Holandés: [ˈboːdə] ). ^{[2] [3]}

Bode se enfrentó al problema de diseñar amplificadores estables con retroalimentación para su uso en redes telefónicas. Desarrolló la técnica de diseño gráfico de los diagramas de Bode para mostrar el margen de ganancia y el margen de fase necesarios para mantener la estabilidad bajo variaciones en las características del circuito causadas durante la fabricación o durante la operación. ^[4] Los principios desarrollados se aplicaron a problemas de diseño de servomecanismos y otros sistemas de control de retroalimentación. El diagrama de Bode es un ejemplo de análisis en el dominio de la frecuencia .

Definición

El diagrama de Bode para un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia ( siendo la frecuencia compleja en el dominio de Laplace ) consta de un diagrama de magnitud y un diagrama de fase. ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s}$

La gráfica de magnitud de Bode es la gráfica de la función de la frecuencia ( siendo la unidad imaginaria ). El eje del gráfico de magnitud es logarítmico y la magnitud se da en decibeles , es decir, un valor de la magnitud se traza en el eje en . ${\displaystyle |H(s=j\omega )|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle 20\log _{10}|H|}$

El diagrama de fase de Bode es la gráfica de la fase , comúnmente expresada en grados, de la función de transferencia en función de . La fase se traza en el mismo eje logarítmico que el gráfico de magnitud, pero el valor de la fase se traza en un eje vertical lineal. ${\displaystyle \arg \left(H(s=j\omega )\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Respuesta frecuente

Esta sección ilustra que un diagrama de Bode es una visualización de la respuesta de frecuencia de un sistema.

Considere un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia . Suponga que el sistema está sujeto a una entrada sinusoidal con frecuencia , ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t),}$

que se aplica de forma persistente, es decir, de un tiempo a otro . La respuesta será de la forma ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi ),}$

es decir, también una señal sinusoidal con amplitud desplazada en una fase con respecto a la entrada. ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Se puede demostrar ^[5] que la magnitud de la respuesta es

y que el cambio de fase es

En resumen, sometido a una entrada con frecuencia , el sistema responde a la misma frecuencia con una salida que se amplifica en un factor y se desfasa en . Estas cantidades, por tanto, caracterizan la respuesta de frecuencia y se muestran en el diagrama de Bode. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$ ${\displaystyle \arg H(\mathrm {j} \omega )}$

Reglas para el diagrama de Bode hecho a mano.

Para muchos problemas prácticos, los diagramas de Bode detallados se pueden aproximar con segmentos de línea recta que son asíntotas de la respuesta precisa. El efecto de cada uno de los términos de una función de transferencia de elementos múltiples se puede aproximar mediante un conjunto de líneas rectas en un diagrama de Bode. Esto permite una solución gráfica de la función de respuesta de frecuencia general. Antes de la disponibilidad generalizada de computadoras digitales, los métodos gráficos se usaban ampliamente para reducir la necesidad de cálculos tediosos; Se podría utilizar una solución gráfica para identificar rangos factibles de parámetros para un nuevo diseño.

La premisa de un diagrama de Bode es que se puede considerar el log de una función en la forma

${\displaystyle f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}}$

como suma de los registros de sus ceros y polos :

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n}).}$

Esta idea se utiliza explícitamente en el método para dibujar diagramas de fases. El método para dibujar gráficos de amplitud utiliza implícitamente esta idea, pero dado que el registro de la amplitud de cada polo o cero siempre comienza en cero y solo tiene un cambio de asíntota (las líneas rectas), el método se puede simplificar.

Gráfico de amplitud en línea recta

Los decibeles de amplitud generalmente se utilizan para definir los decibeles. Dada una función de transferencia en la forma ${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

donde y son constantes, , y es la función de transferencia: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$ ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$ ${\displaystyle H}$

• En cada valor de s donde (un cero), aumente la pendiente de la línea en por década . ${\displaystyle \omega =x_{n}}$ ${\displaystyle 20a_{n}\ {\text{dB}}}$
• En cada valor de s donde (un polo), disminuya la pendiente de la línea en por década. ${\displaystyle \omega =y_{n}}$ ${\displaystyle 20b_{n}\ {\text{dB}}}$
• El valor inicial del gráfico depende de los límites. El punto inicial se encuentra poniendo la frecuencia angular inicial en la función y encontrando . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$
• La pendiente inicial de la función en el valor inicial depende del número y orden de los ceros y polos que se encuentran en valores por debajo del valor inicial y se encuentra usando las dos primeras reglas.

Para manejar polinomios irreducibles de segundo orden, en muchos casos se puede aproximar como . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$

Tenga en cuenta que los ceros y los polos ocurren cuando es igual a un cierto o . Esto se debe a que la función en cuestión es la magnitud de , y dado que es una función compleja, . Así, en cualquier lugar donde haya un cero o un polo que involucre al término , la magnitud de ese término es . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$ ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$ ${\displaystyle (s+x_{n})}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$

Gráfico de amplitud corregida

Para corregir un gráfico de amplitud en línea recta:

• En cada cero, coloca un punto encima de la línea. ${\displaystyle 3a_{n}\ {\text{dB}}}$
• En cada polo, coloca un punto debajo de la línea. ${\displaystyle 3b_{n}\ {\text{dB}}}$
• Dibuja una curva suave a través de esos puntos usando las líneas rectas como asíntotas (líneas a las que se acerca la curva).

Tenga en cuenta que este método de corrección no incorpora cómo manejar valores complejos de o . En el caso de un polinomio irreducible, la mejor manera de corregir el gráfico es calcular la magnitud de la función de transferencia en el polo o cero correspondiente al polinomio irreducible, y colocar ese punto encima o debajo de la línea en ese polo o cero. . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

Gráfico de fase en línea recta

Dada una función de transferencia en la misma forma que la anterior,

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

la idea es dibujar gráficas separadas para cada polo y cero, y luego sumarlas. La curva de fase real está dada por

${\displaystyle \varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.}$

Para dibujar el diagrama de fase, para cada polo y cero:

• Si es positivo, comience la línea (con pendiente cero) en 0°. ${\displaystyle A}$
• Si es negativo, comience la línea (con pendiente cero) en −180°. ${\displaystyle A}$
• Si la suma del número de ceros y polos inestables es impar, suma 180° a esa base.
• En cada (para ceros estables ), aumente la pendiente en grados por década, comenzando una década antes (por ejemplo, ). ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (z)<0}$ ${\displaystyle 45a_{n}}$ ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ ${\displaystyle |x_{n}|/10}$
• En cada (para polos estables ), disminuya la pendiente en grados por década, comenzando una década antes (por ejemplo, ). ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (p)<0}$ ${\displaystyle 45b_{n}}$ ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ ${\displaystyle |y_{n}|/10}$
• Los polos y ceros "inestables" (semiplano derecho) ( ) tienen un comportamiento opuesto. ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
• Vuelva a aplanar la pendiente cuando la fase haya cambiado en grados (para un cero) o grados (para un polo). ${\displaystyle 90a_{n}}$ ${\displaystyle 90b_{n}}$
• Después de trazar una línea para cada polo o cero, sume las líneas para obtener el gráfico de fase final; es decir, el gráfico de la fase final es la superposición de cada gráfico de la fase anterior.

Ejemplo

Para crear un gráfico de línea recta para un filtro de paso bajo de primer orden (unipolar), se considera la forma normalizada de la función de transferencia en términos de la frecuencia angular:

${\displaystyle H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}}.}$

El diagrama de Bode se muestra en la Figura 1(b) arriba, y a continuación se analiza la construcción de la aproximación en línea recta.

Gráfico de magnitud

La magnitud (en decibeles ) de la función de transferencia anterior (normalizada y convertida a forma de frecuencia angular), dada por la expresión de ganancia en decibelios : ${\displaystyle A_{\text{vdB}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Luego, graficado versus la frecuencia de entrada en una escala logarítmica, se puede aproximar mediante dos líneas , formando el diagrama de Bode de magnitud asintótica (aproximada) de la función de transferencia: ${\displaystyle \omega }$

• La primera línea para las frecuencias angulares a continuación es una línea horizontal en 0 dB, ya que en frecuencias bajas el término es pequeño y puede despreciarse, lo que hace que la ecuación de ganancia de decibelios de arriba sea igual a cero. ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$
• La segunda línea para las frecuencias angulares de arriba es una línea con una pendiente de −20 dB por década, ya que en frecuencias altas el término domina, y la expresión de ganancia en decibelios anterior se simplifica a , que es una línea recta con una pendiente de −20 dB por década. década. ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle -20\log(\omega /\omega _{\text{c}})}$

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de esquina . En el gráfico se puede ver que para frecuencias muy por debajo de la frecuencia de esquina, el circuito tiene una atenuación de 0 dB, correspondiente a una ganancia unitaria de banda de paso, es decir, la amplitud de la salida del filtro es igual a la amplitud de la entrada. Las frecuencias por encima de la frecuencia de esquina se atenúan: cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será la atenuación . ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

Gráfico de fase

El diagrama de Bode de fase se obtiene trazando el ángulo de fase de la función de transferencia dado por

${\displaystyle \arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}$

versus , donde y son las frecuencias angulares de entrada y de corte respectivamente. Para frecuencias de entrada mucho más bajas que las de esquina, la relación es pequeña y, por lo tanto, el ángulo de fase es cercano a cero. A medida que aumenta la relación, el valor absoluto de la fase aumenta y se convierte en −45° cuando . A medida que la relación aumenta para frecuencias de entrada mucho mayores que la frecuencia de esquina, el ángulo de fase se acerca asintóticamente a −90°. La escala de frecuencia para el gráfico de fases es logarítmica. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\text{c}}}$

Trama normalizada

El eje de frecuencia horizontal, tanto en los gráficos de magnitud como de fase, se puede reemplazar por la relación de frecuencia normalizada (adimensional) . En tal caso, se dice que el gráfico está normalizado y ya no se utilizan unidades de frecuencias, ya que todas las frecuencias de entrada ahora se expresan como múltiplos de la frecuencia de corte . ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

Un ejemplo con cero y polo.

Las Figuras 2 a 5 ilustran con más detalle la construcción de diagramas de Bode. Este ejemplo con un polo y un cero muestra cómo utilizar la superposición. Para empezar, los componentes se presentan por separado.

La Figura 2 muestra el diagrama de magnitud de Bode para un polo cero y un polo de paso bajo, y los compara con los diagramas de línea recta de Bode. Los gráficos de línea recta son horizontales hasta la ubicación del polo (cero) y luego caen (aumentan) a 20 dB/década. La segunda Figura 3 hace lo mismo para la fase. Los gráficos de fase son horizontales hasta un factor de frecuencia de diez por debajo de la ubicación del polo (cero) y luego caen (aumentan) a 45°/década hasta que la frecuencia es diez veces mayor que la ubicación del polo (cero). Luego, las gráficas vuelven a ser horizontales a frecuencias más altas con un cambio de fase final total de 90°.

La Figura 4 y la Figura 5 muestran cómo se realiza la superposición (suma simple) de un gráfico de polo y cero. Los gráficos de la línea recta de Bode se comparan nuevamente con los gráficos exactos. El cero se ha movido a una frecuencia más alta que el polo para hacer un ejemplo más interesante. Observe en la Figura 4 que la caída del polo de 20 dB/década es detenida por el aumento de 20 dB/década del cero, lo que da como resultado un gráfico de magnitud horizontal para las frecuencias por encima de la ubicación del cero. Observe en la Figura 5 en el gráfico de fase que la aproximación en línea recta es bastante aproximada en la región donde tanto el polo como el cero afectan la fase. Observe también en la Figura 5 que el rango de frecuencias donde los cambios de fase en el gráfico de línea recta se limita a frecuencias un factor de diez por encima y por debajo de la ubicación del polo (cero). Cuando la fase del polo y el cero están presentes, el gráfico de fase de línea recta es horizontal porque la caída del polo de 45°/década es detenida por el aumento superpuesto de 45°/década del cero en el rango limitado de frecuencias. donde ambos son contribuyentes activos a la fase.

• Ejemplo con polo y cero
• Figura 2: Gráfico de magnitud de Bode para polo cero y paso bajo; Las curvas denominadas "Bode" son los diagramas de Bode de línea recta.
• Figura 3: Gráfico de fase de Bode para polo cero y paso bajo; Las curvas denominadas "Bode" son los diagramas de Bode de línea recta.
• Figura 4: Gráfico de magnitud de Bode para la combinación polo-cero; la ubicación del cero es diez veces mayor que en las Figuras 2 y 3; Las curvas denominadas "Bode" son los diagramas de Bode de línea recta.
• Figura 5: Gráfico de fase de Bode para la combinación polo-cero; la ubicación del cero es diez veces mayor que en las Figuras 2 y 3; Las curvas denominadas "Bode" son los diagramas de Bode de línea recta.

Margen de ganancia y margen de fase

Los diagramas de Bode se utilizan para evaluar la estabilidad de amplificadores de retroalimentación negativa al encontrar los márgenes de ganancia y fase de un amplificador. La noción de ganancia y margen de fase se basa en la expresión de ganancia para un amplificador de retroalimentación negativa dada por

${\displaystyle A_{\text{FB}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}},}$

donde A _FB es la ganancia del amplificador con retroalimentación (la ganancia en bucle cerrado ), β es el factor de retroalimentación y AOL es la ganancia sin retroalimentación (la ganancia _en bucle abierto ). La ganancia AOL es una función compleja de _la frecuencia, con magnitud y fase. ^{[nota 1]} El examen de esta relación muestra la posibilidad de una ganancia infinita (interpretada como inestabilidad) si el producto β A _OL = −1 (es decir, la magnitud de β A _OL es la unidad y su fase es −180°, por lo que -llamado criterio de estabilidad de Barkhausen ). Los diagramas de Bode se utilizan para determinar qué tan cerca está un amplificador de satisfacer esta condición.

La clave para esta determinación son dos frecuencias. La primera, denominada aquí como f ₁₈₀ , es la frecuencia donde la ganancia de bucle abierto invierte el signo. La segunda, denominada aquí f _{0 dB} , es la frecuencia donde la magnitud del producto |β A _OL | = 1 = 0 dB. Es decir, la frecuencia f ₁₈₀ está determinada por la condición

${\displaystyle \beta A_{\text{OL}}(f_{180})=-|\beta A_{\text{OL}}(f_{180})|=-|\beta A_{\text{OL}}|_{180},}$

donde las barras verticales denotan la magnitud de un número complejo y la frecuencia f _{0 dB} está determinada por la condición

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 dB}})|=1.}$

Una medida de la proximidad a la inestabilidad es el margen de ganancia . El gráfico de fase de Bode ubica la frecuencia donde la fase de β A _OL alcanza −180°, denotada aquí como frecuencia f ₁₈₀ . Usando esta frecuencia, el gráfico de magnitud de Bode encuentra la magnitud de β A _OL . Si |β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1, el amplificador es inestable, como se mencionó. Si |β A _OL | ₁₈₀ < 1, no se produce inestabilidad y la separación en dB de la magnitud de |β A _OL | ₁₈₀ de |β A _OL | = 1 se llama margen de ganancia . Como una magnitud de 1 es 0 dB, el margen de ganancia es simplemente una de las formas equivalentes: . ${\displaystyle 20\log _{10}|\beta A_{\text{OL}}|_{180}=20\log _{10}|A_{\text{OL}}|-20\log _{10}\beta ^{-1}}$

Otra medida equivalente de proximidad a la inestabilidad es el margen de fase . El gráfico de magnitud de Bode ubica la frecuencia donde la magnitud de |β A _OL | alcanza la unidad, denotada aquí como frecuencia f _{0 dB} . Usando esta frecuencia, el gráfico de fases de Bode encuentra la fase de β A _OL . Si la fase de β A _OL ( f _{0 dB} ) > −180°, la condición de inestabilidad no se puede cumplir en ninguna frecuencia (porque su magnitud va a ser < 1 cuando f = f ₁₈₀ ), y la distancia de la fase en f _{0 dB} en grados por encima de −180° se denomina margen de fase .

Si todo lo que se necesita es un simple sí o no sobre la cuestión de la estabilidad, el amplificador es estable si f _{0 dB} < f ₁₈₀ . Este criterio es suficiente para predecir la estabilidad sólo para amplificadores que satisfacen algunas restricciones en sus posiciones polar y cero ( sistemas de fase mínima ). Aunque estas restricciones normalmente se cumplen, si no es así, entonces se debe utilizar otro método, como el diagrama de Nyquist . ^{[6] [7]} La ​​ganancia óptima y los márgenes de fase se pueden calcular utilizando la teoría de interpolación de Nevanlinna-Pick . ^[8]

Ejemplos que utilizan diagramas de Bode

Las Figuras 6 y 7 ilustran el comportamiento y la terminología de la ganancia. Para un amplificador tripolar, la Figura 6 compara el diagrama de Bode para la ganancia sin retroalimentación (la ganancia de bucle abierto ) A _OL con la ganancia con retroalimentación A _FB (la ganancia de bucle cerrado ). Consulte amplificador de retroalimentación negativa para obtener más detalles.

En este ejemplo, AOL = 100 dB en bajas frecuencias y 1/β = 58 dB _. En bajas frecuencias, A _FB ≈ 58 dB también.

Debido a que se traza la ganancia de bucle abierto _AOL y no el producto β AOL , la condición _AOL = 1/β decide _f 0 _dB . La ganancia de retroalimentación a bajas frecuencias y para A _OL grande es A _FB ≈ 1 / β (consulte la fórmula para la ganancia de retroalimentación al comienzo de esta sección para el caso de A _OL de ganancia grande ), por lo que una forma equivalente de encontrar f _{0 dB} es para buscar dónde la ganancia de retroalimentación se cruza con la ganancia de bucle abierto. ( Más adelante se necesitará la frecuencia f _{0 dB para encontrar el margen de fase).}

Cerca de este cruce de las dos ganancias en f _{0 dB} , los criterios de Barkhausen casi se satisfacen en este ejemplo, y el amplificador de retroalimentación exhibe un pico masivo en la ganancia (sería infinito si β A _OL = −1). Más allá de la frecuencia de ganancia unitaria f _{0 dB} , la ganancia en bucle abierto es lo suficientemente pequeña como para que A _FB ≈ A _OL (examine la fórmula al comienzo de esta sección para el caso de A _OL pequeña ).

La Figura 7 muestra la comparación de fase correspondiente: la fase del amplificador de retroalimentación es casi cero hasta la frecuencia f ₁₈₀ donde la ganancia de bucle abierto tiene una fase de −180°. En esta zona, la fase del amplificador de retroalimentación desciende abruptamente hasta volverse casi igual a la fase del amplificador de bucle abierto. (Recuerde, A _FB ≈ A _OL para AOL _pequeño ).

Comparando los puntos etiquetados en la Figura 6 y la Figura 7, se ve que la frecuencia de ganancia unitaria f _{0 dB} y la frecuencia de cambio de fase f ₁₈₀ son casi iguales en este amplificador, f ₁₈₀ ≈ f _{0 dB} ≈ 3,332 kHz, lo que significa el margen de ganancia y el margen de fase son casi cero. El amplificador es casi estable.

Las Figuras 8 y 9 ilustran el margen de ganancia y el margen de fase para una cantidad diferente de retroalimentación β. El factor de retroalimentación se elige más pequeño que en la Figura 6 o 7, moviendo la condición | β A _OL | = 1 para bajar la frecuencia. En este ejemplo, 1 / β = 77 dB, y en bajas frecuencias A _FB ≈ 77 dB también.

La Figura 8 muestra el gráfico de ganancia. De la Figura 8, la intersección de 1/β y _AOL ocurre en f _{0 dB} = 1 kHz. Observe que el pico en la ganancia A _FB cerca de f _{0 dB} casi ha desaparecido. ^{[nota 2] [9]}

La Figura 9 es el diagrama de fases. Utilizando el valor de f _{0 dB} = 1 kHz encontrado arriba en el gráfico de magnitud de la Figura 8, la fase de bucle abierto en f _{0 dB} es −135°, que es un margen de fase de 45° por encima de −180°.

Usando la Figura 9, para una fase de −180° el valor de f ₁₈₀ = 3.332 kHz (el mismo resultado que se encontró anteriormente, por supuesto ^{[nota 3]} ). La ganancia de bucle abierto de la Figura 8 en f ₁₈₀ es 58 dB y 1/β = 77 dB, por lo que el margen de ganancia es 19 dB.

La estabilidad no es el único criterio para la respuesta del amplificador y en muchas aplicaciones una demanda más estricta que la estabilidad es una buena respuesta escalonada . Como regla general , una buena respuesta escalonada requiere un margen de fase de al menos 45° y, a menudo, se recomienda un margen de más de 70°, particularmente cuando la variación de los componentes debido a las tolerancias de fabricación es un problema. ^[9] Véase también la discusión sobre el margen de fase en el artículo de respuesta al paso .

• Ejemplos
• Figura 6: Ganancia del amplificador de retroalimentación A _FB en dB y el correspondiente amplificador de bucle abierto A _OL . Parámetro 1/β = 58 dB, y en bajas frecuencias A _FB ≈ 58 dB también. El margen de ganancia en este amplificador es casi cero porque | β A _OL | = 1 ocurre casi en f = f _180° .
• Figura 7: Fase del amplificador de realimentación °A _FB en grados y amplificador de bucle abierto correspondiente °A _OL . El margen de fase en este amplificador es casi cero porque el cambio de fase ocurre casi en la frecuencia de ganancia unitaria f = f _{0 dB} donde | β A _OL | = 1.
• Figura 8: Ganancia del amplificador de retroalimentación A _FB en dB y el correspondiente amplificador de bucle abierto A _OL . En este ejemplo, 1/β = 77 dB. El margen de ganancia de este amplificador es de 19 dB.
• Figura 9: Fase del amplificador de realimentación A _FB en grados y correspondiente amplificador de bucle abierto A _OL . El margen de fase en este amplificador es de 45°.

Trazador de presagio

Figura 10: Diagrama de amplitud de un filtro electrónico de décimo orden trazado utilizando un trazador de Bode

El trazador de Bode es un instrumento electrónico parecido a un osciloscopio , que produce un diagrama de Bode, o un gráfico, de la ganancia de voltaje o el cambio de fase de un circuito trazado contra la frecuencia en un sistema de control de retroalimentación o un filtro. Un ejemplo de esto se muestra en la Figura 10. Es extremadamente útil para analizar y probar filtros y la estabilidad de los sistemas de control de retroalimentación , mediante la medición de frecuencias de esquina (de corte) y márgenes de ganancia y fase.

Esto es idéntico a la función realizada por un analizador de redes vectorial , pero el analizador de redes se utiliza normalmente a frecuencias mucho más altas.

Para fines educativos y de investigación, trazar diagramas de Bode para funciones de transferencia determinadas facilita una mejor comprensión y la obtención de resultados más rápidos (ver enlaces externos).

Parcelas relacionadas

Dos gráficos relacionados que muestran los mismos datos en diferentes sistemas de coordenadas son el gráfico de Nyquist y el gráfico de Nichols . Estos son gráficos paramétricos , con la frecuencia como entrada y la magnitud y fase de la respuesta de frecuencia como salida. El gráfico de Nyquist los muestra en coordenadas polares , con asignación de magnitud al radio y fase al argumento (ángulo). El gráfico de Nichols los muestra en coordenadas rectangulares, en la escala logarítmica .

• 
  Figura 11: Un diagrama de Nyquist .
• 
  Figura 12: Gráfico de Nichols de la misma respuesta de la Figura 11.

Ver también

• Procesamiento de señales analógicas
• margen de fase
• Integral de sensibilidad de Bode
• Relación magnitud (ganancia)-fase de Bode
• Espectroscopía de impedancia electroquímica

Notas

1. Normalmente, a medida que aumenta la frecuencia, la magnitud de la ganancia disminuye y la fase se vuelve más negativa, aunque estas son solo tendencias y pueden revertirse en rangos de frecuencia particulares. Un comportamiento inusual de la ganancia puede hacer que los conceptos de ganancia y margen de fase sean inaplicables. Luego se deben utilizar otros métodos, como el gráfico de Nyquist, para evaluar la estabilidad.
2. La cantidad crítica de retroalimentación donde el pico de ganancia simplemente desaparece por completo es el diseño máximamente plano o Butterworth .
3. La frecuencia donde la ganancia de bucle abierto cambia el signo f ₁₈₀ no cambia con un cambio en el factor de retroalimentación; es una propiedad de la ganancia en bucle abierto. El valor de la ganancia en f ₁₈₀ tampoco cambia con un cambio en β. Por lo tanto, podríamos usar los valores anteriores de las Figuras 6 y 7. Sin embargo, para mayor claridad, el procedimiento se describe usando solo las Figuras 8 y 9.

Referencias

1. RK Rao Yarlagadda (2010). Señales y Sistemas Analógicos y Digitales . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 243.ISBN _ 978-1-4419-0034-0.
2. Van Valkenburg, ME Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, "In memoriam: Hendrik W. Bode (1905-1982)", IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-29, núm. 3, marzo de 1984, págs. 193-194. Cita: "Algo debería decirse sobre su nombre. Para sus colegas de Bell Laboratories y las generaciones de ingenieros que le siguieron, la pronunciación es boh-dee. La familia Bode prefirió que el holandés original se usara como boh-dah".
3. "Vertaling van postbode, NL>EN". mijnwoordenboek.nl . Consultado el 7 de octubre de 2013 .
4. David A. Mindell entre humanos y máquinas: retroalimentación, control y computación antes de la cibernética JHU Press, 2004, ISBN 0801880572 , págs. 
5. Skogestad, Sigurd; Postlewaite, Ian (2005). Control de retroalimentación multivariable . Chichester, West Sussex, Inglaterra: John Wiley & Sons, Ltd. ISBN 0-470-01167-X.
6. Thomas H. Lee (2004). "§14.6. Márgenes de ganancia y fase como medidas de estabilidad". El diseño de circuitos integrados de radiofrecuencia CMOS (2ª ed.). Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press. págs. 451–453. ISBN 0-521-83539-9.
7. William S. Levine (1996). "§10.1. Especificaciones del sistema de control". El manual de control: serie de manuales de ingeniería eléctrica (2ª ed.). Boca Ratón FL: CRC Press/IEEE Press. pag. 163.ISBN _ 0-8493-8570-9.
8. Allen Tannenbaum (febrero de 1981). Teoría de la invariancia y de sistemas: aspectos algebraicos y geométricos . Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 9783540105657.
9. Willy MC Sansen (2006). Conceptos básicos del diseño analógico. Dordrecht, Países Bajos: Springer. págs. 157-163. ISBN 0-387-25746-2.

enlaces externos

• Cómo dibujar diagramas de Bode asintóticos por partes
• Código Gnuplot para generar diagrama de Bode: plantilla de impresión DIN-A4 (pdf)