Integral de sensibilidad de Bode

Diagrama de bloques del control por retroalimentación de un proceso dinámico.

La integral de sensibilidad de Bode , descubierta por Hendrik Wade Bode , es una fórmula que cuantifica algunas de las limitaciones en el control de retroalimentación de sistemas lineales invariantes en parámetros. Sea L la función de transferencia de bucle y S la función de sensibilidad .

En el diagrama, P es un proceso dinámico que tiene una función de transferencia P(s). El controlador, C, tiene la función de transferencia C(s). El controlador intenta hacer que la salida del proceso, y, siga la entrada de referencia, r. Las perturbaciones, d, y el ruido de medición, n, pueden causar desviaciones no deseadas de la salida. La ganancia del bucle se define por L(s) = P(s)C(s).

Se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|d\omega =\int _{0}^{\infty }\ln \left|{\frac {1}{1+L(j\omega )}}\right|d\omega =\pi \sum Re(p_{k})-{\frac {\pi }{2}}\lim _{s\rightarrow \infty }sL(s)}$

¿Dónde están los polos de L en el semiplano derecho (polos inestables)? ${\displaystyle p_{k}}$

Si L tiene al menos dos polos más que ceros y no tiene polos en el semiplano derecho (es estable), la ecuación se simplifica a:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|d\omega =0}$

Esta igualdad muestra que si la sensibilidad a las perturbaciones se suprime en un rango de frecuencias determinado, necesariamente aumenta en otro rango. Esto se ha denominado "efecto de lecho de agua". ^[1]

Referencias

1. Megretski: el efecto lecho de agua. MIT OCW, 2004

Lectura adicional

• Karl Johan Åström y Richard M. Murray. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers (Sistemas de retroalimentación: una introducción para científicos e ingenieros) . Capítulo 11: Diseño en el dominio de la frecuencia. Princeton University Press, 2008. http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/Frequency_Domain_Design
• Stein, G. (2003). "Respetar lo inestable". Revista IEEE Control Systems . 23 (4): 12–25. doi :10.1109/MCS.2003.1213600. ISSN  1066-033X.
• Costa-Castelló, Ramón; Dormido, Sebastián (2015). "Una herramienta interactiva para introducir el efecto cama de agua". IFAC-PapersOnLine . 48 (29): 259–264. doi : 10.1016/j.ifacol.2015.11.246 . ISSN  2405-8963.

Enlaces externos

• WaterbedITOOL - Herramienta de software interactiva para analizar, aprender/enseñar el efecto Waterbed en sistemas de control lineal.
• Conferencia Bode de Gunter Stein sobre las limitaciones fundamentales de la función de sensibilidad alcanzable expresada por la integral de Bode.
• Uso del teorema integral de Bode (circa 1945) - Publicación de la NASA.

Véase también

• Diagrama de Bode
• Sensibilidad (sistemas de control)