función pfaffiana

En matemáticas , las funciones de Pfaff son una determinada clase de funciones cuya derivada se puede escribir en términos de la función original. Fueron introducidos originalmente por Askold Khovanskii en la década de 1970, pero llevan el nombre del matemático alemán Johann Pfaff .

Definición básica

Algunas funciones, cuando se diferencian, dan un resultado que puede escribirse en términos de la función original. Quizás el ejemplo más simple sea la función exponencial , f ( x ) =  e ^x . Si diferenciamos esta función obtenemos e ^x nuevamente, es decir

${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x).}$

Otro ejemplo de una función como esta es la función recíproca, g ( x ) = 1/ x . Si diferenciamos esta función veremos que

${\displaystyle g^{\prime }(x)=-g(x)^{2}.}$

Es posible que otras funciones no tengan la propiedad anterior, pero su derivada puede escribirse en términos de funciones como las anteriores. Por ejemplo, si tomamos la función h ( x ) =  e ^x log ( x ) entonces vemos

${\displaystyle h^{\prime }(x)=e^{x}\log x+x^{-1}e^{x}=h(x)+f(x)g(x).}$

Funciones como éstas forman los eslabones de la llamada cadena de Pfaff . Tal cadena es una secuencia de funciones, digamos f ₁ , f ₂ , f ₃ , etc., con la propiedad de que si diferenciamos cualquiera de las funciones en esta cadena entonces el resultado se puede escribir en términos de la función misma y de todas las funciones que le preceden en la cadena (específicamente como un polinomio en esas funciones y las variables involucradas). Entonces, con las funciones anteriores tenemos que f , g , h es una cadena de Pfaff.

Entonces, una función de Pfaff es solo un polinomio entre las funciones que aparecen en una cadena de Pfaff y el argumento de la función. Entonces, con la cadena Pfaffiana que acabamos de mencionar, funciones como F ( x ) =  x ³ f ( x ) ²  − 2 g ( x ) h ( x ) son Pfaffianas.

Definición rigurosa

Sea U un dominio abierto en R ⁿ . Una cadena de Pfaff de orden r  ≥ 0 y grado α  ≥ 1 en U es una secuencia de funciones analíticas reales f ₁ ,..., f _r en U que satisfacen ecuaciones diferenciales

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}=P_{i,j}({\boldsymbol {x}},f_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,f_{i}({\boldsymbol {x}}))}$

para i  = 1, ..., r donde P _{i , j}  ∈  R [ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _i ] son ​​polinomios de grado ≤ α . Una función f en U se llama función Pfaffiana de orden r y grado ( α , β ) si

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=P({\boldsymbol {x}},f_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,f_{r}({\boldsymbol {x}})),\,}$

donde P  ∈  R [ x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _r ] es un polinomio de grado como máximo β  ≥ 1. Los números r , α y β se conocen colectivamente como el formato de la función de Pfaff y dar una medida útil de su complejidad.

Ejemplos

• Los ejemplos más triviales de funciones de Pfaff son los polinomios en R [ X ]. Tal función será un polinomio en una cadena de Pfaff de orden r  = 0, es decir, la cadena sin funciones. Tal función tendrá α  = 0 y β igual al grado del polinomio.
• Quizás la función Pfaffiana no trivial más simple sea f ( x ) =  e ^x . Esto es pfaffiano con orden r  = 1 y α  =  β  = 1 debido a la ecuación f ′  =  f .
• Inductivamente, se puede definir f ₁ ( x ) = exp( x ) y f _{m +1} ( x ) = exp( f _m ( x )) para 1 ≤  m  <  r . Entonces f _m ′ =  f ₁ f ₂ ··· f _m . Entonces esta es una cadena Pfaffiana de orden r y grado α  =  r .
• Todas las funciones algebraicas son pfaffianas en dominios adecuados, al igual que las funciones hiperbólicas . Las funciones trigonométricas en intervalos acotados son pfaffianas, pero deben formarse indirectamente. Por ejemplo, la función cos( x ) es un polinomio en la cadena de Pfaff tan( x /2), cos ² ( x /2) en el intervalo (−π, π).
• De hecho, todas las funciones elementales y las funciones de Liouvillian son pfaffianas. ^[1]

En la teoría de modelos

Considere la estructura R  = ( R , +, −, ·, <, 0, 1), el cuerpo ordenado de números reales. En la década de 1960, Andrei Gabrielov demostró que la estructura obtenida comenzando con R y agregando un símbolo de función para cada función analítica restringida a la caja unitaria [0, 1] ^m es un modelo completo . ^[2] Es decir, cualquier conjunto definible en esta estructura R _an era simplemente la proyección de algún conjunto de dimensiones superiores definido por identidades y desigualdades que involucraban estas funciones analíticas restringidas.

En la década de 1990, Alex Wilkie demostró que se obtiene el mismo resultado si en lugar de sumar cada función analítica restringida, simplemente se suma la función exponencial no restringida a R para obtener el campo real ordenado con exponenciación, R _exp , un resultado conocido como teorema de Wilkie . ^[3] Wilkie también abordó la cuestión de qué conjuntos finitos de funciones analíticas podrían agregarse a R para obtener un resultado de completitud del modelo. Resultó que agregar cualquier cadena de Pfaff restringida al cuadro [0, 1] ^m daría el mismo resultado. En particular, se pueden sumar todas las funciones de Pfaff a R para obtener la estructura R _Pfaff como una variante del resultado de Gabrielov. El resultado de la exponenciación no es un caso especial de este resultado (aunque exp es una cadena de Pfaff en sí misma), ya que se aplica a la función exponencial no restringida.

Este resultado de Wilkie demostró que la estructura R _Pfaff es una estructura o-mínimo .

Funciones noetherianas

Se dice que las ecuaciones anteriores que definen una cadena de Pfaff satisfacen una condición triangular, ya que la derivada de cada función sucesiva en la cadena es un polinomio en una variable adicional. Así, si se escriben por turnos aparece una forma triangular:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}),\end{aligned}}}$

etcétera. Si esta condición de triangularidad se relaja de modo que la derivada de cada función de la cadena sea un polinomio en todas las demás funciones de la cadena, entonces la cadena de funciones se conoce como cadena noetheriana y una función construida como un polinomio en esta cadena se llama función noetheriana . ^[4] Entonces, por ejemplo, una cadena noetheriana de orden tres se compone de tres funciones f ₁ , f ₂ , f ₃ , que satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }&=P_{1}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{2}^{\prime }&=P_{2}(x,f_{1},f_{2},f_{3})\\f_{3}^{\prime }&=P_{3}(x,f_{1},f_{2},f_{3}).\end{aligned}}}$

El nombre surge del hecho de que el anillo generado por las funciones de dicha cadena es noetheriano . ^[5]

Cualquier cadena pfaffiana es también una cadena noetheriana; las variables adicionales en cada polinomio son simplemente redundantes en este caso. Pero no todas las cadenas noetherianas son pfaffianas; por ejemplo, si tomamos f ₁ ( x ) = sin ( x ) y f ₂ ( x ) = cos ( x ) entonces tenemos las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}^{\prime }(x)&=f_{2}(x)\\f_{2}^{\prime }(x)&=-f_{1}(x),\end{aligned}}}$

y estos son válidos para todos los números reales x , por lo que f ₁ , f ₂ es una cadena noetheriana en todo R. Pero no existe ningún polinomio P ( x , y ) tal que la derivada de sin ( x ) pueda escribirse como P ( x , sin ( x )), por lo que esta cadena no es pfaffiana.

Notas

1. Las funciones de Liouville son esencialmente todas las funciones analíticas reales que se pueden obtener a partir de funciones elementales aplicando las operaciones aritméticas, la exponenciación y la integración habituales. No tienen relación con la función de Liouville en la teoría de números.
2. A. Gabrielov, "Proyecciones de conjuntos semianalíticos", Functional Anal. Aplica. 2 (1968), págs. 282-291.
3. AJ Wilkie, "Resultados de completitud del modelo para expansiones del campo ordenado de números reales mediante funciones de Pfaff restringidas y funciones exponenciales", J. Amer. Matemáticas. Soc. 9 (1996), págs. 1051-1094.
4. Andrei Gabrielov, Nicolai Vorobjov (2004). "Complejidad de cálculos con funciones pfaffianas y noetherianas". En Yulij Ilyashenko, Christiane Rousseau (ed.). Formas normales, bifurcaciones y problemas de finitud en ecuaciones diferenciales . Editores académicos de Kluwer. ISBN 1-4020-1928-9.
5. JC Tougeron, "Algèbres analytiques topologiquement nœthériennes, Théorie de Hovanskii", Annales de l'Institut Fourier 41 (1991), págs. 823–840.

Referencias

• Khovanskii, AG (1991). Pocomios . Traducciones de monografías matemáticas. vol. 88. Traducido del ruso por Smilka Zdravkovska. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . ISBN 0-8218-4547-0. Zbl  0728.12002.